2023年北师大版数学八年级下学期期末复习诊断卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
2．如图，在□ABCD中，CM⊥AD于点M，CN⊥AB于点N，若∠B=40°，则∠MCN=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．如图，将矩形纸片 沿直线 折叠，使点C落在 边的中点 处，点B落在点 处，其中 ，则 的长为（ ）
A． B．4 C．4.5 D．5
4．下列从左到右的变形是分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如果不等式组 的解集是 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在三边分别为4、4、6的等腰三角形中，底边上的高是（ ）
A．5 B．3 C．4 D．
7．如果把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（ ）
A．扩大20倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小为
8．如图，函数y=2x和y=ax+4的图像相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（ ）
A．x＞ B．x＜3 C．x＜ D．x＞3
9．已知 ，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．△ABC中，AB=AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于( )
A．67.5° B．22.5°
C．45° D．67.5°或22.5°
二、填空题（每空3分，共15分）
11．若分式 有意义，则 的取值范围是 .
12．因式分解：x3-4x=
13．如图将矩形 沿直线 折叠，顶点D恰好落在 边上F处，已知 ，则 ．
14．一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的内角和为 度.
15．代数式与代数式的值相等，则x＝ ．
三、作图题（共7分）
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A(-3，4)，B(-5，1)，C(-1，2).
⑴画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
⑵画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标.
四、解答题（共6题，共48分）
17．（1）解方程组：；
（2）解不等式组：
18．以下是小明化简分式 的过程．
解：原式
①
②
③
④
（1）小明的解答过程在第 步开始出错；
（2）请你帮助小明写出正确的解答过程，并计算当 时分式的值．
19．如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接，．
（1）的长为 ，的长为 ；的长为 ，的长为 （用含t的代数式表示）；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
20．我们称使方程 成立的一对数x，y为“相伴数对”，记为（x.y）.
（1）若（4，y）是“相伴数对”，求y的值；
（2）若（a，b）是“相伴数对”，请用含b的代数式表示a；
21．某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元．
（1）第一批笔记本每本进价多少元？
（2）王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于48元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？
22．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N．
（1）如图①，若∠BAC=110°，求∠EAN的度数；
（2）如图②，若∠BAC=80°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC=α(α≠90°)，直接写出∠EAN的大小(用含α的代数式表示)．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【分析】中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，因此符合的是选项C。故选C.
2．【答案】A
【解析】【解答】∵AD∥BC, ，CM⊥AD,∴∠BCM=90°.
∵CN⊥AB, ∠B=40°，∴∠BCN=50°.
∴∠MCN=∠BCM-∠BCN=90°-50°=40°.
故答案为：A.
【分析】先依据直角三角形的性质可得到∠BCN=50°，然后依据平行线的性质可得到∠BCM=∠DMC=90°，最后，再依据∠MCN=∠BCM-∠BCN求解即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得： ，
点C落在 边的中点 处， ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
故答案为：D.
【分析】先由折叠的性质可得 ，由 ，设 ，则 ，然后在 中利用勾股定理求解即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A、右边不是整式积的形式，故本选项不符合题意；
B、是整式的乘法且左右不相等，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、是因式分解，故本选项符合题意；
D、右边不是整式积的形式，括号内的字母x在分母上，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解对各选项分析判断即可．
5．【答案】B
【解析】【解答】∵不等式组 的解集是x＞5，
∴a≤5，
故答案为：B．
【分析】根据求解规律是：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解可得a≥5．
6．【答案】D
【解析】【解答】解：在三边分别为4、4、6的等腰三角形中，底边上的高是
故答案为：D
【分析】利用等腰三角形的性质及勾股定理求出高的长即可。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得： .
故分式的值不变.
故答案为：C.
【分析】根据题意把分式的x和y都扩大10倍，再根据分式的性质约分化简，即可作出判断.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：将点A（m，3）代入y=2x得，2m=3，
解得，m=
∴点A的坐标为（ ，3），
∴由图可知，不等式2x＜ax+4的解集为x＜
故答案为：C
【分析】将点A（m，3）代入y=2x得到A的坐标，再根据图形得到不等式的解集．
9．【答案】D
【解析】【解答】解：D选项中作的是AB的中垂线，
∴PA=PB，
∵PB+PC=BC，
∴PA+PC=BC
故答案为：D．
【分析】A、是以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交BC于点P，这样的作图只能保证BA=BP，即满足BC=BP+PC=BA+PC；B、根据图来看作的是AC的中垂线，根据中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出PA=PC，故只能保证BC=BP+PC=BP+PA； C、是以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交BC于点P，这样的作图只能保证CA=CP，即满足BC=BP+PC=CA+BP；B、根据图来看作的是AB的中垂线，根据中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出PA=PB，故能保证BC=BP+PC=AP+PC.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：①如图1，
当△ABC是锐角三角形时，
∵CD⊥AB，且△ADC为等腰三角形，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴ ，
又∵AB=AC，
∴ ，
∴ .
②如图2，当△ABC是钝角三角形时，
∵CD⊥AB，且△ADC为等腰三角形，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴ ，
又∵AB=AC，
∴ ，
∴ .
故
【分析】△ABC是等腰三角形，由AB边上的高为CD，则△ABC的顶角A是锐角或钝角，分两种情况画出图形求解即可.
11．【答案】
【解析】【解答】由题意得： ，
解得： ；
故答案为：
【分析】根据分式有意义的条件可得 ，再解不等式即可
12．【答案】x（x+2）（x-2）
【解析】【解答】解：x3-4x=x（x2-4）=x（x+2）（x-2）.
故答案为：x（x+2）（x-2）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式.
13．【答案】
【解析】【解答】解：根据折叠的性质， ，
在 中，由勾股定理得：
，
故答案是： ．
【分析】根据折叠的性质得到AD=AF=4，再利用勾股定理求出BF的长度即可。
14．【答案】720
【解析】【解答】解：∵多边形的每一个外角都等于60°，
∴它的边数为：360°÷60°＝6，
∴它的内角和：180°×（6﹣2）＝720°，
故答案为：720.
【分析】利用360°除以每个外角的度数可求出边数，然后根据多边形内角和公式进行求解.
15．【答案】7
【解析】【解答】解：∵代数式与代数式的值相等，
∴，
去分母
，
去括号号
，
解得，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
故答案为：7．
【分析】先求出，再解方程求解即可。
16．【答案】解：（1）△A1B1C1如下图，点B1的坐标为（5，-1）；（2）△A2B2C2如下图，点B2的坐标为（-1，-5）|
【解析】【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征：坐标符号相反，写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2.
17．【答案】（1）解：在中，
化简②得：③，
①×3得 9x－3y＝15 ④，
④－③得 4x＝8，
解得x＝2，
将x＝2代入①得 y＝1，
所以这个方程组的解是；
（2）解：解不等式①得 x≥8，
解不等式②，得，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为
所以原不等式组无解.
【解析】【分析】（1）由第二个方程可得5x-3y=7，减去第一个方程的3倍可得x的值，将x的值代入第一个方程中求出y的值，据此可得方程组的解；
（2）分别求出两个不等式的解集，取其公共部分可得不等式组的解集.
18．【答案】（1）②
（2）解：原式=
．
当 时，
【解析】【解答】解：（1）②，应该是 ．
【分析】根据分式的混合运算法则进行计算即可.
19．【答案】（1）5；10；t；2t
（2）解：能．理由如下：
∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴．
又，
∴四边形为平行四边形．
若使平行四边形为菱形，则需，
∵，，
∴．
根据，可得，解得.
即当时，四边形为菱形．
（3）解：①时，即有，如图，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，，
即：，；
②时，即有，如图，
在（2）已证明四边形为平行四边形，即，
∴，
在中，，，
∴，
∴在中，，
∴，
即： ，解得．
③时，此种情况不存在．
故当秒或4秒时，为直角三角形．
【解析】【解答】（1）∵在中，，，，
∴，
∴设，则，由勾股定理得，
，
得，
故，，
根据运动特点可知：，，
故答案为：，，，；
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，利用勾股定理列方程解之，进而求解可得答案；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质可得，，证明，可证四边形为平行四边形，若使平行四边形为菱形，则需，则，，．根据列方程解答即可；
（3）分为两种情况进行求解 ①时，即有，②时，即有 。
20．【答案】（1）解：∵（4，y）是“相伴数对”，
∴
解得y＝
（2）解：∵（a，b）是“相伴数对”，
∴
解得
【解析】【分析】 (1) 根据使方程 成立的一对数x ， y为"相伴数对"，记为 （x.y） ,将x换成4代入得出关于y的方程，然后解方程即可求解；
(2)结合(1)的理解，将x和y换成a和b , 代入后解关于a的一元一次方程，把a用含b的代数式表示即可.
21．【答案】（1）解：设第一批笔记本每本进价为元，则第二批每本进价为元
由题意得：
解之得：
经检验为原方程的解
答：第一批笔记本每本进价为8元．
（2）解：设剩余的笔记本每本最低打折，而第二批购进本，
由题意得：
解之得：
答：剩余的笔记本每本最低打七五折
【解析】【分析】（1）先求出 ，再解方程即可；
（2）根据 使第二批笔记本的销售总利润不少于48元， 列不等式即可。
22．【答案】（1）解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，∴∠BAE=∠B，
同理可得，C CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)，
在△ABC中，C B+∠C= 180°-∠BAC= 180°-110°= 70°，
∴∠EAN= 110°-70° = 40°．
（2）解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，∴∠BAE=∠B，
同理可得，∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C= 180°-∠BAC= 180°-80° = 100°，
∴∠EAN= 100°-80°= 20°．
（3）解：当0°<α<90°时，∠EAN= 180°-2α；
当90°
（2）同（1）的思路，最后根据 ∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC 代入数据进行计算即可；
（3）根据前两问的求解思路，分 0°<α<90° ， 90°
