2023年河南省信阳市罗山县青山中学中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作( )
A. B. C. D.
2. 下列正方体的展开图中，每个面上都有一个汉字，则“口”的对面是“手”的展开图是( )
A. B.
C. D.
3. 如图，直线与相交于点，，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 甲、乙两人在相同的条件下，各射击次，经计算：甲射击成绩的平均数是环，方差是；乙射击成绩的平均数是环，方差是下列说法中不一定正确的是( )
A. 甲、乙的总环数相同 B. 甲的成绩比乙的成绩稳定
C. 乙的成绩比甲的成绩波动大 D. 甲、乙成绩的众数相同
6. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分
7. 定义运算：，例如：，则方程的根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有无数个实数根 D. 有两个不相等的实数根
8. 现有、两个不透明的盒子，盒里有两张卡片，分别标有数字、，盒里有三张卡片，分别标有数字、、，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．从盒、盒里各随机抽取一张卡片，则抽到的两张卡片上标有的数字之和大于的概率为( )
A. B. C. D.
9. 如图，矩形中，，点在边上，点在边上，点、在对角线上．若四边形是菱形，则的长是( )
A. B. C. D.
10. 如图，已知，，点从点出发，先移动到轴上的点处，再沿垂直于轴的方向向左移动个单位至点处，最后移动到点处停止，当点移动的路径最短时即三条线段、、长度之和最小，点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 计算：______．
12. 写出一个比大且比小的无理数是______．
13. 如图，正方形中，，点为的中点，以为边在正方形内部作等边三角形，过点作，交于点则的长为______．
14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点、、均在小正方形的顶点上，点、、、均在所画的弧上，若，则的长为______．
15. 如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值是______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：
化简：．
17. 本小题分
某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质大小、甜度等，进行了抽样调查在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各份样品，对西瓜的品质进行评分百分制，并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．
甲、乙两种西瓜得分表
序号
甲种西瓜分
乙种西瓜分
甲、乙两种西瓜得分统计表
平均数 中位数 众数
甲种西瓜
乙种西瓜
______ ， ______ ；
从方差的角度看，______ 种西瓜的得分较稳定填“甲”或“乙”；
小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．
18. 本小题分
如图，线段轴于点，，反比例函数交于点的垂直平分线交反比例函数图象于点．
在图中用直尺和圆规作出点保留作图痕迹，不写画法．
连接，若，
当点的坐标为时，求反比例函数解析式；
连接，当时，求的长．
19. 本小题分
数学课上，赵老师在黑板上写出以下已知条件：如图，在中，，点是的中点，以为直径作交于点，连接，，王洋同学根据赵老师给出的已知条件提出以下两个问题，请你帮助王洋完成：
求证：≌；
若的半径为，，求的长．
20. 本小题分
九年级数学“综合与实践”的活动课题是“测量物体的高度”，第一小组和第二小组的成员分别采用不同的方案测量古树的高度，下面是他们的研究报告的部分记录内容．
课题：测量古树的高度
组别 第一小组 第二小组
示意图
说明：图中的所有点均在同一竖直平面内，其中点，，，在同一水平线上，点，，，在同一水平线上
方案 用高度为的测角仪在处测得古树顶端处的仰角为，并测得点到古树的水平距离为 用高度为的测角仪在处测得古树顶端处的仰角为，在处测得古树顶端处的仰角为，并测得，两点间的距离为
参考数据 ，，
计算过程 在中，，，，
组员签字
请完成第二小组成员的计算过程．结果保留一位小数
你认为哪个小组的测量方案得到的结果更加准确，请说明理由．
21. 本小题分
某公司到果园基地购买某种水果慰问医务工作者，果园基地向购买超过以上含的客户推出两种购买方式，方式甲：价格为元，由果园基地运迭到公司；方式乙：价格为元，由顾客自己租车运回，从果园基地到公司的租车费用为元设该公司购买水果的质量为．
根据题意，填写下表：
购买水果的质量
方式甲的总费用元 ______ ______
方式乙的总费用元 ______ ______
设该公司按方式甲购买水果的总费用为元，按方式乙购买水果的总费用为元，分别求，关于的函数解析式；
根据题意填空：
若按方式甲购买水果的总费用和按方式乙购买水果的总费用相同，则该公司购买水果的质量为______ ．
若该公司购买水果的质量为，则按方式______ 的方式购买水果的总费用少．
若该公司购买水果的总费用为元，则按方式______ 的方式购买水果的质量多．
22. 本小题分
如图，二次函数的图象与轴正半轴交于点，平行于轴的直线与该抛物线交于、两点点位于点左侧，与抛物线对称轴交于点．
求的值；
设、是轴上的点点位于点左侧，四边形为平行四边形．过点、分别作轴的垂线，与抛物线交于点、若，求、的值．
23. 本小题分
问题背景
如图，已知∽，求证：∽；
尝试应用
如图，在和中，，，与相交于点，点在边上，，求的值；
拓展创新
如图，是内一点，，，，，直接写出的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为零上记作，
所以零下记作：，
故选：．
根据正数和负数可以用来表示具有相反意义的量解答即可．
本题考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数可以用来表示具有相反意义的量是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、“口”的对面是“洗”，故A不符合题意；
B、“口”的对面是“勤”，故B不符合题意；
C、“口”的对面是“洗”，故C不符合题意；
D、“口”的对面是“手”，故D符合题意；
故选：．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“”字两端是对面，一线隔一个，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了角的和差关系，掌握“对顶角相等”是解决本题的关键．
先求出的度数，再根据角的和差关系得结论．
【解答】
解：，
．
，，
．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项错误；
，故D选项正确．
故选：．
根据有理数的乘方、幂的乘方与积的乘方以及二次根式的加法运算法则计算即可．
本题考查二次根式的加减法、有理数的乘方、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握基本运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：各射击次，甲射击成绩的平均数是环，乙射击成绩的平均数是环，
甲、乙的总环数相同，故A正确，不符合题意；
甲射击成绩的方差是；乙射击成绩的方差是，
甲的成绩比乙的成绩稳定，乙的成绩比甲的成绩波动大，故B，都正确，不符合题意；
由已知不能得到甲、乙成绩的众数相同，故D不一定正确，符合题意；
故选：．
根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案．
本题考查了平均数、方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
【解答】
解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
，
方程有两个相等的实数根．
故选：．
根据新定义运算法则列出关于的方程，根据根的判别式进行判断即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．解题的关键是正确理解新定义运算法则．
8.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上标有的数字之和大于的有种情况，
两次抽取的卡片上数字之和大于的概率为，
故选：．
画出树状图，共有种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上标有的数字之和大于的有种情况，再由概率公式即可求得答案．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键．
连接交于，由四边形是菱形，得到，，由于四边形是矩形，得到，，通过≌，得到，求出，根据∽，即可得到结果．
【解答】
解；连接交于，
四边形是菱形，
，，
四边形是矩形，
，，
，
在与中，，
≌，
，
，
，
，，
∽，
，
，
．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：如图，将沿方向平移长的距离得到，连接，则，
四边形是平行四边形，
，
当，，在同一直线上时，有最小值，最小值等于线段的长，即的最小值等于长，
此时、、长度之和最小，
，，，
，
设的解析式为，则
，解得，
，
令，则，即，
故选：．
将沿方向平移长的距离得到，连接，可得四边形是平行四边形，根据当，，在同一直线上时，有最小值，最小值等于线段的长，即的最小值等于长，可得、、长度之和最小，再根据待定系数法求得的解析式，即可得到点的坐标．
本题主要考查了最短路线问题以及待定系数法的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用负整数指数幂的性质以及立方根的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了立方根的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】如等答案不唯一
【解析】解：由题意可得，，并且是无理数．
故答案为：如等答案不唯一．
根据这个数即要比大且比小又是无理数，解答出即可．
本题考查了实数大小的比较及无理数的定义，任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
13.【答案】
【解析】解：是的中点，
，
是等边三角形，
，，
，
连接，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
．
故答案为：．
先利用等边三角形的性质得到，，连接，再证和全等，进而可得，最后利用锐角三角函数进而可求出长，进而可得．
本题主要考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，连接，证和全等是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：取的中点，连接、、，
小正方形的边长为，
，
即，
由勾股定理得：，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
是的直径，半径，
，
，
，
，
的长是．
取的中点，连接、、，根据勾股定理求出和，根据勾股定理的逆定理求出，得出等腰直角三角形，求出，根据圆周角定理求出，求出，再根据圆周角定理求出，再根据弧长公式求出答案即可．
本题考查了弧长公式，圆周角定理，勾股定理及勾股定理的逆定理等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．如图作点关于的对称点，连接，由，推出，又是定值，即可推出当、、、共线时，定值最小，最小值；
【解答】
解：如图作点关于的对称点，连接，．
在中，，，
，
，
，
是定值，
当、、、共线时，定值最小，最小值，
的最小值为，
故答案为．
16.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
故原不等式组的解集为：；
．
【解析】利用解一元一次不等式组的方法进行求解即可；
先通分，把能分解的进行分解，除法转为乘法，最后约分即可．
本题主要考查分式的混合运算，解一元一次不等式组，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17.【答案】解：将甲种西瓜的得分从小到大排列处在中间位置的一个数是，
因此中位数是，即，
乙种西瓜的得分出现次数最多的是分，所以众数是，即，
故答案为：，；
由甲、乙两种西瓜得分的大小波动情况，直观可得，
乙种西瓜的得分较稳定，
故答案为：乙；
小明认为甲种西瓜的品质较好些，理由为：甲种西瓜得分的众数比乙种的高．
小军认为乙种西瓜的品质较好些，理由为：乙种西瓜得分的中位数比甲种的高且乙的得分方差小
【解析】本题考查频数分布表，中位数、众数、方差，理解中位数、众数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
根据中位数、众数的意义求解即可；
根据数据大小波动情况，直观可得答案；
从中位数、众数的比较得出答案．
18.【答案】解：如图所示，点即为所求；
如图，设线段的垂直平分线交于，
，，
，
，
，
点的坐标为，
，
过作轴于，连接，
则四边形是矩形，
，
，
，
，
反比例函数解析式为；
，，
，
设则，
点，在的图象上，
，
，
，
，
．
【解析】根据题意作出图形即可；
如图，设线段的垂直平分线交于，根据勾股定理得到，过作轴于，根据矩形的性质得到，求得，于是得到结论；
设则，根据点，在的图象上，列方程得到，根据勾股定理得到．
本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征．
19.【答案】证明：为的直径，
，
，
点是的中点，
．
在与中，
，
≌；
解：点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
．
设，则，．
在中，，
．
在中，，
，
．
在中，，
，
，
解得，，
．
【解析】首先根据圆周角定理得出，那么，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出然后利用证明≌；
首先证明是的中位线，根据中位线定理得出设，则，在中利用勾股定理得出在中利用勾股定理得出，那么在中利用勾股定理列出方程，解方程求出，进而得到的长．
本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定，三角形中位线定理，勾股定理等知识，难度适中．掌握各定理与性质是解题的关键．
20.【答案】解：由题意可得，，
设，在中，，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
答：古树的高度约为；
第二小组的测量方案得到的结果更加准确，理由如下：
第一小组测量的只是测角仪所在位置与古树底部边缘的最短距离，不是测量测角仪所在位置与古树底座中心的距离．
【解析】设，在中，，可得，在中根据锐角三角函数可得出的值，进而可得出结论；
第一小组测量的只是测角仪所在位置与古树底部边缘的最短距离，不是测量测角仪所在位置与古树底座中心的距离．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】 乙 甲
【解析】解：方式甲购买费用为元，购买费用为元，
方式乙购买费用为元，购买费用为元，
故答案为：，；，；
根据题意得：；
；
按方式甲购买水果的总费用和按方式乙购买水果的总费用相同，
，
解得，
故答案为：；
当时，按方式甲购买水果的总费用，
按方式乙购买水果的总费用，
，
按方式乙的方式购买水果的总费用少；
故答案为：乙；
当购买水果的总费用为元，按方式甲购买水果，
购买水果的总费用为元，按方式乙购买水果，
，
按方式甲的方式购买水果的质量多，
故答案为：甲．
方式甲购买费用等于购买质量乘以，方式乙购买，费用为购买质量乘以再加上租车费用，列式计算可得答案；
根据甲购买费用等于购买质量乘以，方式乙购买，费用为购买质量乘以再加上租车费用得：；；
根据按方式甲购买水果的总费用和按方式乙购买水果的总费用相同，列方程，可解得答案；
当时，算出两种购买方式的费用，比较即可得答案；
当购买水果的总费用为元，分别算出两种方式购买的质量，再比较即可．
本题考查一函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
22.【答案】解：直线与抛物线的对称轴交于点，
故抛物线的对称轴为，
即，
解得：；
由得二次函数的解析式为，
把代入并解得或，
故点、的坐标分别为、，则，
四边形为平行四边形，
，故，
又，，，
故，．
或，
由，解得；
由，解得．
【解析】抛物线的对称轴为，即，解得：，即可求解；
求出点、的坐标分别为、，则，而四边形为平行四边形，则，故，即可求解．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
23.【答案】问题背景
证明：∽，
，，
，，即，
∽；
尝试应用
解：如图，连接，
，，
∽，
由知∽，
，，
在中，，
，
．
，，
∽，
；
拓展创新
．
【解析】问题背景
见答案；
尝试应用
见答案；
拓展创新
解：如图，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，
，，
，
，
，
，
又，
∽，
，
又，
，
即，
∽，
，
，
，
，
．
问题背景
由∽得，，则，，即可证得结论；
尝试应用
连接，证明∽，由知∽，由相似三角形的性质得出，，可证明∽，得出；
拓展创新
过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，证明∽，得出，再证明∽，得出，则，，．
本题是相似三角形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
第1页，共1页
