2022-2023学年江苏省徐州市邳州市重点中学高一（下）第三次学情检测数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知向量，且，则( )
A. B. C. D.
2. 函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
3. 已知复数满足为虚数单位，则复数的虚部是( )
A. B. C. D.
4. 已知，是两个不重合的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
5. 若，则( )
A. B. C. D.
6. 在中，为的中点，与交于点，则( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知函数在区间恰有一个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 中，若，，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若复数满足其中是虚数单位，复数的共轭复数为，则( )
A. B. 的实部是
C. 的虚部是 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限
10. 在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，，则为锐角三角形
C. 若，则一定是等腰三角形
D. 已知，，符合条件的三角形有两个
11. 下列说法中正确的有( )
A. 对于向量，，，有
B. 与向量的夹角为的单位向量是
C. ，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件
D. 中，是边上一点，满足，，则
12. 如图，在长方体中，，，、分别为棱、的中点，则下列说法中正确的有( )
A.
B. 直线与为相交直线
C. 若是棱上一点，且，则、、、四点共面
D. 平面截该长方体所得的截面可能为六边形
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. ．
14. 如图所示，在正方体中，异面直线与所成的角为______．
15. 已知为复数，且，则的最大值为______ ．
16. 如图所示，该图由三个全等的、、构成，其中和都为等边三角形若，，则 ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知复数．
若，求的值；
若是纯虚数，求的值．
18. 本小题分
已知向量，．
若与垂直，求实数的值；
求向量与夹角的余弦值．
19. 本小题分
在；；这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．
记的内角，，的对边分别为，，，已知_____．
求；
若，求面积的取值范围．
如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
20. 本小题分
四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．
求证：平面平面；
求与平面所成的角的正切值．
21. 本小题分
已知向量，．
若，求；
若，函数，求的值域．
22. 本小题分
已知函数．
若，求的值；
若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，解得．
故选：．
根据平行向量的坐标关系即可求出的值．
本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
判断函数的单调性，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点．
本题考查函数的零点存在性定理，是基础题．
【解答】
解：因为是单调递增的，
，
，
由零点存在性定理知，的零点在区间上．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：复数满足为虚数单位，
，
复数的虚部是，
故选：．
根据已知条件求出复数即可得解．
本题考查复数的运算，复数的基本概念，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于，若，，则或，A错误；
对于，若，，，则或，异面，B错误；
对于，若，，则或，C错误；
对于，由线面平行的性质知正确．
故选：．
由空间线面位置关系的判定及性质依次判断即可．
本题主要考查线面关系有关命题的判定，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：若，平方可得，
则，
故选：．
由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，求得的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解；由题设，，又，且，
所以，即，解得．
故选：．
由已知可得，根据，，共线可设，，结合已知及平面向量的基本定理列方程组求参数值．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：若，则，
它的零点为
故符合题意．
若，
若有一个零点，必有，
代入函数的解析式，得出此时的零点为，
不符合题意
若有两个零点，一个零点位于，
则有，
且，
解得，且 ．
综上所述的取值范围是
故选：．
利用函数零点的存在定理解决本题，要对该函数的性质进行讨论，是否为二次函数，是否有等根等．注意分类讨论思想的运用．
本题考查函数零点的确定，考查函数在某个区间内有零点的转化方法，注意对二次项系数的讨论．考查学生数形结合、分类讨论思想．
8.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
因为，，即，
所以上式两边同时除以，可得，
令，，
则，，可得，可得，当且仅当时，等号成立，
所以，可得，可得，
所以．
故选：．
利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，令，，利用基本不等式可得，可得，进而可求，利用两角和的正切公式可得，从而得解其范围．
本题考查了三角函数恒等变换以及基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】
解：由，得．
，故A正确；
的实部为，故B正确；
的虚部是，故C错误；
复数在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：对于，，，由正弦定理，，故A正确；
对于，，，是锐角，故是锐角三角形，B正确；
对于，，，，，
即，或，
或是等腰三角形或是直角三角形，故C错误；
对于，由正弦定理得：，或，故D正确；
故选：．
运用正弦定理和余弦定理对每一个选项分析计算可以求解．
本题考查了正余弦定理的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对，向量数量积为标量，故不一定等于，故A错；
对，设单位向量，则有，又．
可解得，或，，故与向量的夹角为的单位向量是或，故B错；
对，存在负数，使得，则反向，则，充分性成立；
当成立，夹角为，则不一定反向，必要性不成立．
故“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件，对；
对，因为，故，故，，，故D对；
故选：．
对，由向量数量积为标量即可判断；
对，设单位向，由，，求解即可判断；
对，非零向量，由夹角为即可判断；
对，，即可求出，，即可判断．
本题主要考查向量的数量积和模长，以及条件关系，属于中档题．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，属于拔高题．
利用线面垂直的性质定理即可判断选项A，证明四边形为梯形，即可判断选项B，取的中点，连结，，，通过证明，即可判断选项C，确定截面共有五条边，即可判断选项D．
【解答】
解：由题意可知，平面，
故DB在平面内的射影为，
因为与不垂直，故DB与不垂直，
故选项A错误；
因为，且，
所以四边形为梯形，则与必相交，
故选项B正确；
点是棱上一点，且，
取的中点，连结，，，
因为，分别为和的中点，
所以，
又四边形为平行四边形，
所以，
故E、、、四点共面，
故选项C正确；
由选项C可知，，，为截面的边，截面又与平面以及平面相交，
则可得截面的两条边，所以截面共有五条边，
故选项D错误．
故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两角和与差的正切公式，特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．
利用对原式进行替换，利用两角和的正切公式及特殊角的三角函数值化简即可求出值．
【解答】
解：原式．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：连接、，
由，
则异面直线与所成的角的平面角为或其补角，
又为正三角形，
则，
故答案为：．
连接、，由，则异面直线与所成的角的平面角为或其补角，然后求解即可．
本题考查了异面直线所成角的求法，重点考查了异面直线所成角的作法，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意设，则，
，
，即，
即的模的轨迹可理解为以为圆心，半径为的圆．
则，可理解为求点到点之间的距离，
故的最大值为．
故答案为：．
由题意，设，得到，则，利用复数的模的几何意义，即可得解．
本题主要考查向量模公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由≌≌，且和都为等边三角形得：
，故DF，在中，，，，
由正弦定理得：，因为，
所以，可得，，
故DF，
故AB．
故答案为：．
由已知容易求出中三个角，然后结合，且，利用正弦定理表示出，，通过列方程解决问题．
本题考查三角形中的几何计算问题，突出考查了正弦定理、方程思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：因为，所以，
所以，所以或，
当时，，符合题意，
当时，，舍去，
综上可知：．
因为是纯虚数，
所以，
所以或，所以，或，
所以或，
所以或．
【解析】根据已知条件，结合实数的定义，即可求解．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查实数和纯虚数的定义，属于基础题．
18.【答案】解：因为，，
所以，，
因为与垂直，
所以，
即，解得，
故实数的值为．
由题意知，，，
设向量与夹角为，
则，
故向量与夹角的余弦值为．
【解析】本题考查利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角、向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系、向量线性运算的坐标表示，属于较易题．
根据向量的线性坐标表示求出和，利用向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系即可求出实数的值；
根据向量的线性坐标表示求出向量和，利用向量数量积的坐标表示即可求出向量与夹角的余弦值．
19.【答案】解：选：
由正弦定理及，得，
所以，
所以，
即，
因为，，所以，
又，所以．
选：
因为，所以，
由余弦定理知，，
又，所以．
选：由正弦定理及，得，所以，
由余弦定理知，，
又，所以；
由正弦定理得，，
所以，，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，，
故面积的取值范围为
【解析】选：利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式，化简可得，得解；
选：结合已知条件和余弦定理，可得，得解；
选：利用正弦定理化角为边，并结合余弦定理，可得，得解；
通过正弦定理可得，，再由三角形面积公式，结合三角恒等变换公式，化简得，然后通过的取值范围，借助正弦函数的图象与性质，得解．
本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正弦定理，余弦定理，三角恒等变换公式，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】证明：四边形为菱形，
，
，
为等边三角形，
，在中，是中点，
，
平面，平面，
，
，平面，平面，
平面，
平面，
平面平面．
解：平面，
斜线在平面内的射影为，
即是与平面所成角的平面角，
平面，平面，
，
在中，，在中，，
平面，平面，
，在中，，
与平面所成角的正切值为．
【解析】由平面几何知识证明，由线面垂直的性质定理得，由线面垂直的判定定理得线面垂直，从而可得面面垂直；
由得是与平面所成角的平面角，求出这个直角三角形需证明中两直角边长，然后可得结论．
本题主要考查直线与平面所成的角，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：因为，所以，
即，
则，
所以；
因为，所以，，
所以
，
设，则，
因为，所以，
设，，
由二次函数性质可得：，
，
故的值域为
【解析】根据向量共线定理的坐标形式可得，整理后即可求得结果；
求出时，利用换元法设，转化成一元二次函数，即可求得结果．
本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量坐标运算性质，函数最值问题，属于中档题．
22.【答案】解：由，可得，
，
又为减函数，又，
；
令，，
，且，
整理得，
令，则有且仅有一个零点，，，
当时，，此时，且开口向上，
在上有且仅有一个零点，
当时，，此时，且开口向下且对称轴方程为，
，，故要使在上有且仅有一个零点，
只要且，可得符合条件，
综上所述：实数的取值范围为．
【解析】由已知可得，进而利用函数单调性可求的值；
由已知可得，利用换元法可得有且仅有一个零点，进而求解即可求实数的取值范围．
本题考查函数的零点与方程的解，属中档题．
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