2023年浙教版九年级上数学同步练习一（含解析）
（二次函数1.1--1.2）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝4x2+1 B．y＝4x+1 C．y＝ D．y＝+1
2．下列关于二次函数的图象说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．过点 C．对称轴是直线 D．与轴有两个交点
3．某工厂第一年的利润为20（万元），第三年的利润y（万元），与平均年增长率x之间的函数关系式是( )
A． B． C． D．
4．二次函数图像的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．由二次函数，可知（ ）
A．顶点坐标 B．其最小值为1
C．，y随x的增大而增大 D．其图象的对称轴为直线
6．对二次函数y＝﹣5（x+2）2﹣6的说法错误的是（ ）
A．开口向下
B．最大值为﹣6
C．顶点（2，﹣6）
D．x＜﹣2时，y随x的增大而增大
7．若，是抛物线上的点，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
8．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2(a≠0)与y＝ax(a≠0)的大致图象可能是( )
A． B． C．D．
二、填空题
9．抛物线y＝3（x+1）2+2的对称轴是直线 _______．
10．二次函数的图像与轴的交点坐标为_____
11．二次函数y ＝ -2x2＋3的最大值为_______．
12．抛物线关于y轴对称的抛物线解析式为___________．
13．对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示，根据二次函数的相关性质，可求出___________．
x -1
c c
c+3 d
14．在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为_____．
三、解答题
15．将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
16．已知：抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）、B（﹣1，8），求抛物线的函数表达式，并通过配方写出抛物线的顶点坐标．
17．已知二次函数的图象经过点．求：
(1)该函数解析式及对称轴；
(2)试判断点是否在此函数的图象上．
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为BC上一点，F为CD上一点，且AE＝AF.设△AEF的面积为y，CE＝x.
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)当△AEF为正三角形时，求△AEF的面积．
19．某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y（元/千度））与电价x（元/千度）的函数图象如图：
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x（元/千度）与每天用电量m（千度）的函数关系为x=20m+500，且该工厂每天用电量不超过50千度，为了获得最大利润w，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？
20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上一个动点，过点P作AB的垂线交AC边与点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边与点E.
（1）当点D为AC边的中点时，求BE的长；
（2）当PD=PE时，求AP的长；
（3）设AP 的长为，四边形CDPE的面积为，请直接写出与的函数解析式及自变量的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可.
【详解】解：A、y＝4x2+1是二次函数，故此选项正确；
B、y＝4x+1是一次函数，故此选项错误；
C、y＝是反比例函数，故此选项错误；
D、y＝+1不是二次函数，故此选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数.
2．D
【分析】a=2＞0，抛物线开口向上，可判断A；利用当x=2时，求函数值可判断 B；根据抛物线的对称轴x=0，可判断 C；当y=0时，一元二次方程，△=24＞0，方程有两个不等的实数根可判断D．
【详解】解：a=2＞0，抛物线开口向上，故选项A不正确；
当x=2时，，抛物线不过点A，故选项B不正确；
抛物线的对称轴x=0，故选项C不正确；
当y=0时，，△=0-4×2×(-3)=24＞0，方程有两个不等的实数根，
∴抛物线与x轴由两个交点，
故选项D正确．
故选择D．
【点睛】本题考查抛物线的开口方向，过某点，对称轴，与坐标轴的交点，即二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题关键．
3．B
【详解】试题分析：由题意得第二年的利润为，第三年的利润为
由题意得函数关系式是
故选B.
考点：百分率的应用
点评：根据实际问题列函数关系式是初中数学的重点和难点，因而是中考的热点，尤其在压轴题中极为常见，一般难度不大，需熟练掌握.
4．A
【详解】∵二次函数的解析式为：y=-（x-1）2+2，∴其图象的顶点坐标是：（1，2）．故选A．
5．B
【分析】由解析式可知，对称轴为直线，最小值为1，顶点坐标为，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，可得出答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴二次函数有最小值1，当，y随x的增大而减小，
∴四个选项中只有选项B说法正确，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为是解题的关键．
6．C
【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可得．
【详解】A、由a＝﹣5＜0知抛物线开口向下，此选项说法正确，不符合题意；
B、由a＝﹣5＜0知抛物线在x＝﹣2时，取得最大值﹣6，此选项说法正确，不符合题意；
C．二次函数y＝﹣5（x+2）2﹣6的顶点坐标为（﹣2，﹣6），此选项错误，符合题意；
D．当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，此选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的顶点式得出抛物线的开口方向、对称轴位置、顶点坐标、函数的最值及函数的增减性．
7．A
【分析】根据抛物线的解析式可知，则开口向下，对称轴为，则可知抛物线的增减性，进而可根据增减性比较与的大小．
【详解】解：抛物线
开口向下，对称轴为，
时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，
，．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是熟练掌握根据顶点式判断抛物线的图象的方法．
8．C
【详解】∵y=ax(a≠0)的图象是一条经过原点的直线，所以A不正确；∵当a>0时，y=ax (a≠0)的开口向上，y=ax（a≠0的的图象经过第一，第三象限，当a<0时y=ax (a≠0)的开口向下，y=ax(a≠0)的图象经过第二，第四象限，∴选项B,D不正确，选项C正确．故选C.
9．x＝﹣1
【分析】根据抛物线的顶点式，即可得到它的对称轴是直线 ．
【详解】解：∵y＝3（x+1）2+2，
∴对称轴为x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
【点睛】本题主要考查对抛物线顶点式的理解，它的顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h，掌握抛物线顶点式是解答的关键．
10．
【详解】试题分析：，令x=0，则y=3，所以二次函数的图像与轴的交点坐标为（0,3）.
考点：抛物线与轴的交点坐标.
11．3
【分析】根据二次函数的性质即可求得最值.
【详解】解：由于二次函数y=-2x 2+3的图象是抛物线，
-2<0，开口向下，对称轴为y轴，
所以当x=0时，函数取得最大值为3，
故答案为：3.
【点睛】本题考查了二次函数y=ax2+k的性质，熟练掌握二次函数y=ax2+k的性质是解题的关键.
12．
【分析】根据题意可知抛物线的顶点坐标为，进而可得该抛物线关于x轴对称的顶点坐标为，然后问题可求解．
【详解】解：由抛物线可知顶点坐标为，
∴该抛物线关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质及轴对称，熟练掌握二次函数的性质及轴对称是解题的关键．
13．0
【分析】直接根据表格数据和二次函数的性质求解即可．
【详解】解：将x=﹣1，y=c代入中，得：c=a，
∴a﹣c=0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
14．
【分析】根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线为，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标．
【详解】解：∵点坐标为，
∴直线为，，
∵，
∴直线为，
解得或，
∴，
∴，
∵，
∴直线为，
解得或，
∴，
∴
…，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
15．见解析
【分析】根据抛物线与抛物线的性质进行比较即可．
【详解】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 轴
向上 轴
向上 轴
【点睛】本题考查了的性质，掌握抛物线与抛物线的性质是解题的关键．
16．抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．
【分析】把A、B点坐标代入y＝ax2+bx+3得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可求得解析式；把解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标．
【详解】根据题意得 ，解得 ，
所以抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1，
所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数关系式：要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
17．(1)，对称轴为y轴
(2)点不在此函数的图象上
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出对称轴即可；
（2）求出当，y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为y轴；
（2）解：在中，当时，，
∴点不在此函数的图象上．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
18．(1). y＝－x2＋4x. (2). 32－48.
【详解】试题分析：（1）根据AB，CE长度，利用S△AEF=16-S△ABE-S△ADF-S△CE即可解决．
（2）根据△AEF为正三角形时得∠BAE=15°，在AB上取一点M使得AM=ME，则∠MAE=∠AEM=15°，所以∠BME=30°，设BE=a，则AM=ME=2a，BM=4-2xa，在RT△MBE利用勾股定理即可求出a，进而得出EC，再利用（1）结论计算．
试题解析：
(1)∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD.
又∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)．
∴BE＝DF.∴CE＝CF.
∵CE＝x，AB＝4，∴CF＝x，BE＝DF＝4－x，
∴S△ADF＝S△ABE＝AB·BE＝×4×(4－x)＝8－2x，S△CEF＝CE·CF＝x2，
∴y＝S正方形ABCD－2S△ABE－S△CEF＝42－2(8－2x)－x2＝－x2＋4x.
(2)当△AEF为正三角形时，AE＝EF，
∴AE2＝EF2，即16＋(4－x)2＝2x2.
整理，得x2＋8x－32＝0，解得x＝－4±4.
又∵x>0，∴x＝4－4.
∴y＝－x2＋4x＝－×(4－4)2＋4×(4－4)＝32－48，即S△AEF＝32－48.
∴当△AEF为正三角形时，△AEF的面积为32－48.
19．（1）y=﹣0.2x+300（x≥0）；（2）当工厂每天消耗50千度电时，工厂每天消耗电产生利润为最大，最大利润为1875元．
【分析】（1）利用待定系数法可以求得工厂每千度电产生利润y与电价x的函数解析式；
（2）设工厂每天消耗电产生利润为W元，根据关系式“每天消耗电产生利润=每天用电量×每千度电产生的利润”便可得到W与m的函数关系式；利用配方法对上述表达式进行配方，结合二次函数性质即可求得W的最大值．
【详解】（1）设工厂每千度电产生利润y（元/千度）与电价x（元/千度）的函数解析式为：y=kx+b，
∵该函数图象过点（0，300），（500，200），
∴，
解得．
所以y=﹣0.2x+300（x≥0），
（2）设工厂每天消耗电产生利润为w元，由题意得：
w=my=m（﹣0.2x+300）
=m[﹣0.2（20m+500）+300]
=﹣4m2+200m
=﹣4（m﹣25）2+2500，
在m≤25时，w随m的增大而最大，
由题意，m≤50，
∴当m=50时，w最大=﹣（50﹣25）2+2500=1875，
即当工厂每天消耗50千度电时，工厂每天消耗电产生利润为最大，最大利润为1875元．
20．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，从而求出BP的长，然后求出BE的长；
（2）设AP= ，则BP=4—，根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出PD和PE的长，再根据PD=PE列出方程即可.
（3）分别用AP表示PD、PE、BE,再根据即可求出.
【详解】
（1）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∵点D为AC边的中点
,
∵∠DPE=60°，过点P作AB的垂线交AC边与点D，
∴∠EPB=30°，∴EB
（2）设AP= ，则BP=4—，在两个含有30°的中得出：
AD=2DP，BP=2BE，由勾股定理解得：，
∵PD=PE，∴解得 即有AP=
（3）由（2）知：AP= ，
【点睛】本题主要考查了含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理，以及二次函数，熟练掌握相关知识是解题的关键.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
