2023年新疆乌鲁木齐市米东区中考数学适应性试卷（5月份）
一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共计45分）
1．（5分）一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）为保障2022年北京冬奥会顺利举行，中国耗时5年，成功突破外国人工造雪技术的封锁，为滑雪等项目提供了有利条件．据造雪专家介绍，所有赛道的造雪面积约为125000平方米．数据125000用科学记数法表示为（ ）
A．0.125×105 B．1.25×106 C．1.25×105 D．12.5×104
3．（5分）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（ ）
A．135° B．125° C．115° D．105°
4．（5分）如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，D为⊙O上的一点，且C、D两点分别在AB的异侧，则∠D的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
5．（5分）一条葡萄藤上结有五串葡萄，每串葡萄的粒数如图所示（单位：粒）．则这组数据的中位数为（ ）
A．37 B．35 C．33.8 D．32
6．（5分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）计算（2﹣6+3）÷的结果是（ ）
A．10 B．20 C．14 D．16
8．（5分）在△ABC中，∠A＝38°，∠B＝52°，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
9．（5分）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，F（n）＝（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n＝24，则：
若n＝13，则第2020次“F”运算的结果是（ ）
A．1 B．4 C．2020 D．42020
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共计30分）
10．（5分）分解因式：a2b﹣2ab+b＝ ．
11．（5分）斜面的坡度为i＝1：，一物体沿斜面向上推进了20米，那么物体升高了 米．
12．（5分）如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，将对角线BC绕点B逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的数是 ．
13．（5分）如图，在 ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F．分别以点F，B为圆心，大于BF长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为 ．
14．（5分）如图所示是一次函数y1＝kx+b和反比例函数y2＝的图象，观察图象写出当y1＞y2时，x的取值范围为 ．
15．（5分）如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则△BCD的面积为 ．
三、解答题（本题共8小题，共计75分）
16．（6分）先化简，再求值：，其中a＝﹣．
17．（6分）解不等式组，并把解集在如图所示的数轴上表示出来．
18．（8分）为有效推进儿童青少年近视防控工作，教育部办公厅等十五部门联合制定《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021﹣2025年）》，共提出八项主要任务，其中第三项任务为强化户外活动和体育锻炼．我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、排球、乒乓球．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查（要求必须选择且只能选择其中一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．
课程 人数
篮球 m
足球 21
排球 30
乒乓球 n
根据图表信息，解答下列问题：
（1）分别求出表中m，n的值；
（2）求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有2000名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数．
19．（10分）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
20．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则求OH的长．
21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
22．（11分）小明在课外研究中，设计如下题目：直线y＝kx+b过点A（6，0），B（0，3），直线y＝kx+b与曲线y＝交于点C（4，n）．
（1）求直线和曲线的关系式．
（2）小明发现曲线y＝关于直线y＝x对称，他把曲线y＝与直线y＝x的交点P叫做曲线的顶点（图2），
①直接写出P点的坐标．
②若点D从P点出发向上运动，运动到PD＝PC时停止，求此时△PCD的面积．
23．（14分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围．
2023年新疆乌鲁木齐市米东区中考数学适应性试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共计45分）
1．（5分）一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（ ）
A． B． C． D．
【分析】正数表示的是超出标准的，负数表示的是不足标准的，只有绝对值的大小表示的是与不足差值的多少．
【解答】解：|﹣1.2|＝1.2；
|﹣2.3|＝2.3；
|0.9|＝0.9；
|﹣0.8|＝0.8，
∵0.8＜0.9＜1.2＜2.3，
∴0.8最小，
故选：D．
【点评】本题考查的是正负数，解题的关键是求出绝对值．
2．（5分）为保障2022年北京冬奥会顺利举行，中国耗时5年，成功突破外国人工造雪技术的封锁，为滑雪等项目提供了有利条件．据造雪专家介绍，所有赛道的造雪面积约为125000平方米．数据125000用科学记数法表示为（ ）
A．0.125×105 B．1.25×106 C．1.25×105 D．12.5×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：125000＝1.25×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（5分）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（ ）
A．135° B．125° C．115° D．105°
【分析】直接利用三角形的外角性质得出∠ACD度数，再利用平行线的性质分析得出答案．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠A＝75°，
∴∠ACD＝30°+75°＝105°，
∵BD∥EF，
∴∠E＝∠ACD＝105°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题关键．
4．（5分）如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，D为⊙O上的一点，且C、D两点分别在AB的异侧，则∠D的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】连接BD，由圆周角定理得∠ADB＝90°，再证，然后由圆周角定理求解即可．
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵C为半圆的中点，
∴，
∴∠ADC＝∠BDC＝∠ADB＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5．（5分）一条葡萄藤上结有五串葡萄，每串葡萄的粒数如图所示（单位：粒）．则这组数据的中位数为（ ）
A．37 B．35 C．33.8 D．32
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：28，32，35，37，37，
位于最中间的数是35，
∴这组数的中位数是35．
故选：B．
【点评】本题主要考查了确定一组数据的中位数的能力，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数，难度适中．
6．（5分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
7．（5分）计算（2﹣6+3）÷的结果是（ ）
A．10 B．20 C．14 D．16
【分析】先根据二次根式的除法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【解答】解：（2﹣6+3）÷
＝2﹣6+3
＝2﹣6×+3
＝4﹣2+12
＝14，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
8．（5分）在△ABC中，∠A＝38°，∠B＝52°，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
【分析】利用三角形的内角和定理求得∠C，从而可判定三角形的类型．
【解答】解：∵∠A＝38°，∠B＝52°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为180°．
9．（5分）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，F（n）＝（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n＝24，则：
若n＝13，则第2020次“F”运算的结果是（ ）
A．1 B．4 C．2020 D．42020
【分析】计算出n＝13时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可．
【解答】解：若n＝13，
第1次结果为：3n+1＝40，
第2次结果是：＝5，
第3次结果为：3n+1＝16，
第4次结果为＝1，
第5次结果为：4，
第6次结果为：1，
…
可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，
且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，
而2020次是偶数，因此最后结果是1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了数字的变化类，能根据所给条件得出n＝13时六次的运算结果，找出规律是解答此题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共计30分）
10．（5分）分解因式：a2b﹣2ab+b＝ b（a﹣1）2 ．
【分析】先提取公因式b，再利用完全平方公式进行二次分解．
【解答】解：a2b﹣2ab+b，
＝b（a2﹣2a+1），…（提取公因式）
＝b（a﹣1）2．…（完全平方公式）
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意要分解彻底．
11．（5分）斜面的坡度为i＝1：，一物体沿斜面向上推进了20米，那么物体升高了 10 米．
【分析】运用坡度的定义，即垂直高度与水平距离的比值，所以i＝tan∠ABC＝，再结合三角函数关系求出即可．
【解答】解：∵斜坡的坡度为i＝1：，
又∵i＝tan∠ABC＝
∴＝＝，
∴∠ABC＝30°，
∵某物体沿斜面向上推进了20米，即AB＝20，
∴AC＝AB＝sin30°＝10米．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了坡度的定义，以及锐角三角函数关系，正确的运用坡度的定义是解决问题的关键．
12．（5分）如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，将对角线BC绕点B逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的数是 1﹣ ．
【分析】先计算BC的长，即BC＝BM，再确定M点表示的数．
【解答】解：根据题意得：BC＝，OB＝1，
∴BM＝BC＝，OM＝MB﹣OB＝﹣1，
∵M点在原点O的左侧，
∴点M表示的数是﹣（﹣1）＝1﹣，
故答案为：1﹣．
【点评】本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握数轴上的点表示数的特点．
13．（5分）如图，在 ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F．分别以点F，B为圆心，大于BF长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为 8 ．
【分析】设AE交BF于点O．证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题．
【解答】解：如图，设AE交BF于点O．
由作图可知：AB＝AF，∠FAE＝∠BAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝AF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA＝OE，OB＝OF＝3，
在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，
∴OA＝＝＝4，
∴AE＝2OA＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（5分）如图所示是一次函数y1＝kx+b和反比例函数y2＝的图象，观察图象写出当y1＞y2时，x的取值范围为 ﹣2＜x＜0或x＞3 ．
【分析】根据图象可得：要使y1＞y2，需图象y1在图象y2的上方．
【解答】解：根据图象可得当y1＞y2时，x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞3．
【点评】主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
（1）反比例函数y＝kx的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
（2）一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
15．（5分）如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则△BCD的面积为 6 ．
【分析】根据平行四边形的性质，可证△EDF∽△CBF，继而证得相似之比为DE：BC＝DF：BF＝EF：FC＝1：2，再利用相似三角形的性质及同高两个三角形面积比等于底之比即可求得结果．
【解答】解：∵E是AD中点，
∴DE＝AD＝BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴DE：BC＝DF：BF＝EF：FC＝1：2，
∴S△DEF：S△BCF＝＝，
∴S△BCF＝4，
∵EF：FC＝1：2，
S△DEF：S△DCF＝1：2，
∴S△DCF＝2，
S△BCD＝S△BCF+S△DCF＝6．
故答案为：6．
【点评】解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方、同高两个三角形面积比等于底之比．
三、解答题（本题共8小题，共计75分）
16．（6分）先化简，再求值：，其中a＝﹣．
【分析】原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ ﹣＝﹣＝＝，
当a＝﹣时，原式＝﹣2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（6分）解不等式组，并把解集在如图所示的数轴上表示出来．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
不等式组的解集如图所示：
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）为有效推进儿童青少年近视防控工作，教育部办公厅等十五部门联合制定《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021﹣2025年）》，共提出八项主要任务，其中第三项任务为强化户外活动和体育锻炼．我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、排球、乒乓球．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查（要求必须选择且只能选择其中一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．
课程 人数
篮球 m
足球 21
排球 30
乒乓球 n
根据图表信息，解答下列问题：
（1）分别求出表中m，n的值；
（2）求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有2000名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数．
【分析】（1）根据选择排球的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，然后计算出m、n的值；
（2）用360°乘以样本中“足球”所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以样本中选择“乒乓球”课程的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）30÷＝120（人），
即参加这次调查的学生有120人，
选择篮球的学生m＝120×30%＝36，
选择乒乓球的学生n＝120﹣36﹣21﹣30＝33；
（2）360°×＝63°，
即扇形统计图中“足球”项目所对应扇形的圆心角度数是63°；
（3）2000×＝550（人），
答：估计其中选择“乒乓球”课程的学生有550人．
【点评】本题考查统计表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（10分）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
【分析】设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案．
【解答】解：设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640，
整理得x2﹣12x+27＝0，
∴x＝3或x＝9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为38﹣9＝29元/千克．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则求OH的长．
【分析】根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半，求出菱形的对角线的长，再利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，
∵OA＝6，
∴AC＝2OA＝12，
∵s菱形ABCD＝AC BD＝24，
∴＝48，
∴BD＝8，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∵DO＝BO，
∴OH＝BD＝4．
【点评】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的性质以及直角三角形斜边上中线是斜边的一半是解题的关键．
21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
【分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．
【解答】（1）证明：连接AC、OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵CD⊥AD，
∴OC∥AD，
∴∠OCB＝∠E，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠B＝∠E，
∴AE＝AB；
（2）解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝8，
∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，
∴CE＝BC＝6，
∵CD AE＝AC CE，
∴CD＝＝．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
22．（11分）小明在课外研究中，设计如下题目：直线y＝kx+b过点A（6，0），B（0，3），直线y＝kx+b与曲线y＝交于点C（4，n）．
（1）求直线和曲线的关系式．
（2）小明发现曲线y＝关于直线y＝x对称，他把曲线y＝与直线y＝x的交点P叫做曲线的顶点（图2），
①直接写出P点的坐标．
②若点D从P点出发向上运动，运动到PD＝PC时停止，求此时△PCD的面积．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入直线表达式，即可求出直线表达式，进而求出点C（4，1）；将点C的坐标代入曲线的表达式，即可求解；
（2）①联立曲线和直线y＝x表达式，即可求解；
②直线CD与直线AO的夹角为45°，求出直线CD的表达式为：y＝﹣x+5，进而求出点H（，），△PCD的面积＝CD×PH＝CH×PH，即可求解．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入直线表达式得：，解得：，
故直线表达式为：y＝﹣x+3，
当x＝4时，y＝﹣x+3＝﹣2+3＝1＝n，故点C（4，1）；
将点C的坐标代入曲线的表达式得：1＝，解得：m＝4，
故曲线的表达式为：y＝；
（2）①联立曲线和直线y＝x表达式得：解得：，（舍去），
故点P（2，2）；
②设直线CD与y＝x交于点H，如下图，
曲线y＝关于直线y＝x对称，且PD＝PC，则点C、D关于直线y＝x对称，
故CD⊥PH，
∵直线y＝x的倾斜角为45°，则直线CD与直线AO的夹角为45°，
故设直线CD的表达式为：y＝﹣x+t，
将点C的坐标代入上式并解得：t＝5，
故直线CD的表达式为：y＝﹣x+5，
联立y＝x和y＝﹣x+5并解得：x＝，y＝，故点H（，），
则PH＝＝，同理可得：CH＝，
点C、D关于y＝x对称，则CD＝2CH＝2DH，
△PCD的面积＝CD×PH＝CH×PH＝×＝．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图象的对称性、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．
23．（14分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围．
【分析】（1）将点A和点C坐标代入二次函数关系式，从而求得b，c，进而求得关系式及M点坐标；
（2）求出AC的关系式，将x＝1代入，进而求得m的范围．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴二次函数的解析式是：y＝﹣x2+2x+4，
∵y＝﹣（x﹣1）2+5，
∴点M（1，5）；
（2）∵A（3，1），C（0，4），
∴直线AC的解析式是：y＝﹣x+4，
当x＝1时，y＝﹣1+4＝3，
∵M（1，5），A （3，1），
∴2＜m＜4．
【点评】本题考查了求一次函数，二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关相似三角形和函数的基础知识．
