第二十二章 二次函数
（共19题，满分：100分）
姓名： 班级： 学号： 分数：
一、单选题（本大题共8个小题，共40分）
1．下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（ ）
A．y=x2 B．y= C．y= D．y=a2x2
2．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x﹣5）2﹣6 B．y＝（x+1）2﹣6
C．y＝（x﹣5）2﹣10 D．y＝（x+1）2﹣5
3．已知函数 是二次函数，则m的值为（ ）
A．－2 B．±2 C． D．
4．抛物线 的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数y=ax2-2x-3(a＜0)的图像一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限.
6．抛物线y1=（x﹣2）2﹣1与直线y2=x﹣1交于A、B两点，则当y2≥y1时，x的取值范围为（ ）
A．1≤x≤4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1或x≥4
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．2a+b＝0
8．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）
A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界 D．无法确定
二、填空题（本大题共5个小题，共15分）
9．已知A(﹣1，y1)、B(﹣2，y2)是抛物线y＝﹣2x2上的两点，则y1 y2(填＞、＜、＝).
10．抛物线 的顶点关于x轴对称的点的坐标为 .
11．抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣3（m＞0）在﹣1＜x＜0位于x轴下方，在3＜x＜4位于x轴上方，则m的值为 ．
12．某高档游泳健身馆每人每次游泳健身的票价为80元，每日平均客流量为136人，为了促进全民健身运动，游泳馆决定降价促销，经市场调查发现，票价每下降1元，每日游泳健身的人数平均增加2人．当每日销售收入最大时，票价下调 元．
13．公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝0.8米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图2所示．为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA水平距离为1米时，达到距水面最大高度1.44米（不计其他因素）．则水池的半径至少要
米，才能使喷出的水流不致落到池外．
三、解答题（本大题共6个小题，共45分）
14．已知：二次函数的图象经过点，和．
（1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点的坐标；
（2）设点，在该抛物线上，若，直接写出的取值范围．
15．二次函数
（1）写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.
（2）判断点 是否在该函数图象上，并说明理由.
（3）求出以该抛物线与两坐标轴的交点为顶点的三角形的面积.
16．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥（如图1），水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m，因降暴雨水面上升1m.
（1）建立适当的坐标系，并求暴雨后水面的宽；
（2）一艘装满物资的小船，露出水面部分高为0.5m、宽4m（横断面如图2所示），暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？（注:结果保留根号.）
17．一水果店售卖一种水果，以8元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以12元/千克售卖，每天可卖60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但不低于成本价.设该商品的价格为x元/千克时，一天销售总质量为y千克.
（1）求y与x的函数关系式.
（2）若水果店货源充足，每天以固定价格x元/千克销售，试求出水果店每天利润W与单价x的函数关系式，并求出当x为何值时，利润达到最大.
18．某车间生产以甲、乙两种水果为原料的某种罐头，在一次进货中得知，花费 万元购进的甲种水果与 万元购进的乙种水果质量相同，乙种水果每千克比甲种水果多 元.
（1）求甲、乙两种水果的单价；
（2）车间将水果制成罐头投入市场进行售卖，已知一听罐头需要甲乙水果各 千克，而每听罐头的成本除了水果成本之外，其他所有成本是水果成本的 还要多 元.调查发现，以 元的定价进行销售，每天只能卖出 听，超市对它进行促销，每降低 元，平均每天可多卖出 听，当售价为多少元时，利润最大？最大利润为多少？
（3）若想使得该种罐头的销售利润每天达到 万元，并且保证降价的幅度不超过定价的 ，每听罐头的价钱应为多少钱？
19．已知，如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ，点P为x轴下方的抛物线上一点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接，求四边形面积的最大值；
（3）是否存在这样的点P，使得点P到和两边的距离相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．A
2．A
3．A
4．B
5．A
6．A
7．D
8．C
9．>
10．(-1，-3)
11．
12．6
13．2.5
14．（1）解：设抛物线解析式为，
把，和代入，
得，解得：，
抛物线解析式为，
，
顶点的坐标为
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
关于直线的对称点为，
，在该抛物线上，且，
．
15．（1）解：
，
抛物线开口向下；
，
抛物线对称轴方程为 ，顶点坐标 ；
开口向下，对称轴为直线 ,顶点为
（2）解：不在函数图象上.
理由：当 时，
所以点 不在函数图象上.
（3）解：令 ，得 ，解得 ， ，
所以抛物线与 轴的交点坐标为 ， ，
当x=0时，y=6.
抛物线与 轴交于点 ，
16．（1）解:如图，以抛物线的顶点为原点，以桥面为 轴，建立平面直角坐标系，
由题意可知抛物线过点 ，
设抛物线的函数表达式为: .
把 代入 ，可求 ，
则抛物线对应的函数表达式为 .
当水面上涨 米后，水面所在的位置为直线 ，
令 得，则 ，解得: ， ，
∴此时水面宽为为: （米）
（2）解:由题意:当船在桥拱的正中心航行时，船的边缘距抛物线对称轴水平距离为 米，在 中，令 得， ，
∵船上货物最高点距拱顶为: （米）且 ，
∴这艘船能从这座拱桥下通过.
17．（1）解：由题意可得，
（2）解：由题意可得，
当时，利润达到最大
答：当x为时，利润达到最大.
18．（1）解：设甲种水果的单价为x元/千克，乙种水果的单价为 元/千克，根据题意得， ，
解得： ，
经检验， 是方程的根，
，
答：甲、乙两种水果的单价分别为 元/千克、 元/千克；
（2）解：由（1）知每听罐头的水果成本为： 元，
每听罐头的总成本为： 元，
设降价 元，则利润
，
，
当 时，W有最大值为 ，
当售价为 元时，利润最大，最大利润为 元；
（3）解：由（2）知， ，
解得： 或 ，
但是降价的幅度不超过定价的 ，
，
售价为 （元），
答：每听罐头的价钱应为 元.
19．（1）解：∵，
∴，
∴可设抛物线解析式为，
又∵当时，，即，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，连接，过点P作轴交于D，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大为9，
∵，，
∴，
∴当最大时，最大，最大为；
（3）解：如图所示，取点E使其坐标为，连接，取中点F，连接，
∵，
∴，，
∴，
∵F是的中点，
∴平分，
∴直线上的点到的距离相等，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或（舍去），
∴点P的坐标为.
