2023年山东省泰安市高二下学期期末数学试题
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 从5本不同期的《意林》和3本不同期的《读者》中任取一本，则不同的取法种数是（ ）
A. 15 B. 125 C. 8 D.
【答案】C
【解析】分两类：
第1类，取《意林》，有5种不同的取法；
第2类，取《读者》，有3种不同的取法．
故共有8种不同的取法．
故选：C
2. 从10名学生中随机选出2名学生代表，则学生甲被选中的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】从10名学生中随机选出2名学生代表有种方法，
其中甲被选中有种方法，
所以学生甲被选中的概率是，
故选：A
3. 的展开式中项的系数为（ ）
A. 32 B. C. 64 D.
【答案】B
【解析】展开式的通项公式为，
所以展开式中项的系数为，
故选：B
4. 已知函数是R上的单调增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意在R上恒成立，即恒成立.又，故.
故选：D
5. 已知函数，则
A. 4 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】B
【解析】 ；
故选：B.
6. 一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为，则等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设，2个球中没有白球的概率为，2个球中有一个白球的概率，
所以目标式表示.
故选：D
7. 被5除所得余数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】∵被5除所得余数为3，而的均能被5整除，
∴被5除所得余数为3．
故选：C．
8. 在某项次重复试验中，各次试验的结果相互独立，每次试验的结果只有A，B，C三种，且A，B，C三个事件之间两两互斥，已知在每一次试验中，事件A，B发生的概率均为，则在n次重复试验中，事件A，B，C发生的次数的方差之比为（ ）
A. 1：1：1 B. 4：4：3 C. 3：3：2 D. 2：2：1
【答案】C
【解析】根据事件的互斥性可得：每一次试验中，事件发生的概率为
设事件A，B，C发生的次数为分别随机变量，则有：
则事件A，B，C发生次数的方差分别为： ，，
故事件A，B，C发生次数的方差之比为：
故选：C
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据则下列结论正确的是（ ）
A. 若求得的经验回归方程为，则变量和之间具有正的线性相关关系
B. 若这组样本数据分别是，则其经验回归方程必过点
C. 若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为.同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为，则模型1的拟合效果更好
D. 若用相关指数来刻画回归效果，回归模型3相关指数，回归模型4的相关指数，则模型4的拟合效果更好
【答案】ACD
【解析】对于A：因为回归方程为，，所以变量和之间具有正的线性相关关系，故A正确；
对于B：样本数据的样本中心点为，且经验回归方程必过样本中心点，但不是样本中心点，故B错误；
对于C：因为残差平方和越小的模型，其拟合效果越好，故C正确；
对于D：相关指数越接近1，说明关系越强，拟合效果越好，D正确；
故选：ACD
10. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】令得，，故A正确；
因为的通项为，所以，故B正确；
令，则，
又，所以，故C错误；
令，则，故D正确；
故选：ABD
11. 已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球.先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用A1表示事件“从甲罐出球是红球”A2表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A：
当先从甲中取出一红球放入乙罐，再从乙中随机取出一球是红球的概率为；
当先从甲中取出一白球放入乙罐，再从乙中随机取出一球是红球的概率为；
所以，故A正确；
对于B：
当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B错误；
对于C：
当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，
故，故C正确；
对于D：
因为是对立事件，所以，故D错误.
故选：AC.
12. 已知函数在处取得极值，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 函数的图像与直线只有一个公共点
D. 对任意的
【答案】ACD
【解析】对于A，因为函数在处取得极值，
所以，，解得，故A正确.
即
对于B，因为真数，所以
所以，欲证，只需证
因为，定义域为
所以，令，解得
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，即，所以，
即，故B错误
对于C，欲证与只有一个交点，只需证只有一个根，
即证只有一个根，即只有一个根，
由上述可得在递减，在递增，
所以，故C正确
对于D，由上述得恒成立，
即恒成立，
所以当时，，即
因为
所以
且
所以，
即证，故D正确
故选:ACD.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 某单位安排甲，乙，丙，丁4人去三个社区参加志愿者活动，每人只去一个社区，且每个社区都有人参加，则不同的安排方法数为___________.（用数字作答）.
【答案】36
【解析】首先从个人中选人作为一组，有种，
再将组志愿者安排到三个社区有种安排，
综上一共有种安排方法；
故答案为：
14. 已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为________.
【答案】.
【解析】由题意，从5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出不再放回，
设事件：第1次抽到代数题，事件：第2次抽到几何题，
则，，
所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为:
.
故答案为：.
15. 已知函数，，则的最大值为___________.
【答案】1
【解析】函数，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
又因为，所以，
所以在时单调递增，
其最大值为.
故答案为：1
16. 有3台车床加工同一型专零件，第1台加工的次品率为6%，第2 3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1 2 3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现从加工出来的零件中任取一个零件，在取到的零件是次品的前提下，是第1台车床加工的概率为___________.
【答案】
【解析】记为事件“零件为第（）台车床加工，为事件“任取一个零件为次品”，则
所以
所以.
故答案为：.
四 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出齐字说明证明过程或演算步骤
17. 在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等.
（1）求展开式中二项式系数最大的项.
（2）求的展开式中的常数项.
【答案】（1）； （2）.
【解析】【1】依题意，由组合数的性质得.
所以二项式的展开式中二项式系数最大的项为.
【2】由（1）知，，
因为二项式的展开式的通项为，
所以的常数项为，的常数项为，
所以的展开式中的常数项为.
18. 乡村振兴，生态宜居是关键.生态振兴是乡村振兴的重要支撑，良好的生态环境发农村最大的优势和宝贵财富，坚持人与自然和谐共生，走乡村绿色发展之路，加强农村环境污染综合治理，推进农村“厕所革命”，让良好生态成为乡村振兴支撑点.某地区近五年投入改造农村厕所的费用（单位：十万元）数据如表所示：
年份 2017 2018 2019 2020 2021
年份代号x 1 2 3 4 5
改造费用y 5 6 7 8 10
（1）根据数据资料，是否可用一元线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关系数r加以说明（精确到0.01）；
（2）求出y关于x的经验回归方程，并预测2023年该地区投入改造农村厕所的费用为多少万元？
附注：当考数据:.
参考公式：；经验回归方程中，，.
【答案】（1）答案见解析
（2），2023年该地区投入改造农村则所的费用约为120万元
【解析】【1】，
所以
.
因为与的相关系数近似为，说明与的线性相关程度相当高，可以用一元线性回归模型拟合与的关系.
【2】
所以，
所以经验回归方程为.
易知2023年的年份代号为7，
当时，.
所以2023年该地区投入改造农村则所的费用约为120万元.
19. 为持续深化“一盔一带”安全守护行动，有效遏制和减少因电动车闯红灯 逆行 不佩戴安全头盔等行为带来的交通安全隐患，2022年5月以来，泰安交警景区大队根据辖区实际.稳步推进“一盔一带”安全守护行动，确保辖区道路交通环境畅通 有序，该行动开展一段时间后，针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1000名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，其中年龄低于40岁占60%，得到如图的等高堆积条形图.
（1）据等积条所给的数据，完成下面的列联表：
年龄 佩戴头盔 合计
是 否
年龄低于40岁
年龄不低于40岁
合计
（2）根据（1）中的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为佩戴安全头盗与年龄有关.
附：，其中.
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
【答案】（1）答案见解析
（2）认为佩戴安全头盔与年龄无关
【解析】【1】根据等高堆积条形图所给的数据，得列联表如下：
年龄 佩戴头盔 合计
是 否
年龄低于40岁 540 60 600
年龄不低于40岁 340 60 400
合计 880 120 1000
【2】零假设为：佩戴安全头盔与年龄无关.
根据列联表中的数据，计算得：
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为佩戴安全头盔与年龄无关.
20. 已知函数在x=1处取得极值3.
（1）求a，b的值；
（2）若方程有三个相异实根，求实数k的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】【1】，
因为在处取得极值3，
所以，即，
解得.，经验证，满足题意，
所以
【2】方程有三个相异实根，即直线与函数图象有三个不同的交点.
由（1）知，令，
解得或.
当变化时，的变化情况如下表所示：
1
0 0
单调递增 3 单调递减 单调递增
因此，当时，有极大值，且极大值为；
当时，有极小值，且极小值为.
作函数图象如下：
所以实数的取值范围是.
21. 某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成这6组，得到如下的频数分布表.
分组
频数 3 15 42 42 15 3
以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率.
（1）若从这批零件中随机抽取3个，记x为抽取的零件的长度在的个数，求的分布列和数学期望；
（2）若变量满足，且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？
【答案】（1）分布列见解析，数学期望：
（2）这批零件是合格的，将顺利被该公司签收
【解析】【1】从这批零件中随机选取1件，长度在的概率，
随机变量的可能取值为，则
，
，
所以随机变量的分布列为
0 1 2 3
所以
【2】由题意知，
，
，
因为，
所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布.
所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收.
22. 已知函数在x=e处的切线方程是y=e
（1）求函数的单调区间；
（2）若x1，x2∈（1，+∞），且，证明：2e
（2）证明见解析
【解析】【1】，
由题意，，解得，
所以，
设，则，
所以单调递减，即在上单调递减，
因为，
所以当时，单调递增；当时，单调递减.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
【2】证明：不妨设，
因为，所以，
设，
则，
因为，
所以，
所以单调递增，所以，
所以当时，，
所以，
又，所以，
因为在上单调递减，
所以，所以；
下面证明：
设，则，
设，则，
所以单调递减，
所以，所以，
所以在单调递减，
因为，所以，
所以，即，
所以，即，
所以，
又，所以
因为在上单调递减，
所以，
所以，
综上所述，.2023年高二下学期期末数学试题
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 从5本不同期的《意林》和3本不同期的《读者》中任取一本，则不同的取法种数是（ ）
A. 15 B. 125 C. 8 D.
2. 从10名学生中随机选出2名学生代表，则学生甲被选中的概率是（ ）A. B. C. D.
3. 的展开式中项的系数为（ ）A. 32 B. C. 64 D.
4. 已知函数是R上的单调增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，则 A. 4 B. 2 C. 1 D. 0
6. 一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为，则等于的是（ ）
A. B. C. D.
7. 被5除所得余数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 在某项次重复试验中，各次试验的结果相互独立，每次试验的结果只有A，B，C三种，且A，B，C三个事件之间两两互斥，已知在每一次试验中，事件A，B发生的概率均为，则在n次重复试验中，事件A，B，C发生的次数的方差之比为（ ）
A. 1：1：1 B. 4：4：3 C. 3：3：2 D. 2：2：1
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据则下列结论正确的是（ ）
A. 若求得的经验回归方程为，则变量和之间具有正的线性相关关系
B. 若这组样本数据分别是，则其经验回归方程必过点
C. 若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为.同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为，则模型1的拟合效果更好
D. 若用相关指数来刻画回归效果，回归模型3相关指数，回归模型4的相关指数，则模型4的拟合效果更好
10. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球.先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用A1表示事件“从甲罐出球是红球”A2表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数在处取得极值，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. 函数的图像与直线只有一个公共点
D. 对任意的
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 某单位安排甲，乙，丙，丁4人去三个社区参加志愿者活动，每人只去一个社区，且每个社区都有人参加，则不同的安排方法数为___________.（用数字作答）.
14. 已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为________.
15. 已知函数，，则的最大值为___________.
16. 有3台车床加工同一型专零件，第1台加工的次品率为6%，第2 3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1 2 3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现从加工出来的零件中任取一个零件，在取到的零件是次品的前提下，是第1台车床加工的概率为___________.
四 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出齐字说明证明过程或演算步骤
17. 在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等.
（1）求展开式中二项式系数最大的项.（2）求的展开式中的常数项.
18. 乡村振兴，生态宜居是关键.生态振兴是乡村振兴的重要支撑，良好的生态环境发农村最大的优势和宝贵财富，坚持人与自然和谐共生，走乡村绿色发展之路，加强农村环境污染综合治理，推进农村“厕所革命”，让良好生态成为乡村振兴支撑点.某地区近五年投入改造农村厕所的费用（单位：十万元）数据如表所示：
年份 2017 2018 2019 2020 2021
年份代号x 1 2 3 4 5
改造费用y 5 6 7 8 10
（1）根据数据资料，是否可用一元线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关系数r加以说明（精确到0.01）；（2）求出y关于x的经验回归方程，并预测2023年该地区投入改造农村厕所的费用为多少万元？
附注：当考数据:.参考公式：；经验回归方程中，，.
19. 为持续深化“一盔一带”安全守护行动，有效遏制和减少因电动车闯红灯 逆行 不佩戴安全头盔等行为带来的交通安全隐患，2022年5月以来，泰安交警景区大队根据辖区实际.稳步推进“一盔一带”安全守护行动，确保辖区道路交通环境畅通 有序，该行动开展一段时间后，针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1000名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，其中年龄低于40岁占60%，得到如图的等高堆积条形图.
（1）据等积条所给的数据，完成下面的列联表：
年龄 佩戴头盔 合计
是 否
年龄低于40岁
年龄不低于40岁
合计
（2）根据（1）中的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为佩戴安全头盗与年龄有关.
附：，其中.
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
20. 已知函数在x=1处取得极值3.
（1）求a，b的值；
（2）若方程有三个相异实根，求实数k的取值范围.
21. 某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成这6组，得到如下的频数分布表.
分组
频数 3 15 42 42 15 3
以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率.
（1）若从这批零件中随机抽取3个，记x为抽取的零件的长度在的个数，求的分布列和数学期望；
（2）若变量满足，且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？
22. 已知函数在x=e处的切线方程是y=e
（1）求函数的单调区间；
（2）若x1，x2∈（1，+∞），且，证明：2e
