作业22：乘法公式-2023七年级升八年级数学暑假巩固提高作业
一、单选题
1．若，则的值为（ ）
A．13 B．26 C．28 D．37
2．运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各式中，不能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
9．计算等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将图1中形的纸片进行如图2的前拼，改造成了一个长方形，通过拼接前后两个图形的面积关系可以验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．将再加上一个整式，使它成为一个完全平方式，则加上的整式为______．
12．已知，，且，则的值等于_______．
13．计算_______．
14．计算______．
15．化简的结果为___________．
16．若，则代数式的值为______________________．
17．已知，，，为正整数，则___________（用含，的式子表示）．
18．已知，，则的值为_______．
19．若b为常数，要使成为完全平方式，那么b的值是________．
20．若关于x的多项式是完全平方式，则m的值为_____________．
三、解答题
21．先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中．
22．我们把形如（其中x是一个整式）的式子叫完全平方式，如就是一个完全平方式，设多项式．
(1)试将多项式写成两个完全平方式的和的形式；
(2)令，写出，取值的所有可能的结果．
23．已知，.化简，并求当时该式子的值．
24．已知；；；……
(1)根据以上等式，你发现了什么规律？用含正整数的式子表示出来；
(2)利用发现的规律求的值．
25．先化简，再求值：，其中，．
26．先化简，再求值，，其中．
27．学习了无理数后，老师教了同学们一种估算无理数的近似值的新方法．
例如：估算的近似值．
，
设，显然，
，
，
，
，
，
，
．
故的值在与之间．
问题：
(1)请你依照上面的方法，估算的近似值在______与______之间；
(2)对于任意一个大于1的无理数，若的整数部分为，小数部分为，请用含，的代数式表示的大致范围．
28．如果，求代数式的值．
29．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为． 若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
(1)直接用含a，b的代数式分别表示图、：则： ， ；
(2)若，，求的值；
(3)当时，求出图3中阴影部分的面积．
30．如图，将一个边长为a的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：
(1)请用两种方法表示该图形阴影部的面积（用含a、b的代数式表示）：
①方法一： ；方法二： ；
(2)若图中a、b满足，求阴影部分正方形的边长；
(3)若，求的值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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作业22：乘法公式-2023七年级升八年级数学暑假巩固提高作业
一、单选题
1．若，则的值为（ ）
A．13 B．26 C．28 D．37
【答案】A
【分析】先利用绝对值和平方的值非负的性质，得到和的值，然后将转化为：，代入值可求得．
【详解】∵
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查非负性的应用和完全平方式的变形，这两个考点属于典型题型，需要熟练解题技巧．
2．运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对后两项添括号时，变为．
【详解】解：运用平方差公式计算，应变形为．
故选：B．
【点睛】此题考查平方差公式的相关知识，解题的关键是熟练掌握平方差公式，变形正确．
3．下列各式中，不能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据完全平方公式，即可求解．
【详解】解：A、能用完全平方公式计算，故本选项不符合题意；
B、能用完全平方公式计算，故本选项不符合题意；
C、不能用完全平方公式计算，故本选项符合题意；
D、能用完全平方公式计算，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式进行计算，即可作出判断．
【详解】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项不符合题意；
D．，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式，多项式乘多项式．掌握是解题的关键．
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用平方差公式进行计算，然后再利用单项式乘多项式的运算法则进行计算，最后合并同类项即可．
【详解】解：
．
故选：A．
【点睛】本题考查的是平方差公式的应用，整式的混合运算．掌握平方差公式是解题的关键．
6．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据面积的不同表示方法得到等式即可．
【详解】第一个图形阴影部分的面积是，
第二个图形的面积是．
则．
故选：．
【点睛】此题考查整式乘法的公式，解题关键是用不同代数式表示相同图形的面积列等式．
7．下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式的结构逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 不能用平方差公式计算，故该选项不符合题意；
B. 不能用平方差公式计算，故该选项不符合题意；
C. 能用平方差公式计算，符合题意；
D. 不能用平方差公式计算，故该选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
8．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平方差公式，依次进行判断即可．
【详解】解：A. ，
能用平方差公式计算，故选项不符合题意；
B. ，
不能用平方差公式计算，故选项符合题意；
C. ，
能用平方差公式计算，故选项不符合题意；
D.，
能用平方差公式计算，故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握这些公式是解题的关键．
9．计算等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式展开即可求出答案．
【详解】解：
=
＝
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
10．如图，将图1中形的纸片进行如图2的前拼，改造成了一个长方形，通过拼接前后两个图形的面积关系可以验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据图形求出每个图形的面积，根据面积相等解题即可．
【详解】解：由图（1）可知面积为
由图（2）可知面积为
∴
故选D．
【点睛】本题考查平方差公式与几何图形，数形结合是解题的关键．
二、填空题
11．将再加上一个整式，使它成为一个完全平方式，则加上的整式为______．
【答案】
【分析】因为，由，①当，则，即可得出的值，即可得出答案；②当，即可得出a的值，即可得出的值即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练应用完全平方公式进行求解是解决本题的关键．
12．已知，，且，则的值等于_______．
【答案】1
【分析】先把两边平方，利用完全平方公式展开，然后代入已知数据求出的值，然后整理成的形式，再利用完全平方公式整理并求出算术平方根即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
∵,
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式结构求出的值是解题的关键．
13．计算_______．
【答案】
【分析】先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行计算即可得．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用平方差公式、完全平方公式进行运算，熟记乘法公式是解题关键．
14．计算______．
【答案】
【分析】利用整式的乘法公式：完全平方和公式即可解答．
【详解】解：
；
故答案为；
【点睛】本题考查了整式的乘法公式：完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．
15．化简的结果为___________．
【答案】9
【分析】根据完全平方公式以及整式的乘法以及加减法运算法则将原式化简即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式以及整式的乘法以及加减运算法则，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
16．若，则代数式的值为______________________．
【答案】3
【分析】运用完全平方公式变形计算即可求出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即，
解得：．
故答案为：3．
【点睛】本题考查完全公式的变形，掌握完全平方公式是解题的关键．
17．已知，，，为正整数，则___________（用含，的式子表示）．
【答案】
【分析】利用幂的乘方、同底数幂的乘法的逆运算求解．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．已知，，则的值为_______．
【答案】
【分析】利用完全平方公式：，进行转化，即可求出结果．
【详解】解：∵，，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是整式运算中完全平方公式的运用，掌握其变形形式是解题的关键．
19．若b为常数，要使成为完全平方式，那么b的值是________．
【答案】
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定b的值．
【详解】解：∵，
∴，
解得：．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，注意不要漏解．
20．若关于x的多项式是完全平方式，则m的值为_____________．
【答案】或/或
【分析】根据完全平方公式：，观察其构造得到，即可得出的值；
【详解】解：∵关于x的多项式是完全平方式，
∴，
当时，；
当时，；
综上所述，m的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查的是完全平方式，观察公式的构成是解题的关键．
三、解答题
21．先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根据单项式乘多项式的运算法则化简原式，再代入即可得到答案；
（2）根据单项式乘多项式的运算法则化简原式，再代入即可得到答案．
【详解】（1）解：原式．
当时，
原式．
（2）解：原式．
当时，原式．
【点睛】本题考查整式的乘法运算，熟练掌握整式乘法的运算法则是解题的关键．
22．我们把形如（其中x是一个整式）的式子叫完全平方式，如就是一个完全平方式，设多项式．
(1)试将多项式写成两个完全平方式的和的形式；
(2)令，写出，取值的所有可能的结果．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）直接利用完全平方公式计算原式变形得出答案；
（2）直接得出关于a，b的等式进而得出答案．
【详解】（1）
.
（2）令，
所以且，
解得或.
【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确记忆公式是解题关键．
23．已知，.化简，并求当时该式子的值．
【答案】，1
【分析】先利用完全平方公式计算，再去括号合并得到原式，然后把x的值代入计算即可．
【详解】解：，，
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决此类问题的关键．完全平方公式为：．
24．已知；；；……
(1)根据以上等式，你发现了什么规律？用含正整数的式子表示出来；
(2)利用发现的规律求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）规律为两个相差2的数的积加上1，等于这两个数的平均数的平方；
（2）根据（1）种的规律解答，即可．
【详解】（1）解：根据以上等式得：；
（2）解：原式
【点睛】本题考查了规律型：数字变化规律．关键是观察积的两个数之间的关系，结果与这两个数的关系．
25．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，2
【分析】利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求值．
【详解】解：原式，
当，时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26．先化简，再求值，，其中．
【答案】，5
【分析】先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
27．学习了无理数后，老师教了同学们一种估算无理数的近似值的新方法．
例如：估算的近似值．
，
设，显然，
，
，
，
，
，
，
．
故的值在与之间．
问题：
(1)请你依照上面的方法，估算的近似值在______与______之间；
(2)对于任意一个大于1的无理数，若的整数部分为，小数部分为，请用含，的代数式表示的大致范围．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）仿照题干的方法解决问题，即可得到答案；
（2）仿照题干的方法解决问题，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
设，显然，
，
，
，
，
，
．
．
的值在与之间，
故答案为：，；
（2）解：根据题意可知，，显然，
，
，
．
，
，
．
【点睛】本题考查了无理数的大小估算，涉及完全平方公式等知识，理解题目中的解题方法是解题关键．
28．如果，求代数式的值．
【答案】2024
【分析】，将代入求解即可．
【详解】解：
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式，代数式求值．解题的关键在于正确的运算．
29．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为． 若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
(1)直接用含a，b的代数式分别表示图、：则： ， ；
(2)若，，求的值；
(3)当时，求出图3中阴影部分的面积．
【答案】(1)，；
(2)25
(3)14
【分析】（1）根据题意由图可知：，；
（2）根据题意由已知可得；
（3）根据题意由图可知：，再由即可求解．
【详解】（1）由图可得，，；
故答案为：，；
（2）根据题意由图可知：；
，，
；
（3）根据题意由图可知： ，
，
．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景；熟练掌握完全平方公式，并能灵活运用公式是解题的关键．
30．如图，将一个边长为a的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：
(1)请用两种方法表示该图形阴影部的面积（用含a、b的代数式表示）：
①方法一： ；方法二： ；
(2)若图中a、b满足，求阴影部分正方形的边长；
(3)若，求的值．
【答案】(1)；
(2)阴影部分正方形的边长是5
(3)
【分析】（1）依据正方形和长方形的面积公式，即可得到该图形阴影部分的面积；
（2）由（1）可得：，即可得出阴影面积
（3）设，则，再根据，可求出的值即可．
【详解】（1）①该图形阴影部分的面积为②该图形阴影部分的面积为
故答案为：
（2）解：
（负值舍去）
答：阴影部分正方形的边长是5；
（3）（3）设
则
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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