2023年广东省阳江市阳春市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若收入元记为，则支出元记为( )
A. B. C. D.
2. 下列几何图形中，对称轴条数最少的是( )
A. 等边三角形 B. 矩形 C. 正方形 D. 圆
3. 下列事件中，属于必然事件的是( )
A. 抛掷硬币时，正面朝上
B. 经过红绿灯路口，遇到红灯
C. 明天太阳从东方升起
D. 玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”
4. 如图，直线，点、分别在、上，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
5. 估计的值在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
6. 下列计算错误的是( )
A. B. C. D.
7. 一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是( )
A. B. C. D.
8. 已知，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
9. 若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形的两条对角线，一定是( )
A. 互相平分 B. 互相平分且相等 C. 互相垂直 D. 相等
10. 如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______ ．
12. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
13. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，该物体承受的压强的值为 ．
14. 如图，的弦，相交于点若，，则 ______
15. 已知二次函数在时，取得的最大值为，则的值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
先化简，再求值，其中．
17. 本小题分
如图，是等边三角形，、在直线上，求证：．
18. 本小题分
为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间单位：分钟按照完成时间分成五组：组“”，组“”，组“”，组“”，组“”将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图；
在扇形统计图中，组的圆心角是______度，本次调查数据的中位数落在______组内；
若该校有名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过分钟的学生人数．
19. 本小题分
一艘渔船从位于海岛北偏东方向，距海岛海里的处出发，以每小时海里的速度沿正南方向航行．已知在海岛周围海里水域内有暗礁．参考数据：，，
这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
渔船航行小时后到达处，求，之间的距离．
20. 本小题分
某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是千米小时，轿车行驶的速度是千米小时．
求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？
如图，图中，分别表示大巴、轿车离开学校的路程千米与大巴行驶的时间小时的函数关系的图象．试求点的坐标和所在直线的解析式；
假设大巴出发小时后轿车出发追赶，轿车行驶了小时追上大巴，求的值．
21. 本小题分
如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交于点．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
22. 本小题分
有一张矩形纸片，其中，，现将短形纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为点、是折痕与矩形纸片的边的交点，再将纸片还原．
当点与点重合时， ______ ，当点与点重合时， ______ ；
如图，若点为的中点，求的长；
如图，若点落在矩形的外部，点与点重合，点在上，与交于点，当时，请求出的长．
23. 本小题分
已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过点，点在抛物线上，设点的横坐标为．
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
如图，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点的坐标；
如图，若点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：若收入元记为，则支出元记为，
故选：．
根据正负数的意义可得收入为正，收入多少就记多少即可．
本题考查正、负数的意义；在用正负数表示向指定方向变化的量时，通常把向指定方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数．
2.【答案】
【解析】解：等边三角形由三条对称轴，矩形有两条对称轴，正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴，
所以对称轴条数最少的是矩形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】
【解析】解：、抛掷硬币时，正面朝上，是随机事件，故A不符合题意；
B、经过红绿灯路口，遇到红灯，是随机事件，故B不符合题意；
C、明天太阳从东方升起，是必然事件，故C符合题意；
D、玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”，是随机事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由题意得：，
，
，，
，
，
．
故选：．
由题意可得，则有，从而可求得的度数，再由平行线的性质即可求．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是明确平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
5.【答案】
【解析】解：，
，
则的值在和之间，
故选：．
估算确定出范围即可．
此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、，本选项计算正确，不符合题意；
B、，本选项计算正确，不符合题意；
C、，本选项计算正确，不符合题意；
D、，本选项计算错误，符合题意；
故选：．
根据绝对值、同底数幂的乘法、负整数指数幂、分式的性质、幂的乘方法则计算，判断即可．
本题主要考查的是绝对值、同底数幂的乘法、负整数指数幂、分式的性质、幂的乘方计算法则，掌握相关的运算法则是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解．
本题考查了多边形的内角和外角，熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
．
又，
．
故选：．
由题意，对已知条件去括号得，再对所求代数式适当变形，运用整体思想即可得解．
本题考查了多项式的变形，解题时要会运用整体的思想进行求值是关键．
9.【答案】
【解析】解：，，，分别是边，，，的中点，
，，，，，
，，
四边形是平行四边形，
假设，
，，
则，
平行四边形是菱形，
即只有具备即可推出四边形是菱形，
故选：．
根据三角形的中位线定理得到，，，要是四边形为菱形，得出，即可得到答案．
本题主要考查对菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】解连接，，
、分别与相切于点、，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，，根据切线长定理，圆周角定理，锐角三角函数解答即可．
本题主要考查了切线长定理，圆周角定理，三角函数，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：根据题意得，，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得，即
解得．
故答案为：．
根据判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
13.【答案】
【解析】
【分析】
设，把代入得到反比例函数的解析式，再把代入解析式即可解决问题．
本题考查反比例函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法解决问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：设，
函数图象经过，
，
，
当时，物体所受的压强，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
先根据圆周角定理求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：二次函数，
抛物线的对称轴为，顶点，
当时，，
当时，，
解得或，
当时，的最大值为，
，
故答案为：．
先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出时，的值，再根据二次函数的性质得出答案．
本题考查的是二次函数的最值，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键．
16.【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【解析】利用分式的运算法则将分式化简后代入的值计算即可．
本题考查分式的化简求值，利用运算法则进行正确的分式化简是解题的关键．
17.【答案】证明：是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】要证明，只要证明≌即可，根据等边三角形的性质和可以证明≌，本题得以解决．
本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是证明≌．
18.【答案】，
补全的条形统计图如图所示：
；；
人，
答：估计该校每天完成书面作业不超过分钟的学生有人．
【解析】解：这次调查的样本容量是：，
组的人数为：人，
故答案为：；
在扇形统计图中，组的圆心角是：，
本次调查了个数据，第个数据和个数据都在组，
中位数落在组，
故答案为：；；
见答案．
根据组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据统计图中的数据，可以计算出组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组；
根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过分钟的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：
作于，如图：
则，
由题意得：，，
，
，
这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；
由得：，，
，
，
在中，海里；
答：，之间的距离约为海里．
【解析】作于，由题意得，，则，根据勾股定理求出，即可得出结论；
由得，，求出，由勾股定理求出即可．
本题考查的是勾股定理的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
20.【答案】解：设轿车出发后小时追上大巴，
依题意得：，
解得．
轿车出发后小时追上大巴，
此时，两车与学校相距千米，
答，轿车出发后小时追上大巴，此时，两车与学校相距千米；
轿车出发后小时追上大巴，此时，两车与学校相距千米，
大巴行驶了小时，
，
由图象得，
设所在直线的解析式为，
，
解得，
所在直线的解析式为；
依题意得：，
解得．
的值为．
【解析】设轿车出发后小时追上大巴，根据题意列出方程即可求解；
由图象及的结果可得，，利用待定系数法即可求解；
根据题意列出方程即可求出的值．
本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，解决本题的关键根据函数图象解决问题，充分利用数形结合思想．
21.【答案】证明：如图，
连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：如图，连接，
，
设，，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
为直径，
，
，
∽，
，
，
，，
，，
，，
连接，则，
，
∽，
，
，
，
，
，
，，
在中，根据勾股定理得，，
的半径为．
【解析】连接，进而判断出，即可得出结论；
设，，进而表示出，再判断出∽，得出比例式，进而表示出，，再判断出∽，得出比例式建立方程求出，最后根据勾股定理求出，即可求出答案．
此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．
22.【答案】
【解析】解：当点与点重合时，如图，
是的中垂线，
，
当点与点重合时，如图，
此时；
故答案为：，；
如图中，设交于点．
在中，，，，
，
，
，，
∽，
，
，
，
；
如图，连接，
，，，
≌，
设，则，则，
，，
，
，
解得：，
．
当点与点重合时，如图，画出图形可得结论；当点与点重合时，如图，则平分；
如图中，设交于点利用相似三角形的性质求出可得结论；
如图，连接，证明≌，设，则，则，则有，，，在中，利用勾股定理构建方程求出即可．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想．
23.【答案】
【解析】解：将代入，
，
，
，
当时，，
解得或舍，
，
在直线上，
，
解得；
故答案为：；；；
作轴交于，
点横坐标为，
，
，，
在和中，
，，
，
∽，
，即，
，
解得舍或，
；
作轴交于，过点作轴交于，
，
轴，
，
，
∽，
，
，，，
，，
由∽，
，
，
，
当时，的最大值是．
用待定系数法求函数的解析式即可求解；
作轴交于，可求，，通过证明∽，利用，求的值即可求点坐标；
作轴交于，过点作轴交于，通过证明∽，求出，，再由∽，求出，则，即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
第1页，共1页
