2022-2023学年重庆市江津区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑.
1．（4分）下列实数中，是无理数的是
A． B． C． D．
2．（4分）点所在象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（4分）已知，下列式子不一定成立的是
A． B． C． D．
4．（4分）如图，直线、被直线所截，下列条件不能判定直线与平行的是
A． B． C． D．
5．（4分）为了解某校八年级学生的体能情况，随机抽查了该校八年级若干名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的直方图，请根据图示计算，仰卧起坐次数在次的学生人数占被调查学生人数的百分比为
A． B． C． D．
6．（4分）估计的值在
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．（4分）下列命题正确的是
A．同位角相等
B．互补的角是邻补角
C．实数与数轴上的点是一一对应的
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
8．（4分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八，人数，羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出8钱，还多18钱，问合伙人数，羊价各是多少？设人数为人，羊价为钱，则可列方程组
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，，按这样的运动规律，第23次运动后，动点的纵坐标是
A． B．0 C．1 D．2
10．（4分）对、定义一种新运算，规定：，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，则下列结论正确的个数为
①；②若，则；③若，则；④若，，则、有且仅有6组整数解．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）7的平方根是 ．
12．（4分）调查我市一批药品的质量是否符合国家标准．采用 方式更合适．（填“全面调查”或“抽样调查”
13．（4分）已知点在轴上，则点的坐标为 ．
14．（4分）已知是关于的一元一次不等式，则 ．
15．（4分）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为 ．
16．（4分）如图，直线，的顶点在直线上，若，，则的度数为 ．
17．（4分）若使得关于的不等式组无解，且使得关于，的二元一次方程组的解满足是，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
18．（4分）对于一个三位数，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等，则称这样的数为“幸福数”．将“幸福数” 任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，将这6个两位数的和记为．例如，．记，则 若“幸福数” 满足百位上的数字是个位上数字的3倍，且能被9整除，求满足条件的“幸福数” 的最大值为 ．
三、解答题（本大题8个小题，第19小题8分，其余各小题10分，共78分）解答时每小题
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
20．（10分）（1）解方程组：；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
21．（10分）如图，平分，在上，在上，连接、，与相交于点，，试说明．（请通过填空完善下列推理过程）
解：（已知），
，
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行），
．
平分，
（角平分线的定义），
（等量代换）．
22．（10分）“山水灵动之城，美丽时尚之都”，重庆是一座诗意的城市，是一座有山有水，灵气十足的城市．某校七年级数学兴趣小组就“最想去的重庆市旅游景点”，随机调查了本校七年级部分学生，提供五个景点选择：、磁器口；、洪崖洞；、解放碑；、朝天门；、观音桥．要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的学生共有 名；补全条形统计图；
（2）旅游景点意向扇形统计图中的 ，表示“最想去景点”的扇形圆心角的大小为 度；
（3）若该校七年级共有1200名学生，请估计该校七年级“最想去景点”的学生人数．
23．（10分）在平面直角坐标系中，三角形的位置如图所示，把三角形先向右平移5个单位，再向下平移4个单位可以得到三角形；
（1）在图中画出平移后的三角形；
（2）直接写出点，，的坐标；
（3）求出三角形的面积．
24．（10分）习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”．某企业扶贫小组准备在端午节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖，该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知，1辆大货车与5辆小货车一次可以满载运输650件；2辆大货车与3辆小货车一次可以满载运输600件．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）计划租用两种货车共10辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元．若运输物资不少于1300件，且总费用不超过4600元．请你计算该扶贫小组共有几种运输方案？并计算哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、分别在轴、轴上，轴，轴，点的坐标为，且．
（1）请直接写出点、、的坐标；
（2）若动点从原点出发，沿轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的时，点停止运动，求点的运动时间；
（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）如图，，点是直线上一点，点是平行线、内部一点，连接、．
（1）如图1，当，，求的度数；
（2）如图2，平分，平分，与相交于点，求证：；
（3）如图3，平分，平分，过点作，请直接写出与的数量关系．
2022-2023学年重庆市江津区七年级（下）期末数学试卷
（参考答案）
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑.
1．（4分）下列实数中，是无理数的是
A． B． C． D．
【解答】解：．是分数，它是有理数，
则不符合题意；
．是整数，它是有理数，
则不符合题意；
．是无限不循环小数，它是无理数，
则符合题意；
．是无限循环小数，它是有理数，
则不符合题意；
故选：．
2．（4分）点所在象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：点是横坐标为负数，纵坐标为正数，
所以点在第二象限．
故选：．
3．（4分）已知，下列式子不一定成立的是
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
选项不符合题意；
，
，
选项不符合题意；
，
，
选项不符合题意；
，
，
选项符合题意．
故选：．
4．（4分）如图，直线、被直线所截，下列条件不能判定直线与平行的是
A． B． C． D．
【解答】解：、当，不能判断，故符合题意；
、
，故不符合题意；
、，，
，
，
，故不符合题意；
、，，
，
，故不符合题意；
故选：．
5．（4分）为了解某校八年级学生的体能情况，随机抽查了该校八年级若干名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的直方图，请根据图示计算，仰卧起坐次数在次的学生人数占被调查学生人数的百分比为
A． B． C． D．
【解答】解：由频率分布直方图可以得出，被调查的总人数，又仰卧起坐次数在次的学生人数为7，
故仰卧起坐次数在次的学生人数占被调查学生人数的百分比为．
故选：．
6．（4分）估计的值在
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【解答】解：，
，
即在4和5之间，
故选：．
7．（4分）下列命题正确的是
A．同位角相等
B．互补的角是邻补角
C．实数与数轴上的点是一一对应的
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【解答】解：、两直线平行，同位角相等，故本选项说法错误，不符合题意；
、互补的角不一定是邻补角，故本选项说法错误，不符合题意；
、实数与数轴上的点是一一对应的，说法正确，符合题意；
、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
8．（4分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八，人数，羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出8钱，还多18钱，问合伙人数，羊价各是多少？设人数为人，羊价为钱，则可列方程组
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，得，
故选：．
9．（4分）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，，按这样的运动规律，第23次运动后，动点的纵坐标是
A． B．0 C．1 D．2
【解答】解：由图得，点没运动一次横坐标就增加1，
的横坐标为23，
点的纵坐标变化每6次一循环，
，
点的纵坐标为1．
故选：．
10．（4分）对、定义一种新运算，规定：，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，则下列结论正确的个数为
①；②若，则；③若，则；④若，，则、有且仅有6组整数解．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：，故①正确；
若，则，
解得，故②正确；
若，则，
解得，故③正确；
；④若，，则，
，
、都是整数，
或或，
或或0或或或，
、有且仅有6组整数解，故④正确．
故选：．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）7的平方根是 ．
【解答】解：7的平方根是．
故答案为：．
12．（4分）调查我市一批药品的质量是否符合国家标准．采用 抽样调查 方式更合适．（填“全面调查”或“抽样调查”
【解答】解：调查我市一批药品的质量是否符合国家标准．采用抽样调查方式更合适，
故答案为：抽样调查．
13．（4分）已知点在轴上，则点的坐标为 ．
【解答】解：点在轴上，
，
解得，
所以，
所以点的坐标为．
故答案为：．
14．（4分）已知是关于的一元一次不等式，则 ．
【解答】解：是关于的一元一次不等式，
且，
解得：．
故答案为：．
15．（4分）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为 2 ．
【解答】解：将代入二元一次方程组，
得，
解得：，
，而4的算术平方根为2．
故的算术平方根为2．
故答案为：2．
16．（4分）如图，直线，的顶点在直线上，若，，则的度数为 ．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
17．（4分）若使得关于的不等式组无解，且使得关于，的二元一次方程组的解满足是，则所有满足条件的整数的值之和为 12 ．
【解答】解：由得：，
由得：，
不等式组无解，
，
解得；
由方程组得：，
，
，
，
解得，
，
则所有满足条件的整数的值之和为，
故答案为：12．
18．（4分）对于一个三位数，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等，则称这样的数为“幸福数”．将“幸福数” 任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，将这6个两位数的和记为．例如，．记，则 9 若“幸福数” 满足百位上的数字是个位上数字的3倍，且能被9整除，求满足条件的“幸福数” 的最大值为 ．
【解答】解：由题意得，234是幸福数，
．
．
由题意设任意“幸福数” ，其中，，，，，，均为整数，
．
．
满足百位上的数字是个位上数字的3倍，
．
．
，，
．
为整数，
．
．
又，
．
又能被9整除，
或18．
又且为整数，
，2，3．
，6，9．
要使得最大，故百位最大．
当时，，此时．
满足题意的“幸福数”的最大值为963．
故答案为：9；963．
三、解答题（本大题8个小题，第19小题8分，其余各小题10分，共78分）解答时每小题
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
20．（10分）（1）解方程组：；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
【解答】解：（1），
①②，得：，
将代入①，得：，
解得，
所以方程组的解为；
（2）由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
21．（10分）如图，平分，在上，在上，连接、，与相交于点，，试说明．（请通过填空完善下列推理过程）
解：（已知），
对顶角相等 ，
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行），
．
平分，
（角平分线的定义），
（等量代换）．
【解答】解：（已知），
（对顶角相等），
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
平分，
（角平分线的定义），
（等量代换），
故答案为：对顶角相等；；；两直线平行，同位角相等；．
22．（10分）“山水灵动之城，美丽时尚之都”，重庆是一座诗意的城市，是一座有山有水，灵气十足的城市．某校七年级数学兴趣小组就“最想去的重庆市旅游景点”，随机调查了本校七年级部分学生，提供五个景点选择：、磁器口；、洪崖洞；、解放碑；、朝天门；、观音桥．要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的学生共有 40 名；补全条形统计图；
（2）旅游景点意向扇形统计图中的 ，表示“最想去景点”的扇形圆心角的大小为 度；
（3）若该校七年级共有1200名学生，请估计该校七年级“最想去景点”的学生人数．
【解答】解：（1）本次被调查的学生共有（名，
“最想去景点”的人数为（名，
补全条形统计图为：
故答案为：40；
（2）．
，
“最想去景点”的扇形圆心角的大小为；
故答案为：20，36；
（3）（人，
答：估计该校七年级“最想去景点”的学生人数为180人．
23．（10分）在平面直角坐标系中，三角形的位置如图所示，把三角形先向右平移5个单位，再向下平移4个单位可以得到三角形；
（1）在图中画出平移后的三角形；
（2）直接写出点，，的坐标；
（3）求出三角形的面积．
【解答】解：（1）如图，
（2）由图可得，，，，；
（3）；
答：三角形的面积为5.5．
24．（10分）习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”．某企业扶贫小组准备在端午节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖，该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知，1辆大货车与5辆小货车一次可以满载运输650件；2辆大货车与3辆小货车一次可以满载运输600件．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）计划租用两种货车共10辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元．若运输物资不少于1300件，且总费用不超过4600元．请你计算该扶贫小组共有几种运输方案？并计算哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【解答】解：（1）设1辆大货车一次满载运输件物资，1辆小货车一次满载运输件物资，
根据题意得：，
解得，
辆大货车一次满载运输150件物资，1辆小货车一次满载运输100件物资；
（2）设租用大货车辆，租车费用为元，则租用小货车辆，
运输物资不少于1300件，且总费用不超过4600元，
，
解得：，
为整数，
可取6，7，8，
一共有3种租车方案，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，取最小值，
此时，
租用大货车6辆，小货车4辆，所需费用最少，最少费用是4200元．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、分别在轴、轴上，轴，轴，点的坐标为，且．
（1）请直接写出点、、的坐标；
（2）若动点从原点出发，沿轴以每秒1个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积是长方形面积的时，点停止运动，求点的运动时间；
（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使三角形的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）解：，
，，解得，，
，
，；
（2）解：设，则，
由题意知，，
，解得，
（秒；
点的运动时间为2秒；
（3）解：存在，
由（2）可知，
设，则，，
，
，解得或，
或．
26．（10分）如图，，点是直线上一点，点是平行线、内部一点，连接、．
（1）如图1，当，，求的度数；
（2）如图2，平分，平分，与相交于点，求证：；
（3）如图3，平分，平分，过点作，请直接写出与的数量关系．
【解答】解：如图（1）所示：
过点作，
，
，
，
，
，，
；
（2）如图（2）所示：
由（1）得：，
同理：，
平分，平分，
，，
；
（3）如图（3）所示：
作的角平分线交于点，
，
平分，
，
，
，
即，
，
，
即，
，
由（2）得：，
．
