长沙县2022-2023学年高一下学期期末考试
数 学
本试题卷共4页，分第Ⅰ卷与第Ⅱ卷两部分，全卷满分150分，考试用时120分钟。
第 Ⅰ 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i是虚数单位，复数，则z是（ ）
A． B． C． D．
2．已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．为庆祝中国共产党成立102周年，某县举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三（ ）
A．5人 B．6人 C．7人 D．8人
4．用斜二测画法画出某平面图形的直观图如图所示，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴，已知四边形ABCD的面积为6 cm2，则原四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．3
5．在△ABC中，，，A=30°，则最长边c=（ ）
A．6 B．12 C．6或12 D．
6．要得到函数的图象，需（ ）
A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
C．将函数图象上所有点向左平移个单位
D．将函数图象上所有点向左平移个单位
7．如图，△ABC中，，，D为BC中点，E为AD中点，用a和b表示为，则（ ）
A．3 B． C． D．
8．一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字．记事件A为“两次记录的数字和为奇数”，事件B为“两次记录的数字和大于4”，事件C为“第一次记录的数字为奇数”，事件D为“第二次记录的数字为偶数”，则（ ）
A．A与D互斥 B．C与D对立
C．A与B相互独立 D．A与C相互独立
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全对的得2分．
9．下列有关复数的说法正确的是（ ）
A．若复数，则 B．若，则z是纯虚数
C．若z是复数，则一定有 D．若，，则
10．已知向量a=（1，2），b=（，2），c=（4，k），则下列说法正确的是（ ）
A．a的相反向量是 B．若，则
C．a在b上的投影向量为（，） D．若，则
11．函数（A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．在区间上单调递增
D．将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
12．如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有（ ）
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面ABCD所成角是∠SAB
D．AB与BC所成的角等于DC与SC所成的角
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在本期某校期末考试中，高一数学兴趣小组10名学生成绩依次是：143，140，144，142，142，145，148，147，147，150，这10名同学数学成绩的第60百分位数________．
14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=105°，B=45°，，则c=________．
15．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________．
16．已知正四面体ABCD的棱长为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
已知函数（）的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）求函数的单调递减区间．
18．（本题满分12分）
已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数（是z的共轭复数）
（1）求实数m及；
（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
19．（本题满分12分）
新课标颁布后，特别强调要增加对数学文化的考查．某市高一年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高一年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，技照成绩为[90，100），[100，110），…，[140，150]分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）．
（1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于[120，140）的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求[130，140）这组中至少有1人被抽到的概率．
20．（本题满分12分）
已知向量a=（1，），b=（，0）．
（1）求的坐标以及与a之间的夹角；
（2）当时，求的取值范围，
21．（本题满分12分）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A的大小；
（2）若A的角平分线交BC于D，且AD=3，求△ABC面积的最小值．
22．（本题满分12分）
如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．2023年高中一年二期期末检测试卷
数
学市示范)
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
A
C
S
B
D
D
D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全对的得2分.
题号
9
10
11
12
答案
AD
AC
AC
AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.146
14.10
15.
16.
2
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分10分)解：(1)由最小正周期公式得：
2元=元，故0=2，
…2分
所以f(x)=2sin
引，所以到5
…5分
63
(2)s2kz
32
…7分
解得：
+k标≤x
12
m+k∈Z,
…9分
12
故面数(：)的单避诚区间是音点否女e2
…10分
18.(本题满分12分)解：(1)z=1+mi,∴.2=1-mi,
.z(3+i)=(1-nn)(3+i)=(3+m)+(1-3m)i,
4…1分
3+m=0
·(3+i)为纯虚数，
1-3m≠0’解得m=-3,
…3分
故z=1-3i,则=V2+(-3=而
…5分
(2)i2023=i4053=子=-i,…6分
(tii)33a
1-3i(1-3i)1+3i)
1010
…8分
a-3
<0
10
复数所对应的点在第二象限，
3a+10
…9分
10
解得专。c3,故实数口的值范调为（兮习】
…12分
19.(本题满分12分)解：(1)由频率分布直方图，(0.005+0.03+0.03+x+0.01+0.005)×10=1,
高一数学参考答案第1页/共2页
x=0.02,
…2分
平均分为95×0.05+105×0.3+115×0.3+125×0.2+135×0.1+145×0.05=116.5；…5分
0.2-2,
(2)由频率分布直方图得出成续位于20,130)和130,140)上的人数比为
抽取的6人中成绩位于[120.130)上的有4人，编号为1,2,3,4，位于130,140)上的有2人，编号为
a,b,
…7分
从这6人中任取2人的基本事件有：12,13,14,1a,1b,23,24,2a,2b,34,3a,3b,4a,4b,ab共15个，…9分
其中130,140)这组中至少有1人被抽到的基本事件有1a,1b,2a,2b,3a,3b,4a,4b,ab共9个，…10分
所以所求概率为P=9=3
155
…12分
20.(本题满分12分1解：1)因为a=1V5),6=(-2,0),所以a-i=(3,√⑤)，
…2分
(a-B.a
65
设a-五与a之间的夹角为0，则cos0
-a4521
…4分
因为8∈[0，可，所以a-与a之间的夹角为
6
…6分
(2)a-=a-21a-万+r8=4+4+4=(2+1+3,
…9分
因为t∈[-1小，所以6-∈3,12]，故a-的取值范围是[V5,235
…12分
21.(本题满分12分)解：(1)由正弦定理，得V3sinC=V5 sin Acos B-sin Asin B,
得√3sin(A+B)=√3 sinAcosB+√3 cos Asin B=√3 sinAcosB-sin Asin B,
3cos Asin B=-sin Asin B,
…9分
因为AB∈(0，元sinB≠0，所以anA=-3,即A=27
3
…6分
(2)②图为8 besin7-ADsn子等，所以c=动+
32
因为bc=3动+3c≥6√bc,即bc≥36（当且仅当b=c=6时，等号成立），
所以c≥95。故△ABC荷积的装小值为95，
…12分
22.(本题满分12分)证明：(1)PA⊥底面ABC，BCC底面ABC,PALBC,
又：∠ACB=90°，∴.BCLAC,
又PA,ACC平面AC,且PA∩AC=A,
∴BC⊥平面PAC.又BCc平面PBC,
.平面PAC⊥平面PBC.…6分
(2)取PC中点D,连结AD,AC=PA,·.ADL PC,
又平面PAC⊥平面PBC,ADc平面PAC.∴.AD⊥平面PBC,
连结DM,AM,则∠AMD即为AM与平面PBC所成的角，
设AC=BC=PA=a,则4D=2
>a,Did=1BC=二a,
2
所以tan∠AMD=
D=2…12分
DM
高一数学参考答案第2页/共2页
