人教A版（2019）选修一第三章圆锥曲线的方程
（共22题）
一、选择题（共13题）
已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 为抛物线 上横坐标为 的点，过点 的直线交 轴的正半轴于点 ，且 为正三角形，则
A． B． C． D．
已知点 在双曲线 的渐近线上，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
若双曲线 的一条渐近线经过点 ，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上一点， 为坐标原点，若 为等边三角形，则椭圆 的离心率为
A． B． C． D．
已知双曲线 ： 的离心率为 ， 为坐标原点，过右焦点 的直线与双曲线 的两条渐近线的交点分别为 ，，且 为直角三角形，若 的面积为 ，则双曲线 的方程为
A． B． C． D．
已知第一象限内的点 既在双曲线 上，又在抛物线 上，设 的左、右焦点分别为 ，，若 的焦点为 ，且 是以 为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
已知椭圆 经过点 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
已知 是椭圆 的半焦距，则 的取值范围是
A． B． C． D．
“ 且 ”是“方程 表示双曲线”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
设抛物线 的焦点为 ，点 在 上，，若以线段 为直径的圆过点 ，则 的方程为
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线 上横坐标为 的点，过点 的直线交 轴的正半轴于点 ，且 为正三角形，则
A． B． C． D．
已知双曲线的中心在原点，两个焦点 ， 分别为 和 ，点 在双曲线上，且 ， 的面积为 ，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
圆心在抛物线 上，并且与抛物线的准线及 轴都相切的圆的方程是
A． B．
C． D．
二、填空题（共5题）
设 是椭圆 上的点，且 到该椭圆左焦点的距离为 ，且 到右焦点的距离为 ．
设椭圆的两个焦点分别为 ，，过 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为 ，若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ．
过双曲线 的左焦点 ，作倾斜角为 的直线与双曲线交于 ， 两点，则 ．
已知双曲线 经过点 ，那么 的值为 ， 的渐近线方程为 ．
已知椭圆 ，双曲线 ．若双曲线 的两条渐近线与椭圆 的四个交点及椭圆 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 的离心率为 ；双曲线 的离心率为 ．
三、解答题（共4题）
如图，设 是圆 上的动点，点 是 在 轴上的射影， 为 上一点，且 ．
(1) 当 在圆上运动时，求点 的轨迹 的方程；
(2) 求过点 且斜率为 的直线被 所截线段的长度．
若曲线 上任意一点 与点 ， 连线的斜率之积为 ，过原点的直线与曲线 交于 ， 两点，其中点 在第二象限，过点 作 轴的垂线交 于点 ．
(1) 求曲线 的方程；
(2) 试比较 与 的大小．
设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点，点 的坐标为 ．
(1) 当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
(2) 设 为坐标原点，证明：．
设椭圆 的短轴长为 ，离心率为 ．
(1) 当直线 与椭圆有公共点时，求实数 的取值范围；
(2) 设点 是直线 被椭圆所截得的线段 的中点，求直线 的方程．
答案
一、选择题（共13题）
1. 【答案】B
【解析】由题意可知，当 在焦点 的右侧时，
，，
当 在焦点 的左侧时，同理可得 ，此时点 在 轴的负半轴，不合题意．
故选：B．
2. 【答案】C
【解析】点 在双曲线 的渐近线上，可得 ，
所以 ，，
所以双曲线的离心率为：．
故选：C．
3. 【答案】A
4. 【答案】A
5. 【答案】C
6. 【答案】A
【解析】因为 的左、右焦点分别为 ，， 的焦点为 ，
所以抛物线的准线方程为：，
又因为 是以 为底边的等腰三角形，
过 作 垂直准线 ，如图所示：
则 ，
所以四边形 是正方形，
则 是等腰直角三角形，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
即 ，
解得 ．
7. 【答案】D
【解析】因为椭圆 经过点 ，
所以 ，
所以 ，
则 ．
又 ，
所以 ，
故 的取值范围是 ．
故选D．
8. 【答案】D
9. 【答案】B
【解析】若方程 表示双曲线，
则 ，解得 ．
当 时，方程 表示双曲线．
故“ 且 ”是“方程 表示双曲线”的必要不充分条件．
10. 【答案】C
【解析】由题意可知 ，准线方程为 ，
设点 ，，又线段 为直径的圆过点 ，
所以圆的半径为 ，圆心坐标为 ，，
所以 ，即 代入抛物线方程得，，
解得 ．
11. 【答案】B
【解析】当点 的横坐标为 时，过点 作 轴于 ，，
所以 ．
因为 为正三角形，
所以 ．
又因为 ，
所以 ，
所以 ．
12. 【答案】C
【解析】由题可得 得 ，即 ，解得 ．又因为 ，所以 ，所以双曲线的方程为 ．
13. 【答案】D
二、填空题（共5题）
14. 【答案】
【解析】由椭圆的定义知 ，
因为点 到左焦点的距离为 ，
所以点 到右焦点的距离为 ．
15. 【答案】
【解析】设椭圆的方程为 ，
设点 ，则 ，，
所以 ，
由题意得 ，，
中．，
所以 ，，
所以 ．
16. 【答案】
【解析】依题意，得双曲线的左焦点 的坐标为 ，直线 的方程为 ．
由 得 ．
设 ，，则 ，，
所以
17. 【答案】 ；
【解析】双曲线 经过点 ，
可得 ，解得 ，
双曲线方程为：，
所以它的渐近线方程为：．
18. 【答案】 ；
三、解答题（共4题）
19. 【答案】
(1) 设 的坐标为 ， 的坐标为 ，
由已知得
因为 在圆上，
所以 ，即点 的轨迹 的方程为 ．
(2) 过点 且斜率为 的直线方程为 ，
设直线与 的交点为 ，，
将直线方程 代入 的方程，得 ，
整理得 ，
所以 ，，
所以 ．
20. 【答案】
(1) 设点 的坐标为 ，由题意知 ，
即 ，
所以 ．
(2) 设直线 的方程为 ，，与椭圆方程联立可得 ，
设 ，则有 ，
解得 ，从而 ，
由椭圆的对称性可得 ，所以 ，
于是 ，
所以直线 的方程为 ，因此 的坐标为 ，
故 ，
，
所以 ，
因为点 在第二象限，所以 ，
而 ，所以 ，
于是有 ．
21. 【答案】
(1) 由已知得 ， 的方程为 ，
由已知可得，点 的坐标为 或 ．
所以 的方程为 或 ．
(2) 当 与 轴重合时，，
当 与 轴垂直时，直线 为 的垂直平分线，
所以 ．
当 与 轴不重合也不垂直时，
设 的方程为 ，，，则 ，，
直线 ， 的斜率之和为 ，
由 ， 得 ．
将 代入 得 ，
所以 ，．
则 ，
从而 ，故 ， 的倾斜角互补，
所以 ．
综上，．
22. 【答案】
(1) 因为离心率 ，
所以 ，
又因为椭圆的短半轴长 ，，
所以 ，，
即椭圆方程为 ，
因此，，
因为直线 与椭圆有公共点，
所以 ，即 ，
解得 ．
(2) 设 ，．
解法一：当斜率不存在时，不符合题意；当斜率存在时，设直线方程为 ，
联立方程
所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ．
解法二：，
所以斜率 ，
所以直线 的方程为 ．
