作业13：三角形（单元综合练习）-2023七年级升八年级数学暑假巩固提高作业
一、单选题
1．如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的边，则这个三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【答案】B
【分析】依据题意作出简单图形，根据角平分线的定义和平行线的性质得到和相等，即可得到这个三角形的形状．
【详解】解：如图，
CD平分∠ACE，且，
∴∠ACD＝∠DCE，∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE，
∴∠B＝∠A，
∴△ABC为等腰三角形，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义和平行线的性质定理（两直线平行，内错角相等），掌握三角形的外角性质，及角平分线的性质，正确作出一个简单的图形，根据等量代换得到和相等是解决本题的关键．
2．已知点O(0，0)，点A(-3，2)，点B在y轴的正半轴上，若△AOB的面积为12，则点B的坐标为（ ）
A．(0，8) B．(0，4) C．(8，0) D．(0，-8)
【答案】A
【分析】根据图形可知，三角形的以OB为底，则点A的横坐标的绝对值为高，根据面积为12，可求出OB的长，再由点B在y轴的正半轴，确定点B的坐标．
【详解】解：如图
过点A作AC⊥y轴于点C，
∵S△AOB==12，AC=3，
∴OB=8，
即点B的坐标为（0，8）．
故答案为：A．
【点睛】考查平面直角坐标系，将点的坐标转化为线段的长，是解决问题的关键．
3．“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗，图②是这种窗棂中的部分图案．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据多边形的外角和等于360度，，，可求得的度数．
【详解】解：由多边形的外角和等于，
可得，
∵，，
∴，
∴，
即．
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟悉多边形的外角和等于360度的知识点．
4．在矩形ABCD中，一条直线将矩形任意分为两部分，设这两部分图形的内角和分别为x、y，则x＋y的和是（ ）
A．360°、540°、720° B．360°、540° C．540°、720° D．360°、720°
【答案】A
【分析】分三种情况：①一条直线将矩形分为两个三角形，②一条直线将矩形分为一个三角形和一个四边形，③一条直线将矩形分为两个四边形，再根据三角形和四边形的内角和定理求解即可．
【详解】解：分三种情况：
①一条直线将矩形分为两个三角形，如图1所示：
则x＋y＝180°＋180°＝360°；
②一条直线将矩形分为一个三角形和一个四边形，如图2所示：
则x＋y＝180°＋360°＝540°；
③一条直线将矩形分为两个四边形，如图3所示：
则x＋y＝360°＋360°＝720°；
④一条直线将矩形分为1个三角形和1个五边形，如图4所示：
则；
综上所述，x＋y的和是360°或540°或720°，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形和四边形的内角和，分类讨论是解题的关键．
5．若一个多边形的内角和为，则从该多边形的一个顶点出发的对角线条数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意和多边形内角和公式求出多边形的边数，根据多边形的对角线的条数的计算公式计算即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
则（n-2）×180°=900°，
解得n=7，
从七边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数：7-3=4，
故选：B．
【点睛】本题考查的是多边形的内角和外角、多边形的对角线，掌握n边形的内角和等于（n-2）×180°、从n边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数是n-3是解题的关键．
6．如图，中，，D是外一点，， ，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，则，，，由，即可求出．
【详解】设，则
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，解题关键是灵活运用相关知识进行求解．
7．如图，在四边形中，，与，相邻的外角都是110°，则的外角的度数是（ ）
A．90° B．85°
C．80° D．70°
【答案】D
【分析】根据多边形外角和为，进行求解即可．
【详解】解：在四边形中，，
相邻的外角度数为：，
．
故选：．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角的知识，解答本题的关键在于根据多边形外角和为进行求解．
8．正n边形的一个外角等于30°，则n的值为（ ）
A．12 B．16 C．8 D．15
【答案】A
【分析】利用多边形的外角和即可求出答案．
【详解】解：n=360°÷30°=12．
故选：A．
【点睛】主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数直接让360度除以外角即可．
9．如图，∠CBA＝∠ACB＝65°，∠ACE＝15°，则∠AEC的度数是（ ）
A．35° B．50° C．65° D．80°
【答案】A
【分析】先求出∠BAC，再由∠BAC=∠ACE+∠AEC从而求解．
【详解】解：在△ABC中∠BAC=180°-∠CBA-∠ACB＝180°-65°-65°=50°，
又在△BCE中∠BAC=∠ACE+∠AEC=50°，
所以∠AEC=50°-∠ACE＝50°-15°=35°．
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查三角形内角和等于180°与外角定理，解题的关键是熟知三角形外角等于两不相邻的两内角之和．
10．下列图形中具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形具有稳定性，即可对图形进行判断．
【详解】解：A、中间竖线的两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误；
B、对角线下方是四边形，不具有稳定性，故本选项错误；
C、对角线两侧是三角形，具有稳定性，故本选项正确；
D、对角线两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是利用三角形的稳定性判断．
11．如图，小明从A点出发，沿直线前进16米后向左转45°，又向左转45°，…，照这样走下去，共走路程为（ ）
A．96米 B．128米 C．160米 D．192米
【答案】B
【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．
【详解】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，
所以一共走了8×16=128（米）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．
12．张叔叔想买同一种大小一样、形状相同的地砖铺设客厅，为了能够做到无缝隙、不重叠铺设，有以下几种地砖①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形；⑤正十边形，可以购买的地砖形状是（ ）．
A．①④ B．①③ C．③⑤ D．②④
【答案】B
【分析】依次求出各形状地砖的内角度数，再判断360°是否为该内角的整数倍即可得出结论．
【详解】解：正三角形每个内角的度数为60°，且360°÷60°=6；
正五边形每个内角度数为180°-（360°÷5）=108°，且360°÷108°不是整数；
正六边形每个内角度数为180°-（360°÷6）=120°，且360°÷120°=3；
正八边形每个内角度数为180°-（360°÷8）=135°，且360°÷135°不是整数；
正十边形每个内角度数为180°-（360°÷10）=144°，且360°÷144°不是整数；
综上可知，只有正三角形和正六边形两种形状的地砖符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形内角和的计算，解决本题的关键是能读懂题意，了解同一种大小一样、形状相同的地砖铺设客厅，做到无缝隙、不重叠铺设，则360°应该为该正多边形地砖的内角的整数倍，本题对学生应用数学的意识与能力有一定的体现．
13．将长为12的线段截成长度为整数的三段，使它们成为一个三角形的三边，则构成的三角形不可能是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系进行判断，可以运用举实例的方法．
【详解】解：、截成5，5，2三段，构成等腰三角形；
、不可能构成钝角三角形；
、截成4，4，4三段，构成等边三角形；
、截成3，4，5三段，构成直角三角形．
故选：B．
【点睛】考查三角形的边时，解题的关键是：要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
14．把边形变为边形，内角和增加了，则的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据多边形的内角和公式进行选择即可．
【详解】解：多边形的边数增加1，它的内角和增加180度，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，解题的关键是：掌握多边形的内角和外角．
15．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由三角板的特征可得∠B=45°，∠E=30°，∠EFD=90°，利用三角形的外角的性质及对顶角的性质可求解∠AGE的度数，再利用三角形外角的性质可求解∠1的度数．
【详解】解：由题意得△ABC，△DEF为直角三角形，∠B=45°，∠E=30°，∠EFD=90°，
∴∠AGE=∠BGF=45°，
∵∠1=∠E+∠AGE，
∴∠1=30°+45°=75°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，等腰直角三角形，求解∠AGE的度数是解题的关键．
16．已知三角形两边的长分别为1cm、5cm，则第三边的长可以为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】C
【分析】设第三边的长为x cm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围即可．
【详解】解：设第三边的长为x cm，则
5-1＜x＜1+5，即4＜x＜6．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边是解答此题的关键．
17．如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．25 B．26 C．30 D．39
【答案】B
【分析】正中有多种图形，将不规则图形拆分后，可归结为四种图形，每种图形都可划分为面积最小的正三角形的组合，最后正全部由小正三角形组成，根据阴影部分小正三角形的个数所占全部小正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案．
【详解】如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平行四边形、小正三角形；其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分成4个小正三角形，平行四边形可以分成6个小正三角形，
由图可得：正六边形有13个，可分成小正三角形个数为：（个）；
较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为：（个）；
平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为：（个）；
小正三角形个数为13个；
∴一共有小正三角形个数为：（个），
∴图中阴影部分面积为：，
故选：B．
【点睛】题目主要考查创新思维，将其进行分类分解是解题难点．
18．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】C
【分析】进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应是，因此我们只需要验证是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．
【详解】解：A、等边三角形每个内角的度数为，，故该项不符合题意；
B、正方形的每个内角的度数为，，故该项不符合题意；
C、正五边形的每个内角的度数为，，故该项符合题意；
D、正六边形的每个内角的度数为，，故该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查镶嵌问题，正确掌握各正多边形的每个内角的度数及镶嵌的计算方法是解题的关键．
19．如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．
【详解】解：连接BD，∵∠BCD=100°，
∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，
∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．
20．已知a、b、c是三角形的三边，则代数式的值（ ）．
A．不能确定 B．大于0 C．等于0 D．小于0
【答案】D
【分析】把代数式分解因式，然后根据三角形中任意两边之和大于第三边，进行判断即可．
【详解】解：
，
，
∵a，b，c是三角形的三边，
∴，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系，利用完全平方公式和平方差公式将原式整理成两个因式乘积的形式是解题的关键．
二、填空题
21．如图，的度数为_______．
【答案】/180度
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后利用三角形的内角和定理即可得解．
【详解】解：如图，
∵是的外角，是的外角，
∴，，
又∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．熟记性质并准确识图是解题的关键．
22．已知三角形的两边长分别是和，第三边长是奇数，则第三边长是__________．
【答案】/5厘米
【分析】先根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边点的取值范围，再选择奇数即可．
【详解】解：∵，
∴3＜第三边＜7，
∵第三边为奇数，
∴第三边长为.
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，利用三角形的三边关系求出第三边的取值范围是解本题的关键．
23．如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝______．
【答案】34°/34度
【分析】根据题意先求∠DAC，再依据△ADF三角形内角和180°可得答案．
【详解】解：∵∠B=46°，∠C=30°，
∴∠DAC=∠B+∠C=76°，
∵∠EFC=70°，
∴∠AFD=70°，
∴∠D=180°-∠DAC-∠AFD=34°，
故答案为：34°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理及三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和，解题的关键是掌握三角形内角和定理．
24．如图，△ABC中，D是BC边上的一点(不与B，C重合)，点E，F是线段AD的三等分点，记△BDF的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S1+S2=3，则△ABC的面积为______
【答案】9
【分析】根据点E，F是线段AD的三等分点，可得到S△ABD＝3S1，S△ADC＝3S2，代入即可求出△ABC的面积．
【详解】解：∵点E，F是线段AD的三等分点，
∴DF＝AE=AD，
∴S△ABD＝3S1，
同理可知：S△ADC＝3S2，
∴S△ABC＝S△ABD＋S△ADC
＝3S1＋3S2
＝3（S1＋S2）
＝3×3
＝9．
故答案为：9．
【点睛】此题考查了三角形面积，解题的关键是 同底等高三角形面积之比等于对应底边之比．
25．如图△ABC中，G为重心，若AG=2，则AD=______
【答案】3
【分析】根据G是△ABC的重心，利用重心的性质求出GD，然后再将AG+GD，即可求出AD．
【详解】解：∵G为△ABC的重心，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3
【点睛】此题主要考查了三角形重心的性质熟练掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，求出GD是解题的关键．
26．如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形最小内角的度数是________．
【答案】36
【分析】先根据已知三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，互为邻补角的两个角和为180°，从而求出这个外角与它相邻的内角的度数为144°、36°．又知这个外角还等于与它不相邻的一个内角的2倍，所以可以得到这两个与它不相邻的内角分别为：72°、72°，则这个三角形各角的度数分别是36°，72°，72°，由此可得答案．
【详解】解：∵三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，
∴可设这一内角为x，则它的外角为4x，
∴有x+4x＝180°，
则x＝36°，4x＝144°．
又∵这个外角还等于与它不相邻的一个内角的2倍，
∴这个与它不相邻的内角分别为144°÷2＝72°，
∴第三个内角的度数为180°－72°－36°＝72°，
∴这个三角形各角的度数分别是36°，72°，72°，
∴此三角形最小内角的度数是36°．
故答案为：36．
【点睛】本题主要考查三角形的外角定义、邻补角定义以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的角和定理．
27．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足，则c 的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据平方和开算术平方根的非负性求出a和b，再根据三角形三边关系求出c的取值范围．
【详解】解：由原式可知：a-1=0；b-2=0
∴a=1，b=2
∴
∴1
28．如果三角形的两边长分别为和，且周长是偶数，那么第三条边是______．
【答案】6
【分析】根据为偶数，周长为偶数，可知第三边为偶数，从而找出取值范围中的偶数，即为第三边的长．
【详解】解：设第三边长为，
则，即，
根据周长为偶数，可知第三边为偶数，
即为偶数，因此．
故答案是：6．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟悉相关性质是解题的关键．
29．在中，是边上的高线，且，，平分交于点，则的度数为_______．
【答案】10°或50°
【分析】分三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示，
∵∠BAN=60°，∠CAN=40°，
∴∠BAC=100°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAM=50°，
∴∠MAN=∠BAN-∠BAM=10°；
如图所示：
∵∠BAN=60°，∠CAN=40°，
∴∠BAC=20°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠CAM=10°，
∴∠MAN=∠CAN+∠CAM=50°；
故答案为：10°或50°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，截图的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
30．如图，△ABC中，∠ACB>90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则线段___________是△ABC中AC边上的高.
【答案】BE/EB
【分析】根据三角形的高线的定义解答即可．
【详解】根据图形可得，BE是△ABC中AC边上的高．
故答案为：BE．
【点睛】本题考查了三角形的高线的定义，准确识图并熟记高线的定义是解题的关键．
三角形的高线：从三角形一个端点向它的对边所在的直线作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高．
31．如图，在中，，在边上取点，使得，连接．点、分别为、边上的点，且，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为_______．
【答案】
【分析】根据题意可得，设，是的一个外角，可得，根据三角形内角和定理可得，即，联立解方程组即可求得．
【详解】折叠
，
设
，
，
是的一个外角
即①
即
即②
②-①得
即
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角性质，解二元一次方程组，理清角度之间的关系，设未知数列方程组是解题的关键．
32．如图，中，，，点D为边BC上一点，将沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为______．
【答案】110°/110度
【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC＝110°，由折叠的性质得到∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠BAE＝∠E＝30°，根据三角形的内角和即可得到结论．
【详解】∵∠B＝40°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝110°，
由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD＝∠CAE，
∵，
∴∠BAE＝∠E＝30°，
∴∠CAE＝∠BAC-∠BAE＝80°，
∴∠CAD＝∠CAE＝40°，
∴∠ADC＝180° ∠CAD ∠C＝110°，
故答案为：110°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
33．已知三角形的两边长分别为2和4，第三边长为整数，则该三角形的周长最大值为_________
【答案】11
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长的最大值．
【详解】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：4 2＜a＜2＋4，
即2＜a＜6，
∵a为整数，
∴a的最大整数值为5，
则三角形的最大周长为2＋4＋5＝11．
故答案为：11．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
34．通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题，如果从一个边形的一个顶点出发最多引出条对角线，那么这个边形的内角和是__________．
【答案】
【分析】从一个n边形的一个顶点出发最多引出3条对角线，可知该多边形为六边形．根据多边形内角和公式180°（n-2），可求得该六边形的内角和为720°．
【详解】解：∵任意一个n边形的一个顶点可引出的对角线的条数为（n-3）条，
∴该多边形的边数为6．
∴该六边形的内角和为180°（n-2）=180°×4=720°．
故答案为：720°．
【点睛】本题主要考查多边形的任意一个顶点引出的对角线条数以及多边形的内角和公式，熟练掌握多边形的任意一个顶点引出的对角线条数以及多边形的内角和公式是解题关键．
35．有一张直角三角形纸片，记作，其中．按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，若，则的度数为_____．
【答案】/105度
【分析】根据三角形内角和定理结合∠B的度数即可得出∠BDE＋∠BED的度数，再根据∠BDE与∠2互补、∠BED与∠1互补，即可求出∠1＋∠2的度数，代入∠1＝165°即可得出结论．
【详解】解：∵∠B＝90°，
∴∠BDE＋∠BED＝180° ∠B＝90°，
又∵∠BDE＋∠2＝180°，∠BED＋∠1＝180°，
∴∠1＋∠2＝360° （∠BDE＋∠BED）＝270°，
∵∠1＝165°，
∴∠2＝105°．
故答案为：105°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出∠BDE＋∠BED的度数是解题的关键．
36．小马虎同学在计算某个凸多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是______度．
【答案】140
【分析】设这个内角是x度，这个多边形是n边形，然后根据多边形的内角和公式列出方程，再根据0＜x＜180°，n是正整数求解．
【详解】解：设这个内角是x度，这个多边形是n边形，则0＜x＜180°，
由题意得，（n-2） 180°-x=1840°，
∵n为正整数，
∴1840°+x必为180的倍数，
又∵0＜x＜180，
∴n=13，x=140°．
故答案为：140．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，涉及到整式方程，难点在于考虑多边形的边数是正整数．
37．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为____．
【答案】1
【分析】根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形得出，，进而求得，然后代入数据进行计算求解即可
【详解】解：∵点D、E分别是边BC、AD的中点
∴，
，
∴
∵点F是CE的中点
故答案为：1
【点睛】本题考查了三角形中线的性质和三角形面积的应用，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
38．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且面积等于，则的面积等于______．
【答案】2
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】解：∵点F是的中点，
∴，
∵中边上的高与中边上的高相等，
∴，
同理，∵E是的中点，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴即阴影部分图形的面积为．
故答案为：2．
【点睛】本题考查利用中线的性质求三角形的面积，解题的关键是掌握“三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形”．
39．若直角三角形的一个锐角为，则另一个锐角等于________．
【答案】75°
【分析】根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵另一个锐角为15°，
∴另一个锐角为180°-90°-15°=75°，
故答案为：75°．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两锐角互余．
40．如图，把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中______．
【答案】15°
【分析】根据常用的三角板的特点求出∠EAD和∠BFD的度数，根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】解：由一副常用的三角板的特点可知，∠EAD=45°，∠BFD=30°，
∴∠ABF=∠EAD-∠BFD=15°，
故答案为：15°．
【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
三、解答题
41．问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？
(1)特殊探究：若，则度，____度，_____度；
(2)类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；
(3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式．
【答案】(1)90，35；
(2)，理由见解析；
(3)不成立，或或，理由见解析
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求解即可；
（2）猜想：，利用三角形内角和定理可解决问题；
（3）结论不成立，分三种情形讨论求解即可.
【详解】（1）解：由题意得：
，
，
故答案为：90，35；
（2）解：猜想：，
理由：在中，，
，
又在中，，
；
（3）解：（2）中的结论不成立，
①结论为：
理由：如图所示，设交于点O，
，
，
②结论：
理由：如图所示，
，
，
③结论为：
理由：如图所示，
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题．
42．如图，点、、在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．①；②；③平分．
(1)上述问题有哪几种正确命题，请按“”的形式一一书写出来；
(2)选择（1）中的一个真命题加以说明．
【答案】(1)有三种正确命题，命题1：；命题2：；命题3：
(2)答案不唯一，见解析
【分析】（1）根据题意，结合平行线的性质和角平分线的性质，选择两个条件做题设，一个条件做结论，得到正确的命题．
（2）任选一个命题，根据平行线的性质，角平分线的性质和三角形内角和定理即可证明．
【详解】（1）解：上述问题有三种正确命题，分别是：
命题1：；
命题2：；
命题3：．
（2）解：选择命题1：．
证明：∵，
∴，．
∵，
∴．
∴平分．
选择命题2：．
证明：∵，
∴，．
∵平分，
∴．
∴．
选择命题3：．
证明：∵平分，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴，
∴．
【点睛】本题考查写出一个命题并求证，正确利用平行线的性质和角平分线的性质写出命题并求证是解题的关键．
43．在中，，边上的中线把三角形的周长分为10和18两部分，求腰长．
【答案】12
【分析】由在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成10和18两部分，可得|AB-BC|=18-10=8，AB+BC+AC=2AB+BC=10+18=28，然后分别从AB＞BC与AB＜BC去分析求解即可求得答案．
【详解】解：如图，
∵AB=AC，BD是AC边上的中线，
即AD=CD，
∴|AB-BC|=18-10=8，AB+BC+AC=2AB+BC=10+18=28，
若AB＞BC，则AB-BC=8，
又∵2AB+BC=28，
联立方程组：
，
解得：AB=12，BC=4，
12、12、4三边能够组成三角形；
若AB＜BC，则BC-AB=8，
又2AB+BC=28，
联立方程组：
，
解得：AB=，BC=，
、、三边不能够组成三角形；
∴腰长AB为12．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．
44．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(-5，0)，B(-3，0)，C(-1，2)，求出△ABC的面积．
【答案】2
【分析】首先根据题意求出AB的长度和AB边上的高的长度，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：作CD⊥x轴，垂足为点D．
因为A(- 5，0)，B(- 3，0)，C(-1，2)，
所以OA=5，OB=3，CD=2，
所以AB=OA-OB=5-3=2．
所以S△ABC=AB·CD=×2×2=2．
【点睛】此题考查了网格中三角形面积的求法，解题的关键是根据题意求出AB的长度和AB边上的高．
45．如图，矩形中，，，点从点沿边以的速度向点移动，同时点从点沿边以的速度向点移动，当、两点中有一个点到终点时，则另一个点也停止运动．当的面积比的面积大时，求点运动的时间．
【答案】当的面积比的面积大时，点经过了秒．
【分析】设运动时间为秒，根据题意，列方程求解即可．
【详解】解：设当的面积比的面积大时，点运动了秒．
根据题意得：，
化简得：，
解得：，
∵当时，，
∴舍去．
答：当的面积比的面积大时，点经过了秒．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，涉及了三角形面积的计算，理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
46．已知在中，，是平分线，求和的度数．
【答案】，
【分析】根据三角形内角和定理、三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】解：在中，，，
，
是平分线，
，
．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
47．如图，在中，点E是边上一点，．
(1)如图1，作的平分线交，于D，F两点．试说明：；
(2)如图2，作的外角的平分线，交的延长线于点D，延长，交于点F，试探究（1）中的结论是否成立？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立；理由见解析
【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠DAC，再根据三角形外角的性质可得∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，进而得到∠EFD=∠ADC；
（2）首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠DAG，再根据等量代换可得∠FAE=∠BAD，然后再根据三角形外角的性质可得∠EFD=∠AEB-∠FAE，∠ADC=∠ABC-∠BAD，进而得∠EFD=∠ADC．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，，
又∵，
∴；
（2）探究（1）中结论仍成立；
理由：∵平分，
∴，
∵
∴，
∵，，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
48．小红把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，求的度数．
【答案】
【分析】如图，由三角形的外角的性质可得： 可得 再利用三角形的内角和求解 再利用四边形的内角和求解 再求解 从而可得结论．
【详解】解：如图，由三角形的外角的性质可得：
【点睛】本题考查的是三角形的内角和，四边形的内角和定理，三角形的外角的性质，平角的定义，掌握以上知识是解题的关键．
49．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
(1)若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝ °；
(2)若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ；
(3)如图3，若点P在斜边BA的延长线上运动(CE＜CD)，请写出∠α、∠1、∠2之间的关系式，并说明理由．
【答案】(1)140
(2)∠1+∠2=90+∠α
(3)∠2-∠1=90°-∠α或∠2-∠1=90°+∠α．理由见解析
【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；
（2）利用（1）中所求得出答案即可；
（3）利用三角外角的性质分三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°，
∴∠1+∠2=∠C+∠α，
∵∠C=90°，∠α=50°，
∴∠1+∠2=140°；
故答案为：140；
（2）解：由（1）得出：∠α+∠C=∠1+∠2，
∴∠1+∠2=90°+α；
（3）解：如图，
分三种情况：连接ED交BA的延长线于P点，
如图1，由三角形的外角性质，∠2=∠C+∠1+∠α，
∴∠2-∠1=90°+∠α；
如图2，∠α=0°，∠2=∠1+90°；
如图3，∠2=∠1-∠α+∠C，
∴∠2-∠1=90°-∠α．
综上，∠2-∠1=90°-∠α或∠2-∠1=90°+∠α．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练利用三角形外角的性质是解决问题的关键．
50．已知一个多边形的内角和比外角和多540°，请求出它是几边形？
【答案】七边形
【分析】设这个多边形为n边形，则其内角和为 ，然后根据多边形外角和为360度结合题意已知条件进行求解即可．
【详解】解：设这个多边形为n边形，则其内角和为，
∵这个n边形的外角和为360度，内角和比外角和多540°，
∴，
解得n=7，
∴这个多边形是七边形，
答：这个多边形是七边形．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和与内角和，解题的关键在于能够熟练掌握多边形内角和公式和多边形外角和为360度．
51．如图，在中，，，是边上的高，平分．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由∠ABC、∠ACB的度数结合三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质可求出∠BAE的度数；
（2）利用三角形的外角性质可求出∠AEB的度数，结合∠ADE＝90°即可求出∠DAE的度数．
【详解】解：（1）∵∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝180° ∠ABC ∠ACB＝60°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝30°．
（2）∵∠CAE＝∠BAE＝30°，∠ACB＝80°，
∴∠AEB＝∠CAE＋∠ACB＝110°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝∠AEB ∠ADE＝20°．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数；（2）牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
52．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．
(1)∠1与∠2有什么关系，为什么？
(2)BE与DF有什么关系？请说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据四边形的内角和，可以得到∠ABC+∠ADC＝180°，再根据角平分线的性质即可得出．
（2）由互余可得∠1＝∠DFC，再根据平行线的判定即可得出．
【详解】（1）．
∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠1＝∠ABE，∠2＝∠ADF．
∵∠A＝∠C＝90°．
∴∠ABC+∠ADC＝180°．
∴．
∴∠1+∠2＝90°．
（2）．理由如下：
在中，∵∠C＝90°．
∴∠DFC+∠2＝90°．
∵∠1+∠2＝90°．
∴∠1＝∠DFC．
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键在于注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
53．一个多边形的内角和与外角和的度数之和为，求这个多边形的边数．
【答案】多边形的边数为7
【分析】设这个多边形的边数为n，根据这个多边形的内角和+外角和360°=1260°，列出方程求解即可．
【详解】解：设多边形的边数是，由题意得，
，
解得：．
答：多边形的边数为7．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关，熟练应用多边形的内角和定理是解题的关键．
54．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，已知∠ABC＝40°，∠A＝60°，求∠BFD的度数．
【答案】60°
【分析】根据∠BFD=∠FBC+∠FCB=∠ABC+∠ACB计算即可．
【详解】解：∵∠A=60°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，
∴∠FBC+∠FCB=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=60°，
∵∠BFD=∠FBC+∠FCB，
∴∠BFD=60°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关基本知识．
55．如图所示，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．
【答案】见解析．
【分析】根据四边形内角和等于360°，∠ABC＋∠ADC＝180°，可求∠ABC＋∠ADC的度数，再由角平分线的定义可求∠CDF＋∠EBF，最后根据平行线的性质和等量关系可得∠CDF＋∠CFD的度数，即可求证．
【详解】∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
∴∠ABC＋∠ADC＝360°﹣180°＝180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠CDF＋∠EBF＝90°，
∵BE∥DF，
∴∠EBF＝∠CFD，
∴∠CDF＋∠CFD＝90°，
故△DCF为直角三角形．
【点睛】本题考查的是多边形内角与外角，平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
56．如图，AD是△ABC的中线，AH是△ABC的高，BD=1，AH=2，求△ABC的面积．
【答案】△ABC的面积为2．
【分析】由中线的定义，求出BC的长度，然后再求出△ABC的面积．
【详解】解：∵AD是△ABC的中线
∴BC=2BD
∵BD=1
∴BC=2
∵AH是△ABC的高，且AH=2
∴S△ABC=BC·AH=×2×2=2；
答：△ABC的面积为2．
【点睛】本题考查了三角形的中线，求三角形的面积，解题的关键是正确求出BC的长度，从而求出面积．
57．如图，在△中，，平分，，
（1）求的度数；
（2）探究：小明认为如果只知道，也能得出的度数．请你写出求解过程．
【答案】（1）20°；（2）20°，理由见解析
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠BAC，再利用角平分线定义求∠BAE；求出∠BAD，就可知道∠DAE的度数；
（2）根据AE平分∠BAC，得到∠BAE．再根据垂直定义，在直角△ABD中，可以求得∠BAD，即可求得∠DAE=（∠B-∠C）．
【详解】（1）∵
∴∠BDA＝90°
∵
∴∠BAD＝20°
∵
∴∠BAC＝80°
∵平分
∴＝＝40°
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝20°
（2）∵
∴∠BDA＝90°
∴∠BAD＝90°－∠B
∵平分
∴∠BAE＝＝
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝－（90°－∠B）
＝
∵
∴∠DAE＝20°
【点睛】本题要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义和垂直的定义，综合利用了直角三角形的性质．解题时注意：三角形内角和是180°．
58．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，BE、CD交于G点
（1）求证：∠ABC＋∠ADC＝180°；
（2）求证：∠G＝∠CDF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据多边形的内角和定理求出即可；
（2）根据角平分线定义求出∠CDF＋∠GBC＝90°，根据三角形内角和定理求出∠CDF＋∠DFC＝90°，推出∠DFC＝∠GBC，根据平行线的判定得出BG∥DF，根据平行线的性质得出即可．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠A＋∠ABC＋∠C＋∠ADC＝360°，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°；
（2）∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠GBC＝∠ABC，∠CDF＝∠ADC，
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴∠GBC＋∠CDF＝90°，
∵∠C＋∠CDF＋∠DFC＝180°，∠C＝90°，
∴∠CDF＋∠DFC＝90°，
∴∠GBC＝∠DFC，
∴BG∥DF，
∴∠G＝∠CDF．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线定义的应用，能求出BG∥DF是解此题的关键，注意：两直线平行，同位角相等．
59．如图，在中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O．
（1）若，，求的度数．
（2）若，求的度数．
（3）若，，则______用含、的式子表示
【答案】（1）5°；（2）55°；（3）
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC=180°-60°-70°=50°，再由AE是角平分线，求出∠EAC=∠BAC=25°，由AD是高，求出∠CAD=90°-∠C=20°，最后即可求出∠DAE=∠EAC-∠CAD=5°；
（2）根据角平分线的性质，得∠OAB=∠BAC，∠OBA=∠ABC，所以∠BOE=∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC）=（180°-∠C）=×（180°-70°）=55°；
（3）根据三角形内角和定理求出∠BAC=180°-α-β，再由AE是角平分线，求出∠EAC=（180°-α-β），由AD是高，求出∠CAD=90°-β，最后即可求出∠DAE=∠EAC-∠CAD═（180°-α-β）-（90°-β）=（β-α）．
【详解】解：，
，
是角平分线，
，
是高，
，
，
；
，BF是角平分线，
，，
；
，，
，
是角平分线，
，
是高，
，
，
．
故答案为．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题关键是根据相关定义和性质应用数形结合思想解决问题．
60．如图，已知D为△ABC边BC延长线一点，DF⊥AB于F，且交AC于E，∠A=30°，∠D=55°.
（1）求∠ACD的度数；
（2）求∠FEC的度数.
【答案】（1）65°；（2）120°
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠B，再利用三角形的外角的性质求出∠ACD即可．
（2）根据∠FEC=∠ECD+∠D求解即可．
【详解】（1）∵DF⊥AB，
∴∠BFD=90°，
∴∠B=90°-∠D=35°，
∵∠ACD=∠B+∠A，∠A=30°，
∴∠ACD=65°．
（2）∵∠FEC=∠ECD+∠D，∠ECD=65°，∠D=55°，
∴∠FEC=55°+65°=120°．
【点睛】考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
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作业13：三角形（单元综合练习）-2023七年级升八年级数学暑假巩固提高作业
一、单选题
1．如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的边，则这个三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．不能确定
2．已知点O(0，0)，点A(-3，2)，点B在y轴的正半轴上，若△AOB的面积为12，则点B的坐标为（ ）
A．(0，8) B．(0，4) C．(8，0) D．(0，-8)
3．“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗，图②是这种窗棂中的部分图案．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．在矩形ABCD中，一条直线将矩形任意分为两部分，设这两部分图形的内角和分别为x、y，则x＋y的和是（ ）
A．360°、540°、720° B．360°、540° C．540°、720° D．360°、720°
5．若一个多边形的内角和为，则从该多边形的一个顶点出发的对角线条数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，，D是外一点，， ，则（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，在四边形中，，与，相邻的外角都是110°，则的外角的度数是（ ）
A．90° B．85°
C．80° D．70°
8．正n边形的一个外角等于30°，则n的值为（ ）
A．12 B．16 C．8 D．15
9．如图，∠CBA＝∠ACB＝65°，∠ACE＝15°，则∠AEC的度数是（ ）
A．35° B．50° C．65° D．80°
10．下列图形中具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，小明从A点出发，沿直线前进16米后向左转45°，又向左转45°，…，照这样走下去，共走路程为（ ）
A．96米 B．128米 C．160米 D．192米
12．张叔叔想买同一种大小一样、形状相同的地砖铺设客厅，为了能够做到无缝隙、不重叠铺设，有以下几种地砖①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形；⑤正十边形，可以购买的地砖形状是（ ）．
A．①④ B．①③ C．③⑤ D．②④
13．将长为12的线段截成长度为整数的三段，使它们成为一个三角形的三边，则构成的三角形不可能是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
14．把边形变为边形，内角和增加了，则的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
15．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（ ）
A． B． C． D．
16．已知三角形两边的长分别为1cm、5cm，则第三边的长可以为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
17．如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．25 B．26 C．30 D．39
18．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
19．如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（ ）
A． B． C． D．
20．已知a、b、c是三角形的三边，则代数式的值（ ）．
A．不能确定 B．大于0 C．等于0 D．小于0
二、填空题
21．如图，的度数为_______．
22．已知三角形的两边长分别是和，第三边长是奇数，则第三边长是__________．
23．如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝______．
24．如图，△ABC中，D是BC边上的一点(不与B，C重合)，点E，F是线段AD的三等分点，记△BDF的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S1+S2=3，则△ABC的面积为______
25．如图△ABC中，G为重心，若AG=2，则AD=______
26．如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形最小内角的度数是________．
27．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足，则c 的取值范围是______．
28．如果三角形的两边长分别为和，且周长是偶数，那么第三条边是______．
29．在中，是边上的高线，且，，平分交于点，则的度数为_______．
30．如图，△ABC中，∠ACB>90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则线段___________是△ABC中AC边上的高.
31．如图，在中，，在边上取点，使得，连接．点、分别为、边上的点，且，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为_______．
32．如图，中，，，点D为边BC上一点，将沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为______．
33．已知三角形的两边长分别为2和4，第三边长为整数，则该三角形的周长最大值为_________
34．通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题，如果从一个边形的一个顶点出发最多引出条对角线，那么这个边形的内角和是__________．
35．有一张直角三角形纸片，记作，其中．按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，若，则的度数为_____．
36．小马虎同学在计算某个凸多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是______度．
37．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为____．
38．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且面积等于，则的面积等于______．
39．若直角三角形的一个锐角为，则另一个锐角等于________．
40．如图，把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中______．
三、解答题
41．问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？
(1)特殊探究：若，则度，____度，_____度；
(2)类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；
(3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式．
42．如图，点、、在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．①；②；③平分．
(1)上述问题有哪几种正确命题，请按“”的形式一一书写出来；
(2)选择（1）中的一个真命题加以说明．
43．在中，，边上的中线把三角形的周长分为10和18两部分，求腰长．
44．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(-5，0)，B(-3，0)，C(-1，2)，求出△ABC的面积．
45．如图，矩形中，，，点从点沿边以的速度向点移动，同时点从点沿边以的速度向点移动，当、两点中有一个点到终点时，则另一个点也停止运动．当的面积比的面积大时，求点运动的时间．
46．已知在中，，是平分线，求和的度数．
47．如图，在中，点E是边上一点，．
(1)如图1，作的平分线交，于D，F两点．试说明：；
(2)如图2，作的外角的平分线，交的延长线于点D，延长，交于点F，试探究（1）中的结论是否成立？请说明理由．
48．小红把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，求的度数．
49．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
(1)若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝ °；
(2)若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ；
(3)如图3，若点P在斜边BA的延长线上运动(CE＜CD)，请写出∠α、∠1、∠2之间的关系式，并说明理由．
50．已知一个多边形的内角和比外角和多540°，请求出它是几边形？
51．如图，在中，，，是边上的高，平分．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
52．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．
(1)∠1与∠2有什么关系，为什么？
(2)BE与DF有什么关系？请说明理由．
53．一个多边形的内角和与外角和的度数之和为，求这个多边形的边数．
54．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，已知∠ABC＝40°，∠A＝60°，求∠BFD的度数．
55．如图所示，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．
56．如图，AD是△ABC的中线，AH是△ABC的高，BD=1，AH=2，求△ABC的面积．
57．如图，在△中，，平分，，
（1）求的度数；
（2）探究：小明认为如果只知道，也能得出的度数．请你写出求解过程．
58．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，BE、CD交于G点
（1）求证：∠ABC＋∠ADC＝180°；
（2）求证：∠G＝∠CDF．
59．如图，在中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O．
（1）若，，求的度数．
（2）若，求的度数．
（3）若，，则______用含、的式子表示
60．如图，已知D为△ABC边BC延长线一点，DF⊥AB于F，且交AC于E，∠A=30°，∠D=55°.
（1）求∠ACD的度数；
（2）求∠FEC的度数.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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