2022-2023学年浙江省丽水市高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知是虚数单位，复数( )
A. B. C. D.
2. 已知向量，，且向量与平行，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 甲、乙两人进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，则两人各射击一次，恰有一人中靶的概率是( )
A. B. C. D.
4. 演讲比赛共有位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从个原始评分中去掉个最高分、个最低分，得到个有效评分个有效评分与个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差
5. 某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛经统计，得到前名学生分布的扇形图如图和前名中高一学生排名分布的频率条形图如图，则下列命题错误的是( )
A. 成绩前名的学生中，高一人数比高二人数多人
B. 成绩前名的学生中，高一人数不超过人
C. 成绩前名的学生中，高三人数不超过人
D. 成绩第名到第名的学生中，高二人数比高一人数多
6. 如图，、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
7. 一个袋中有大小和质地相同的个球，其中有个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，则下列说法正确的是( )
A. “恰好摸到个红球”与“至少摸到个白球”是互斥事件
B. “恰好没摸到红球”与“至多摸到个白球”是对立事件
C. “至少摸到个红球”的概率大于“至少摸到个白球”的概率
D. “恰好摸到个红球”与“恰好摸到个白球”是相互独立事件
8. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知复数在复平面内对应的点为，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
10. 已知，是异面直线，，是不同的平面，，，直线满足，，则下列关系不可能成立的是( )
A. B. C. D.
11. 已知是单位向量，则下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若不共线，则
C. 若，则夹角的最小值是
D. 若的夹角是，则在上的投影向量是
12. 如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，，点是线段上的动点，则下列命题中正确的是( )
A. 不存在点，使得直线平面
B. 直线与所成角余弦值的取值范围是
C. 直线与平面所成角的取值范围是
D. 三棱锥的外接球被平面所截得的截面面积是
三、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
13. 若圆锥的母线长为，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的体积是______ ．
14. 已知，则 ______ ．
15. 如图，平面四边形的斜二测直观图是等腰梯形，，那么原平面四边形中的边的长是______ ．
16. 如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个基点和进行测量，现测得米，，在点和测得塔顶的仰角分别为，，则塔高 ______ 米
17. 如图，从正四面体的个顶点处截去个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体若该多面体的表面积是，则该多面体外接球的表面积是______ ．
18. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元年，他为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值是______ ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
杭州年第届亚运会将于年月日至月日举行随着亚运会的临近，亚运会的热度持续提升为让更多的人了解亚运会运动项目和亚运精神，某大学举办了亚运会知识竞赛，并从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图．
试根据频率分布直方图求出这名学生中成绩低于分的人数；
试估计这名学生成绩的第百分位数；
若采用分层抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取人参加志愿者活动现从这人中随机抽取人分享活动经验，求抽取的人成绩都在的概率．
20. 本小题分
已知函数的最大值为．
求常数的值；
求使成立的的取值集合．
21. 本小题分
在直三棱柱中，、分别是、的中点，，，．
求证：平面；
求点到平面的距离．
22. 本小题分
在中，三个内角，，所对的边分别是，，，，，且．
求；
当取最大值时，求的周长．
23. 本小题分
如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，在锐角中，，点在上，．
求证：平面；
若与平面所成的角为，求二面角的正切值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：复数，
故选：．
应用两个复数代数形式的乘法法则化简复数，可得结果．
本题主要考查两个复数代数形式的乘法法则的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：向量，，且向量与平行，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解．
本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：记甲中靶为事件，乙中靶为事件，
则，
甲乙两人各射击一次恰有一人中靶，分甲中乙不中和甲不中乙中两种情况，
则甲乙两人各射击一次恰有一人中靶的概率为
．
故选：．
根据独立事件同时发生的概率即可求得甲乙两人各射击一次恰有一人中靶的概率．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．
本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数、中位数、方差、极差的定义以及计算方法，属于基础题．
【解答】
解：根据题意，从个原始评分中去掉个最高分、个最低分，得到个有效评分，
个有效评分与个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由饼状图，成绩前名的人中，高一人数比高二人数多，A正确；
由条形图知高一学生在前名中，前和后人数相等，因此高一人数为，B正确；
成绩前名的人中，高一人数为，因此高三最多有人，C正确；
第到名的人中，高一人数为，故高二最多有人，因此高二人数比高一少，D错误．
故选：．
根据饼状图和条形图提供的数据判断．
本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：连接，如下图所示：
因为，则为圆的一条直径，故为的中点，
所以，，
所以，
，
当且仅当、、共线且、同向时，等号成立，
因此，的最大值为．
故选：．
连接，可知为的中点，计算得出，利用向量模的三角不等式可求得的最大值．
本题主要考查两向量和的模的最值，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：对于选项，“恰好摸到个红球”为红白，“至少摸到个白球”包含：红白、白，
所以“恰好摸到个红球”与“至少摸到个白球”不是互斥事件，错；
对于选项，“恰好没摸到红球”为白，“至多摸到个白球”包含：红、红白，
所以“恰好没摸到红球”与“至多摸到个白球”是对立事件，对；
对于选项，个红球分别记为、，个白球分别记为、，
从个红球和个白球中一次性随机摸出个球，所有的基本事件有：、、、、、，
其中事件“至少摸到个红球”包含的基本事件有：、、、、，其概率为，
事件“至少摸到个白球”包含的基本事件有：、、、、，其概率为，
所以“至少摸到个红球”的概率等于“至少摸到个白球”的概率，错；
对于选项，记事件：恰好摸到个红球，事件：恰好摸到个白球，
则，，则，
所以“恰好摸到个红球”与“恰好摸到个白球”不是相互独立事件，错．
故选：．
利用互斥事件的定义可判断选项；利用对立事件的定义可判断选项；利用古典概型的概率公式可判断选项；利用独立事件的定义可判断选项．
本题主要考查了互斥事件、对立事件的定义，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：依题意，，函数，周期，
在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，
，，为连续三交点，不妨设在轴下方，为的中点，
由对称性知，是以为底边的等腰三角形，，
由，整理得，
又，解得，
于是点，的纵坐标，有，即，
要使为锐角三角形，当且仅当，
即，解得，
所以的取值范围是．
故选：．
由条件，可得，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质及已知条件列出不等式求解即可．
本题主要考查函数的图象变换，考查正弦函数的图象与性质，解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于的不等式，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，
故，故，
而，故ACD正确．
取，，故，则，，，故B错误．
故选：．
根据模的计算公式和复数的乘法可判断的正误，取特例根据复数的乘法计算后可判断的正误．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：若，可得，又，可得，与，是异面直线矛盾，故A不可能成立；
若，，，则，可能异面或相交，故B可能成立；
当，，直线 满足，，
当直线与两个平面的交线平行且在平面外时，满足，如图，
故C可能成立；
当时，由知，这与矛盾，故D不可能成立．
故选：．
根据面面平行的性质及线面垂直的性质可判断，由题目所给条件及两平面垂直的性质判断，根据特殊情况判断，由线面垂直的性质判断．
本题主要考查空间位置关系的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A，因为向量是单位向量，
所以，得，故选项A错误；
对于选项B，，所以，故选项B正确；
对于选项C，，
得，则，所以夹角的最小值是，故选项C正确；
对于选项D，在上的投影向量是，故选项D错误．
故选：．
根据向量是单位向量，结合向量模，数量积和投影向量公式，即可判断选项．
本题主要考查了向量的数量积运算，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：取中点，连，令，连，如图，
在正方形中，为中点，而是矩形，则且，
即四边形是平行四边形，即有，而平面，
平面，于是得平面，
当点与重合时，直线平面，故A错误；
因平面平面，平面平面，
，平面，所以平面，
因为，所以平面，
因为，，，平面，
所以，，，，因为，，
所以，，，，
又，所以直线与所成角为或其补角，
因为，
而，，所以，
当时，，
当时，，
综上，故B正确；
设到平面的距离为，因为，，
所以，
又，
由等体积法，，
即，解得，设直线与平面所成角为，
当与重合时，直线平面，直线与平面所成角，
当点由向，运动时，变大，当运动到时，
因为，所以，由知，，
当运动到时，，综上知，，故C正确；
在中，，显然有，，
由正弦定理得外接圆直径，，
以，，为长宽高作长方体，如图，
则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
三棱锥的外接球被平面所截得的截面是的外接圆，其面积为，故D正确．
故选：．
当点是线段中点时判断，利用向量法求出异面直线夹角的余弦的范围判断，利用线面角的定义转化为正弦值计算判断，求出外接圆面积判断．
本题考查异面直线所成的角，线面所成的角，外接球问题，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为圆锥的母线长为，轴截面是等腰直角三角形，
故圆锥的高为且底面半径为，
故体积为．
故答案为：．
根据轴截面可求圆锥的高和底面半径，故可求圆锥的体积．
本题主要考查圆锥体积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，则，
故答案为：．
利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：在等腰梯形中，，，
则，
由斜二测画法规则知，四边形的顶点与原点重合，
点，分别在轴、轴上，，且，如图，
显然四边形为直角梯形，于是得．
故答案为：．
根据给定条件，结合斜二测画法规则还原平面四边形，再计算边长作答．
本题主要考查平面图形的直观图，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设米，
在中，，
在中，，
在中，，
即，
所以，
解得米．
故答案为：．
设米，进而可得，，然后利用余弦定理求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】
【解析】解：由题意可得多面体的棱长为原正四面体棱长的，设原正四面体的棱长为，
则其表面积为，由图易知该多面体与原正四面体相比较，
表面积少了个边长为的正三角形的面积，
所以该多面体的表面积为，所以．
如图，是下底面正六边形的中心，是上底面正三角形的中心，
由正四面体的对称性可知截角四面体的外接球的球心在原正四面体的高上，
，．
设球的半径为，在中，，所以，
在中，，所以，
所以，解得，所以，
所以该多面体外接球的表面积．
故答案为：．
求出原正四面体外接球的半径，从而可求出多面体外接球的球心到底面的距离，求出多面面体的棱长，即可求出其外接球的半径，从而可求出外接球的表面积．
本题主要考查球的表面积的求解，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】
【解析】解：，
不妨设，
，，
由题意得，
，
，
延长交于，
记，，
则
，
，
又由题意易知，
则，
在三角形中，
由正弦定理得，
即，
，
，
，
，
，
即，
整理得，
所以
，
又，
则，
．
故答案为：．
先设，根据题意可知，求出，延长交于，求出，的长，再由平面向量基本定理即可得出结果．
本题考查平面向量的基本定理，属于中档题．
19.【答案】解：由频率分布直方图中数据可知：人
成绩小于的频率为，成绩在的频率为，因为，
所以这名学生成绩的第百分位数在内，
所以随机抽取的名学生成绩的第百分位数为．
因为成绩在，，的学生人数所占比例为：：，
所以从成绩在，，所抽取人数分别应抽取人，人，人．
记抽取成绩在的人为，，，成绩在为，，．
从这人中随机抽取人的所有可能为：，，，，，，，，，，，，，，共种，
抽取的人成绩都在的是，，，共种，
抽取的人成绩都在的概率为．
【解析】根据频率分布直方图直接计算即可得解；
由百分位数的定义直接计算即可；
根据分层抽样，列出基本事件，由古典概型的概率公式求解．
本题考查频率分布直方图相关知识，属于中档题．
20.【答案】解：
，
由于函数的最大值是，所以，
即．
由，
所以，
，
解得，
的取值集合为．
【解析】对进行整理化简，然后根据最大值得到的值；
根据将不等式转化为，从而解得解集．
本题主要考查三角函数的最值，三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】证明：连接，
因为，，是的中点，
所以，，则，
所以，又，，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，所以，
，，平面，所以平面；
解：如图，
由平面，平面，，
又，，，平面，
所以平面，
因为，所以，则，，
所以，所以，
设点到平面的距离为，
，
，
即，解得，
所以点到平面的距离为．
【解析】连接，即可得到，从而得到平面，则，再由直棱柱的性质得到，即可得证；
设点到平面的距离为，根据，利用等体积法计算可得．
本题主要考查线面垂直的判定，点到平面距离的求法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：因为，所以，
由正弦定理可得，整理得到：，
所以，而，故．
因为，故，
故，所以，
故，
整理得到，
故，当且仅当时等号成立．
故此时，对应的的周长为．
【解析】根据正弦定理可得，结合余弦定理可求．
利用向量的线性运算可得，平方后结合基本不等式可求何时取最大值，据此可求对应的三角形的周长．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
23.【答案】证明：连接交于点，连接，
，，，
又平面，平面，
平面．
解：在平面内作，为垂足，连接，
，，，，平面，
平面，
又平面，，
又，，，平面，
平面，
就是与平面所成的角，即，
，，，
平面，平面，平面平面，
在平面内过作于，交于点，在平面内过作于，连接，，
平面平面，，平面平面，平面，
平面，又平面，，
又，，，平面，
平面，又，平面，，，
即为二面角的平面角，
求得，，
，，
∽，，
，
，
在平面内过作于，则，，
则，，，
，
二面角的正切值是．
【解析】根据直线与平面平行的判定定理即可证明；
先作出与交线垂直的平面，从而作出二面角的平面角，然后解三角形即可求解．
本题涉及利用几何方法求二面角的平面角大小，对于此类问题可在两半平面内过交线上一点作交线的垂线；也可找到与交线垂直的平面，则垂面与半平面交线所形成的角即为所求平面角，属于中档题．
第1页，共1页
