二次函数 单元 达标 检测 试卷 （解答卷）
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题4分，共40分）
1．抛物线y=（x+1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣1）
【答案】B
将二次函数的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，
所得图像的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
3．抛物线与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4．若点，，都是二次函数的图象上的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
5已知二次函数的图象（）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，
下列说法正确的是（ ）
A．有最大值1，有最小值 B．无最大值，有最小值
C．无最大值，有最小值 D．有最大值1，有最小值
【答案】D
6.在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：
①；②；③；④；⑤．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
7.如表中列出了二次函数的一些对应值，
则一元二次方程的一个近似解x的范围是（ ）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 …
A． B． C． D．
【答案】A
8．某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）
A．9m B．10m C．11m D．12m
【答案】A
9.二次函数的图像如图所示，
则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
10．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．给出下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球运动的时间为；③小球抛出时，速度为0；④当时，小球的高度h是，其中正确的是（ ）
A．②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】B
二、填空题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分）
11．如图是二次函数的图像，该函数的最小值是__________．
【答案】
12．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________．
【答案】3.75
13．如图，二次函数与一次函数的图象相交于A，B两点，则不等式的解为____________．
【答案】
14．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s．
【答案】2
15．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（，且x为整数）出售，可卖出件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_______元．
【答案】25
16．如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于另一点；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交轴于另一点…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点在此“波浪线”上，则的值为________．
【答案】
三、解答题（本大题共有8个小题，共86分）
17．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，
当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．
已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.7米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，
问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？．
解：（1）抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，
∴设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，
由图可知函数图象过点(1.5，3.05)，
∴2.25a+3.5=3.05，
解得：a=-0.2，
∴抛物线的表达式为y= - 0.2x2+3.5；
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则球出手时，球的高度为(h+1.7+0.25)m，
∵(1)中求得y= - 0.2x2+3.5，
∴，
解得：h=0.3，
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.3m.
18.掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，
实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，
抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
解∶（1）∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设，
∵经过点(0， )，
∴
解得∶
∴，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
∵对于二次函数，当y=0时，有
∴，
解得∶， (舍去)，
∵>6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
19．某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米．
(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
解：（1）设长为x米，面积为y平方米，则宽为米，
∴，
∴当时，y有最大值是1200，
此时，宽为（米）
答：长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米．
（2）设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米，
由题意可得
解得：，
即牡丹最多种植700平方米，
（株），
答：最多可以购买1400株牡丹．
20．嵊州大桥桥面上有两个完全相同的拱形钢梁，每一个拱形钢梁可看作抛物线的一部分，如图是大桥的侧面示意图，桥面长米．点是桥面的中点，钢梁最高点，离桥面的高度均为米．以桥面所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求过点，，三点的抛物线表达式．
(2)“嵊州大桥”四个字标注在离桥面高度为米的拱形钢梁的点处（点在点的左侧），小明从点出发在桥面上匀速前行，半分钟后到达点正下方的点处，则小明通过桥面需多少分钟？
解：(1)由题意知，点坐标为，点是过点，，三点抛物线的顶点，点坐标为，
∴设抛物线的解析式为：，
把点代入得：
解得：
∴
∴过点，，三点的抛物线表达式为；．
(2)把，代入解析式得：
解得：，
∵点在点的左侧
∴
∴小明通过桥面的速度为：米分
∴小明通过桥面需要时间为：分钟
∴小明通过桥面需分钟．
21．已知函数的图象，根据图象回答下列问题．
当取何值时．
方程的解是什么？
当取何值时，？当取何值时，？
不等式的解集是什么？
解:由图象知，函数与轴的交点为，，
所以当或时，；
由图象知，的解为，；
由图象知，当时，，
当或时，；
不等式的解集为．
22.商店销售某种商品，平均每天可售出30件，每件盈利50元．为了扩大销售、增加盈利，
该店采取了降价措施，在每件盈利不少于26元的前提下，经过一段时间销售，
发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价4元，则平均每天销售数量为______件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2000元？
解：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价4元，
则平均每天可多售出4×2=8（件），
即平均每天销售数量为30+8=38（件）；
故答案为：38．
（2）设每件商品降价x元时，该商品每天的销售利润为2000元，
由题意得：（50-x）（30+2x）=2000，
整理得：x2-35x+250=0，
∴（x-10）（x-25）=0．
∴x1=10，x2=25．
∵每件盈利不少于26元，
∴x2=25，舍去．
答：每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为2000元．
23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且交y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，
若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？
若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
解（1）抛物线经过点两点，代入得：
，解得：
则抛物线的解析式为；
（2）由抛物线可知，
因此，设直线BC的解析式为：
代入得
解得：
则直线BC的解析式：
已知点M的横坐标为m，且轴，则；
则
故MN的长为；
（3）存在点M，使的面积最大
如图，过点M作轴于点D
则
即
由二次函数的性质可知：当时，随m的增大而增大；
当时，随m的增大而减小
则当时，的面积最大，最大值为.
24．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，，点坐标为．
(1)求抛物线解析式；
(2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
(3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1），
，
设，
把代入得，
解得，
；
（2），对称轴是：直线，
，，
，，
，
，
，
，
如图，当时，，
，
，
，
则，
当时，，
，
，
，
，
点的坐标为或；
（3）存在．
假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．
如图，当四边形是平行四边形时，则，
，点的横坐标为，
点的横坐标为，
将代入，
；
如图，当四边形是平行四边形时，则，
同理得：；
如图，当四边形为平行四边形时，
由平行四边形对角线互相平分可得：点的横坐标为：，
将代入，
综上所述，点的坐标为或或
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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二次函数 单元 达标 检测 试卷 （原题卷）
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题4分，共40分）
1．抛物线y=（x+1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣1）
将二次函数的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，
所得图像的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
3．抛物线与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．若点，，都是二次函数的图象上的点，则（ ）
A． B．
C． D．
5已知二次函数的图象（）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，
下列说法正确的是（ ）
A．有最大值1，有最小值 B．无最大值，有最小值
C．无最大值，有最小值 D．有最大值1，有最小值
6.在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：
①；②；③；④；⑤．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.如表中列出了二次函数的一些对应值，
则一元二次方程的一个近似解x的范围是（ ）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 …
A． B． C． D．
8．某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）
A．9m B．10m C．11m D．12m
9.二次函数的图像如图所示，
则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
10．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．给出下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球运动的时间为；③小球抛出时，速度为0；④当时，小球的高度h是，其中正确的是（ ）
A．②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分）
11．如图是二次函数的图像，该函数的最小值是__________．
12．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________．
13．如图，二次函数与一次函数的图象相交于A，B两点，则不等式的解为____________．
14．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s．
15．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（，且x为整数）出售，可卖出件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_______元．
16．如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于另一点；将抛物线绕点，旋转得抛物线，交轴于另一点…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点在此“波浪线”上，
则的值为________．
三、解答题（本大题共有8个小题，共86分）
17．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，
当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．
已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.7米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，
问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？．
18.掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，
实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，
抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
19．某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米．
(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
20．嵊州大桥桥面上有两个完全相同的拱形钢梁，每一个拱形钢梁可看作抛物线的一部分，如图是大桥的侧面示意图，桥面长米．点是桥面的中点，钢梁最高点，离桥面的高度均为米．以桥面所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求过点，，三点的抛物线表达式．
(2)“嵊州大桥”四个字标注在离桥面高度为米的拱形钢梁的点处（点在点的左侧），小明从点出发在桥面上匀速前行，半分钟后到达点正下方的点处，则小明通过桥面需多少分钟？
21．已知函数的图象，根据图象回答下列问题．
当取何值时．
方程的解是什么？
当取何值时，？当取何值时，？
不等式的解集是什么？
22.商店销售某种商品，平均每天可售出30件，每件盈利50元．为了扩大销售、增加盈利，
该店采取了降价措施，在每件盈利不少于26元的前提下，经过一段时间销售，
发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价4元，则平均每天销售数量为______件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2000元？
23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且交y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，
若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？
若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
24．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，，点坐标为．
(1)求抛物线解析式；
(2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，
且满足以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
在对称轴和抛物线上是否分别存在点，，使得以，，，为顶点的四边形
是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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