2022-2023学年江西省南昌市南昌县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列各组数中，不是勾股数的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3. 如图，李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，路途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程千米与行进时间小时的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 甲、乙、丙三个旅游团的游客人数都相等，且每个团游客的平均年龄都是岁，这三个团游客年龄的方差分别是，，，导游小方最喜欢带游客年龄相近的团队，若在这三个团中选择一个，则他应选( )
A. 甲队 B. 乙队 C. 丙队 D. 哪一个都可以
5. 若一次函数的图象上有两点、，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
6. 如图， 中，，，于，则等于( )
A. B. C. D.
7. 某市从不同学校跪机抽取名初中生，对“学校统一使用数学教辅用书的册数”进行调查，统计结果如下：
册数
人数
关于这组数据，下列说法正确的是( )
A. 众数是册 B. 中位数是册 C. 极差是册 D. 平均数是册
8. 对于一次函数，下列叙述正确的是( )
A. 当时，函数图象经过第一、二、三象限
B. 当时，随的增大而增大
C. 当时，函数图象一定交于轴的负半轴
D. 函数图象一定经过点
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 直线与轴的交点坐标为______．
10. 如图，菱形的对角线、相交于点，，垂足为，，，则的长为______ ．
11. 一次函数的图象过点且随的增大而减小，则 ______ ．
12. 某校规定学生的体育成绩由两部分组成，早晨锻炼及体育课外活动表现占成绩的，体育技能测试占，小明的上述两项成绩分别是分，分，则小明这学期的体育成绩是______ 分
13. 直线与轴的交点坐标为，则关于的不等式的解集是______ ．
14. 在中，，有一个锐角为，若点在直线上不与点，重合，且，则的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
计算：
；
．
16. 本小题分
如图，在正方形中，点是边上任意一点，请你仅用无刻度直尺，分别在图、图中按要求作图保留作图痕迹，不这写作法．
在图中，在边上求作一点，连接，使得；
在图中，在边上求作一点，连接，使得．
17. 本小题分
如图，直线是一次函数的图象．
求出这个一次函数的解析式；
根据函数图象，直接写出时的取值范围．
18. 本小题分
如图，函数与的图象交于．
求出、的值；
直接写出不等式的解集．
19. 本小题分
“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量从七、八年级中各随机抽取个班的餐厨垃圾质量的数据单位：，进行整理和分析餐厨垃圾质量用表示，共分为四个等级：，，，，下面给出了部分信息．
七年级个班的餐厨垃圾质量：，，，，，，，，，．
八年级个班的餐厨垃圾质量中等级包含的所有数据为：，，，，．
七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差 等级所占百分比
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上述表中，，的值；
该校八年级共个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合等级的班级数；
根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由写出一条理由即可．
20. 本小题分
某商店分两次购进、两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：
购进数量件 购进所需费用元
第一次
第二次
求、两种商品每件的进价分别是多少元？
商场决定种商品以每件元出售，种商品以每件元出售．为满足市场需求，需购进、两种商品共件，且种商品的数量不少于种商品数量的倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
21. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．
求的长和点的坐标；
求直线的解析式．
22. 本小题分
问题解决：如图，在矩形中，点，分别在，边上，，于点．
求证：四边形是正方形；
延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
类比迁移：如图，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、原式，所以选项错误；
C、原式，所以选项正确；
D、原式，所以选项错误．
故选：．
本题主要考查了二次根式的乘除法、加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
2.【答案】
【解析】解：、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
B、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
C、，不能构成直角三角形，故不是勾股数；
D、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
故选：．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股定理逆定理以及勾股数，解答此题掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
3.【答案】
【解析】解：随着时间的增多，行进的路程也将增多，排除；
由于停下修车误了几分钟，此时时间在增多，而路程没有变化，排除；
后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡．
故选：．
要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
此题主要考查了函数图象，首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：时间和运动的路程之间的关系采用排除法求解即可．
4.【答案】
【解析】解：，，，
最小，
他应选甲队；
故选A．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5.【答案】
【解析】解：把、分别代入得，，
所以．
故选：．
分别把两个点的坐标代入一次函数解析式计算出和的值，然后比较大小．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数，，且，为常数的图象是一条直线．它与轴的交点坐标是；与轴的交点坐标是直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．
6.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查平行四边形的性质，解决本题的关键是利用三角形内角和定理，等边对等角等知识得到和所求角有关的角的度数．
要求，就要先求出，要求出，就要先求出利用，即可求出．
【解答】
解：，
，
又，
，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：、众数是，结论错误，故A不符合题意；
B、中位数是，结论正确，故B符合题意；
C、极差册，结论错误，故C不符合题意；
D、平均数是册，结论错误，故D不符合题意．
故选：．
根据极差、众数、中位数及平均数的定义，依次计算各选项即可作出判断．
本题考查了极差、平均数、中位数及众数的知识，属于基础题，掌握各部分的定义及计算方法是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：、当时，函数图象经过第一、三、四象限，所以选项错误；
B、当时，随的增大而减小，所以选项错误；
C、当时，函数图象一定交于轴的正半轴，所以选项错误；
D、把代入得，则函数图象一定经过点，所以选项正确．
故选：．
根据一次函数图象与系数的关系对、、进行判断；根据一次函数图象上点的坐标特征对进行判断．
本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为．
9.【答案】
【解析】解：令，则，解得，
故此直线与轴的交点坐标为，
故答案为．
分别根据点在坐标轴上坐标的特点求出对应的、的值即可．
此题比较简单，考查的是坐标轴上点的坐标特点，即点在轴上时该点的纵坐标为．
10.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，，
，，
，
又，
，
，
解得，
故答案为：．
根据菱形的性质和勾股定理，可以求得的长，然后根据等面积法即可求得的长．
本题考查菱形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确等面积法，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】
【解析】解：一次函数的图象过点，
，
解得：或，
随的增大而减小，
，
，
故答案为：．
首先根据一次函数与轴的交点坐标为可得，解出的值，再根据随的增大而减小可得，进而即可确定出的值．
此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数的性质：，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降．与轴交于．
12.【答案】
【解析】解：小明这学期的体育成绩为：分．
故答案为：．
利用加权平均数的计算公式解答即可．
本题考查了加权平均数的计算．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．
13.【答案】
【解析】解：直线与轴的交点坐标为，
随的增大而减小，
当时，，
故答案为：．
根据一次函数的性质得出随的增大而减小，当时，，即可求出答案．
本题主要考查对一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
14.【答案】或或
【解析】解：如图：
当时，，
又不与重合，与矛盾；
如图：
当时，，
，
，
是等边三角形，
；
如图：
当时，，
，
，
，
，
，
；
如图：
当时，，
，
，
．
故答案为：或或．
根据题意画出图形，分种情况进行讨论，利用直角三角形的性质解答．
本题考查了解直角三角形，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．
15.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】直接化简二次根式，再合并得出答案；
直接利用平方差公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
16.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
【解析】如图，连接交于，作直线交于，线段即为所求．
如图，连接，交于点，作直线交于，连接，线段即为所求．
本题考查作图复杂作图，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17.【答案】解：根据题意得：点和点在一次函数图象上，
把与代入得：，
解得：，
则一次函数解析式为；
根据图象得：当时，．
【解析】根据图形确定出一次函数图象上两点坐标，代入解析式求出与的值，即可求出解析式；
根据图象确定出的范围即可．
此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
18.【答案】解：过．
，
解得：，
，
的图象过．
，
解得：；
由函数图象可知：不等式的解集为：．
【解析】根据凡是函数图象经过的点必能满足解析式把点坐标代入可得的值，进而可得点坐标，再把点坐标代入可得的值；
根据函数图象可直接得到答案．
本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解题关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
19.【答案】解：，，；
八年级抽测的个班级中，等级的百分比是．
估计该校八年级共个班这一天餐厨垃圾质量符合等级的班级数为：个．
答：该校八年级共个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合等级的班级数为个．
七年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
七年级各班餐厨垃圾质量众数，低于八年级各班餐厨质量垃圾的众数．
七年级各班餐厨垃圾质量等级的高于八年级各班餐厨质量垃圾质量等级的．
八年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
八年级各班餐厨垃圾质量的中位数低于七年级各班餐厨质量垃圾的中位数．
八年级各班餐厨垃圾质量的方差低于七年级各班餐厨质量垃圾的方差，更稳定．
【解析】本题考查了中位数、众数、方差的意义，关键在于根据图中信息结合统计相关知识的意义进行分析即可．
在，，，，，，，，，中，出现次数最多的是，
众数，
八年级个班中等级有个，占，、等级所占百分比分别为、，
等级占：，即，
把八年级个班的餐厨垃圾质量从小到大排列，、等级共占个数，则第个和第个数都是等级中的，
，
故答案为：，，；
用抽测的百分比乘总体即可求解．
从众数，中位数、等级的百分比、方差进行评论即可．
20.【答案】解：设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元，
根据题意得：，
解得：．
答：种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元；
设购进种商品件，获得的利润为元，则购进种商品件，
根据题意得：．
因为种商品的数量不少于种商品数量的倍，
所以，
解得：．
因为在中，的值随的增大而增大，
所以当时，取最大值，最大值为，
所以当购进种商品件、种商品件时，销售利润最大，最大利润为元．
【解析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：找准等量关系，列出二元一次方程组；根据数量关系，找出与之间的函数关系式．
设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元，根据两次进货情况表，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进种商品件，获得的利润为元，则购进种商品件，根据总利润单件利润购进数量，即可得出与之间的函数关系式，由种商品的数量不少于种商品数量的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．
21.【答案】解：直线与轴，轴分别交于点，点，
，，
在中，，，，
，
沿直线折叠后的对应三角形为，
．
．
点在轴的正半轴上，
点的坐标为．
设点的坐标为，
由题意可知，，
在中，由勾股定理得，
解得．
点的坐标为，
可设直线的解析式为
点在直线上，
，
解得，
直线的解析式为．
【解析】先根据、两点是直线与两坐标轴的交点求出两点坐标，再由勾股定理求出的长，由图形翻折变换的性质得出，故可得出点坐标；
设点的坐标为，由图形翻折变换的性质可知，在中由勾股定理可求出的值，进而得出点坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式．
本题考查的是一次函数综合题，涉及到图形翻折变换的性质、勾股定理及用待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．
22.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形；
解：是等腰三角形，
理由：由知四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
解：延长到点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
【解析】根据矩形的性质得，由等角的余角相等可得，利用可得，由全等三角形的性质得，即可得四边形是正方形；
根据矩形的性质得，，利用可得，由全等三角形的性质得，由已知可得，即可得是等腰三角形；
延长到点，使，连接，利用可得，由全等三角形的性质得，，由已知可得，可得是等边三角形，则，等量代换可得．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
第1页，共1页
