2023年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则集合中元素的个数为( )
A. B. C. D.
3. 为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，市某高中全体教师于年月日开展植树活动，购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共计棵，比例如图所示青年教师、中年教师、老年教师报名参加植树活动的人数之比为：：，若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配，则中年教师应分得梧桐的数量为( )
A. 棵 B. 棵 C. 棵 D. 棵
4. 九章算术商功：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”意思是一个长方体沿对角面斜解图，得到一模一样的两个堑堵图，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解图，得一个四棱锥称为阳马图，一个三棱锥称为鳖臑图若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，则下列等式错误的是( )
A. B.
C. D.
5. 黄金分割最早见于古希腊和古埃及黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的，两段，使得长线段与原线段的比等于短线段与长线段的比，即：：，其比值约为小王酷爱数学，他选了其中的，，，，，这六个数字组成了手机开机密码，如果两个不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为( )
A. B. C. D.
6. 已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的倍，然后向上平移个单位长度得到函数的图象，则( )
A. B. 在上单调递增
C. 的图象关于点中心对称 D. 在上的值域为
7. 已知函数，则的图象大致是( )
A. B.
C. D.
8. 在平面直角坐标系中，不等式组为常数表示的平面区域的面积为，若，满足上述约束条件，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9. 已知中，，，，，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
10. 已知抛物线：的焦点关于直线的对称点为，为坐标原点，点，在上且满足、均不与重合，则面积的最小值为( )
A. B. C. D.
11. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
12. 已知在中，，的面积为，若恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数是偶函数，则实数 ______ ．
14. 已知，则 ______ ．
15. 设双曲线：的离心率为，实轴长为，设直线与双曲线在轴左、右两侧的交点分别是，，若以线段为直径的圆恰过坐标原点，则的最小值为______ ．
16. 在四面体中，，，，且，，异面直线，所成的角为，则该四面体外接球的表面积为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和裁布三个环节，简记为工序，工序，工序经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费元，成功通过三道工序最终的奖励金额是元，为了更好地激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费元，制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用．
若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率；
若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值．
18. 本小题分
已知数列与的前项和分别为和且对任意，恒成立．
若，，求；
若对任意，都有，及恒成立，求正整数的最小值．
19. 本小题分
已知正四棱台的体积为，其中．
求侧棱与底面所成的角；
在线段上是否存在一点，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
20. 本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴的长度为，离心率为．
求椭圆的方程；
设，过点做两条直线，，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，的中点为，的中点为；若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点．若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．
21. 本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若有两个零点，求的取值范围．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线、相交于，两点，曲线经过变换后得到曲线．
求曲线的普通方程和线段的长度；
设点是曲线上的一个动点，求的面积的最小值．
23. 本小题分
已知函数．
求不等式的解集；
若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
在复平面内对应的点位于第四象限，
，解得，
故实数的取值范围是．
故选：．
根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
当，时，为偶数，有个；
当，时，为奇数，有个；
当，时，为奇数，有个．
在满足条件的奇数中，重复的有：，，共个，
故集合中元素的个数为．
故选：．
由题意得到集合的元素是大于等于且小于等于的奇数，逐一与，，相乘，除去重复的元素得答案．
本题考查集合的表示法，考查了元素与集合关系的判断，关键是明确重复元素的个数，是中档题．
3.【答案】
【解析】解：由题意可知，梧桐树苗有颗，
根据人数占比可得中年教师应分得梧桐的数量为颗．
故选：．
先求出梧桐树苗的颗数，再根据中年教师人数占比求解即可．
本题主要考查了统计图表的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，长方体的体积为，
由题意可得：，，可得，故A正确；
如图：
由，
得，，故B错误，C正确；
，故D正确．
故选：．
由题意结合等体积法逐一分析四个选项得答案．
本题考查多面体体积的求法，考查等体积法的应用，考查运算求解能力，是中档题．
5.【答案】
【解析】解：先排，，，，四个数字，有，
四个数字中间有个空，选个排，有，
则共有种不同的密码．
故选：．
先排，，，，四个数字，然后利用插空法选两个空放即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用不相邻问题插空法进行求解是解决本题的关键，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：函数，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的倍可得函数，
再向上平移个单位可得，
中，由解析可知不正确；
中，，可知，所以先增后减，即在上单调递增不正确；所以不正确；
中，因为，所以不关于对称，所以不正确；
中，，则，所以，所以，所以D正确．
故选：．
由函数的解析式及题意可得的解析式，进而判断所给命题的真假．
本题考查三角函数的平移及伸缩变换的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，且，
则函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B；
又时，，，，
则此时，排除选项A；
又当时，，排除选项D．
故选：．
由函数的奇偶性可排除选项B；由时，可排除选项A；由时，可排除选项D；进而得到答案．
本题考查根据函数性质确定函数图象，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：不等式组为常数表示的平面区域的面积为，
圆的面积为，则．
由约束条件作出可行域如图，
，
而的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率．
设过的圆的切线的斜率为，则切线方程为，即．
由，解得或．
的最小值为．
故选：．
由约束条件作出可行域，由，而的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率．结合直线与圆的位置关系求得答案．
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：由平面向量的加法法则可得，就是点到的距离，
，是的平分线，
，
即，
，，
，，，
为等腰直角三角形，，
设，为斜边的两个四等分点，
，且，
，，三点共线且在的两个四等分点之间运动，
，，，
由图易得：当时，最小，此时∽，
，，
当在时，最大，此时在中，
由余弦定理有：．
的取值范围为
故选：．
由平面向量的加法法则可得就是点到的距离，结合已知可得为等腰直角三角形，
由，，可得，，三点共线且在的两个四等分点之间运动，由图易得其取值范围．
本题考查平面向量的线性运算和余弦定理，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由抛物线的方程可知焦点，
由题意可得，解得，，
所以抛物线的方程为，
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，且，设，，
联立，整理可得，
，即，且，，，
又因为，即，，所以，
即直线的方程为，所以直线恒过点，
所以，当且仅当时，等号成立．
故选：．
由抛物线的方程设焦点的坐标，由焦点与点关于直线对称，求出，的值，即求出抛物线的方程，设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，再由数量积为，可得直线恒过定点的坐标，代入三角形的面积关系，可得面积的最小值．
本题考查抛物线的求法及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由已知可得，得，
，
记，易知在上单调递增，
，
，
，
记，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
，解得，
故选：．
利用已知条件变形得，换元构造函数，利用其单调性得，然后构造新函数利用函数的导数求最值解决问题．
本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查转化思想以及运算求解能力，属于难题．
12.【答案】
【解析】解：由于，所以，
，
则，
令，则，令，则，
故当时，，当时，，
故，故，则实数的取值范围为．
故选：．
利用正余弦定理，将表示出来，利用换元法，转化成分式函数求最值，即可得实数的取值范围．
本题考查正余弦定理，考查利用导数求函数最值，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，
又为偶函数，
则，
解得，
经检验，符合题意．
故答案为：．
根据题意可得，求得的值，再验证即可．
本题考查函数的奇偶性，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
可得，
可得，
则
．
故答案为：．
利用两角和与差的三角函数化简已知条件，利用诱导公式以及二倍角公式，转化求解即可．
本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
15.【答案】
【解析】解：因为实轴长为，所以，又双曲线：的离心率为，所以，
所以，
所以双曲线的方程为，
因为以线段为直径的圆恰过坐标原点，所以，
因为，分别在双曲线左，右两支上，所以，的斜率均存在，
可高的斜率为，则的斜率为，直线的方程为，
由，解得，所以．
同理可求，
所以，
所以，
当且仅当时取等号．故．
故选：．
由已知可求双曲线的方程，设直线的方程为，由，解得，，可求的最小值．
本题考查双曲线与直线的位置关系，以及基本不等式的应用，属中档题．
16.【答案】或
【解析】解：将四面体放到长方体中，则在长方体的后侧面内，
异面直线，所成角为，，
或，即为图中或，
设中点为，四面体的外接球的球心为，球的半径，
则由对称性可知：球心在过且垂直于平面的垂线上，并且，
建立如图的空间右手直角坐标系，，，，
设，，又，，
，
，或，
解得或，
或，
该四面体外接球的表面积为或．
故答案为：或．
将四面体放到长方体中，则在长方体的后侧面内，由异面直线，所成角为，，可得或，即为图中或，设中点为，四面体的外接球的球心为，球的半径，则由对称性可知：球心在过且垂直于平面的垂线上，并且，再建系，利用空间坐标及两点间的距离公式建立方程即可求解．
本题考查四面体的外接球问题，分割补形法，坐标法，空间坐标及两点间距离公式，球的表面积公式，属中档题．
17.【答案】解：设事件为“小李聘请一位技术员成功完成三道工序”，当是由技术员完成时，则小李完成工序失败，
当这位技术员完成工序时，三道工序完成的概率为：，
当这位技术员完成工序时，三道工序完成的概率为：，
当这位技术员完成工序时，三道工序完成的概率为：，
当没有接受技术员补救时，三道工序完成的概率为：，
．
设小李最终获得收益为，则的可能取值为，，，，
，
，
，
，
故E．
【解析】设事件为“小李聘请一位技术员成功完成三道工序”，求出当这位技术员分别完成工序，，时，三道工序完成各自对应的概率，再相加即可；设小李最终获得收益为，则的可能取值为，，，，计算对应概率，求出期望即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
18.【答案】解：由题意，当时，，
当时，
，
当时，也满足上式，
，，
由，
可得，
整理，得，
，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
．
依题意，由及，
可得，
化简整理，得，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
，
，
对任意，都有恒成立，
，即，
的为正整数，
满足不等式的正整数的最小值为．
【解析】根据题干已知条件并结合公式推导出数列的通项公式，代入后化简整理，进一步推导即可发现数列是以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式即可计算出前项和的表达式；
先根据代入进行化简整理，进一步推导即可发现数列是以为首项，为公比的等比数列，初步计算出前项和关于首项的表达式，然后运用裂项相消法计算出，再转化为关于的表达式，最后根据不等式的性质即可推导出满足不等式的正整数的最小值．
本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了整体思想，分类讨论思想，转化与化归思想，等差数列和等比数列求和公式的运用，不等式的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19.【答案】解：在正四棱台中，
，，，
设正四棱台的高为，
由正四棱台的体积为，得，
得．
连接，过作，垂足为，则为正四棱台的高，
且为侧棱与底面所成的角，
在中，，，
，即侧棱与底面所成的角为；
设正四棱台的上下底面的中心分别为，，
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设线段上存在一点，满足，
，，，
，
则，
．
若，则，解得，舍去．
在线段上不存在一点，使得D.
【解析】由已知求得棱台的高，再求解三角形可得侧棱与底面所成的角；
设正四棱台的上下底面的中心分别为，，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设线段上存在一点，满足，利用空间向量求解值判定．
本题考查多面体体积的计算，考查直线与直线垂直的判定，考查空间向量的应用，是中档题．
20.【答案】解：由题意可知，解得，
椭圆的方程为：；
由题意知，直线，斜率都存在且不为，
设：，：，
设点，，，，
联立方程，得，
则，，
，
，
同理可得，
．
则
则．
直线：，
即．
则直线过定点．
【解析】由题意列出关于，，的方程，解出，，的值，从而得到椭圆的标准方程；
直线，斜率都存在且不为，设：，：，分别联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得，的坐标，进一步求出的方程，即可得到直线过定点．
本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，是中档题．
21.【答案】解：求导，
因为，，
所以，当时，，所以在上单调递减，
当时，，
令，解得：，当，解得：，当，解得：，
所以时，单调递减，单调递增；
综上可知：当时，在减函数，
当时，在是减函数，在是增函数；
若时，由可知：最多有一个零点，
当时，由可知：当时，取得最小值，，
当，时，，故只有一个零点，
当时，由，即，故没有零点，
当时，，，
由，
故在有一个零点，
假设存在正整数，满足，则，
由，因此在有一个零点．
所以的取值范围．
【解析】求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得单调性；
分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得的取值范围．
本题主要考查了导数与单调性的关系，以及函数零点问题，分类讨论是本题的解题关键，属于难题．
22.【答案】由曲线的极坐标方程为，得，
又，，，即，
由为参数，消去参数得：，
联立可得：，或，
所以，或，，计算得；
曲线经过伸缩变换后得到曲线，
则，即曲线的方程为：，
设点，
则点到直线的距离为，其中，
故当时，取得最小值，
因此当点到直线的距离最小时，的面积也最小，
所以的面积的最小值为．
【解析】由参数方程，普通方程，极坐标方程的互化知识可得曲线，的普通方程，联立方程可求得，的坐标，从而求出；
由题可求得曲线的方程，设出点的坐标，再由点到直线的距离公式可求点到直线的距离的最小值，从而求的面积的最小．
本题考查参数方程，普通方程，极坐标方程的互化，直线与圆锥曲线的相交问题，属于中档题．
23.【答案】解：已知函数，
当时，要求不等式的解集，
即求的解集，
显然该不等式成立，
所以当满足条件；
当时，要求不等式的解集，
即求的解集，
解得，
所以当不满足条件；
当时，要求不等式的解集，
即求的解集，
解得，
所以当满足条件；
综上，不等式的解集为；
若对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
当时，恒成立，
此时，
当时，
，
因为，
当且仅当时等号成立，
此时，
综上，实数的取值范围为．
【解析】由题意，对，和这三种情况进行讨论，进而即可求解；
将对任意的恒成立转化成对任意的恒成立，分别对和这两种情况进行分析，结合不等式进行求解即可．
本题考查不等式恒成立问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
第1页，共1页
