第一章 因式分解
综合练习
考点1 因式分解
1、下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. x -x-1=x(x-1)-1 B. x -1=(x-1)
C. x -x-6=(x-3)(x+2) D. x(x-1)=x -x
2、把多项式a +2a分解因式得( )
A. a(a+2) B. a(a-2) C.(a+2) D.(a+2)(a-2)
3、多项式x -4x+4因式分解的结果是( )
A. x(x-4)+4 B.(x+2)(x-2) C.(x+2) D.(x-2)
4、下列因式分解正确的是( )
A. ax+ay=a(x+y)+1 B.3a+3b=3(a+b)
C. a +4a+4=(a+4) D. a +b=a(a+b)
5、对于任意实数 a,b,a +b =(a+b)(a -ab+b )恒成立，则下列关系式正确的是( )
A. a -b =(a-b)(a +ab+b ) B. a -b =(a+b)(a +ab+b )
C. a -b =(a-b)(a -ab+b ) D. a -b =(a+b)(a +ab-b )
6、把x -4因式分解为_________________.
7、因式分解：2a +4a+2=_______________.
8、分解因式：2022x -4044x+2022=_______________.
9、因式分解：(m+n) -6(m+n)+9=______________.
考点2 因式分解的应用
10、已知 a+b=1,则代数式a -b +2b+9的值为 _____________.
11、已知 x+y=4,x-y=6,则x -y =_______________.
12、已知 ab=2,a+b=3,则a b+ab 的值为______________.
13、先因式分解，再计算值：2x -8x,其中x=3.
14、观察以下等式：
第1个等式：(2×1+1) =(2×2+1) -(2×2) ,
第2个等式：(2×2+1) =(3×4+1) -(3×4) ,
第3个等式：(2×3+1) =(4×6+1) -(4×6) ,
第4个等式：(2×4+1) =(5×8+1) -(5×8) ,
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式:__________________;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含 n的式子表示)，并证明.
15、八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a-3ab-4+6b因式分解.
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一:原式=(2a-3ab)-(4-6b)=a(2-3b)-2(2-3b)=(2-3b)(a-2).
解法二:原式=(2a-4)-(3ab-6b)=2(a-2)-3b(a-2)=(a-2)(2-3b).
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用.(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止)
【类比】(1)请用分组分解法将x -a +x+a因式分解；
【挑战】(2)请用分组分解法将ax+a -2ab-bx+b 因式分解；
【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形.若直角三角形的两条直角边长分别是 a和b(a>b)，斜边长是3，小正方形的面积是 1.
根据以上信息，先将a -2a b+2a b -2ab +b 因式分解，再求值.
16、如果一个自然数 M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为 10，则称数 M为“合和数”，并把数 M分解成M=A×B的过程，称为“合分解”.
例如:∵ 609=21×29,21 和 29的十位数字相同，个位数字之和为 10，
∴609是“合和数”.
又如:∵234=18×13,18和 13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，
∴234不是“合和数”.
(1)判断 168,621是否为“合和数”,并说明理由；
(2)把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M=A×B. A 的各个数位数字之和与 B的各个数位数字之和的和记为 P(M)；A 的各个数位数字之和与 B的各个数位数字之和的差的绝对值记为 Q(M).令 当G(M)能被4整除时，求出所有满足条件的 M.
参考答案
1. C 【解析】A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项等号左右两边不相等，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意. 故选C.
2. A 【解析】原式=a·a+a·2=a(a+2).
3. D 【解析】原式=x -2×2x+2 =(x-2) .
4. B 【解析】A ax+ay=a(x+y),故该选项不符合题意；B 3a+3b=3(a+b),故该选项符合题意；C a +4a+4=(a+2) ,故该选项不符合题意；D a 与b没有公因式,不能因式分解,故该选项不符合题意.
5. A 【解析】∵a +b =(a+b)(a -ab+b ),
∴a -b =a +(-b )=a +(-b) =[a+(-b)][a -a·(-b)+(-b) ]=(a-b)(a +ab+b ).
故选A.
6.(x+2)(x-2) 【解析】x -4=(x+2)(x-2),故答案为(x+2)(x-2).
7.2(a+1) 【解析】原式=2(a +2a+1)=2(a+1) .
8.2022(x-1) 【解析】原式=2022(x -2x+1)= 2022(x-1) .
9.(m+n-3) 【解析】原式=(m+n) -2·(m+n) ·3+3 =(m+n-3) .
10.10 【解析】∵a -b +2b+9=(a+b)(a-b)+2b+9,且a+b=1,∴原式=a-b+2b+9=a+b+9=10.
11.24 【解析】∵x+y=4,x-y=6,∴x -y =(x+y)(x-y)=4×6=24.故答案为 24.
12.6 【解析】a b+ab =ab(a+b).∵ab=2,a+b=3,∴原式=2×3=6.故答案为 6.
13.【解】原式=2x(x+2)(x-2).当x=3时,
原式=2×3×(3+2)×(3-2)=30.
14.【解】(1)(2×5+1) =(6×10+1) -(6×10) .
(2)第n个等式为(2n+1) =[2n(n+1)+1] -[2n(n+1)] .
证明:右边=[2n(n+1)+1] -[2n(n+1)]
=[2n(n+1)+1+2n(n+1)]·[2n(n+1)+1-2n(n+1)]
=4n(n+1)+1=4n +4n+1=(2n+1)
=左边
∴等式成立.
15.【解】((1)x -a +x+a=(x -a )+(x+a)=(x+a)(x-a)+(x+a)=(x+a)(x-a+1).
(2) ax+a -2ab-bx+b =(ax-bx)+(a -2ab+b )=x(a-b)+(a-b) =(a-b)(x+a-b).
(3)原式=(a +2a b +b )-(2ab +2a b)=(a +b ) -2ab(a +b )=(a +b )(a +b -2ab)=(a +b )(a-b) .∵由题意得a +b =9,(a-b) =1,∴原式=9.
16.【解】(1)∵ 168=12×14,12和14的十位数字相同,但个位数字2+4≠10,
∴168不是“合和数”.
∵621=23×27,23和27的十位数字相同,个位数字3+7=10,
∴621是“合和数”.
(2)设A的十位数字为 m,个位数字为 n.
∵M的个位数字不为0，且M是一个四位“和合数”,
∴3≤m≤9,1≤n≤9,则A=10m+n,B=10m+10-n,
∴P(M)=m+n+m+10-n=2m+10,Q(M)=|(m+n)-(m+10-n)|=|2n-10|,
是整数).
∵3≤m≤9,∴8≤m+5≤14.
∵k是整数,∴m+5=8或m+5=12.
①当m+5=8时, 或
当ln-5|=1时,n=6或4;当ln-5l=2时,n=7或3,∴M=A×B=(10m+n)(10m+10-n)=36×34=1224或M=A×B=(10m+n)(10m+10-n)=37×33=1 221.
②当m+5=12时或
当|n-5|=1时,n=6或4;
当|n-5|=3时,n=8或2,∴M=A×B=(10m+n)(10m+10-n)= 76×74=5 624或M=A×B=(10m+n)(10m+10-n)=78×72=5616.综上,满足条件的 M 为 1224,1221,5624,5616.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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