2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共5页，150分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
4．下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
5．在的展开式中，x的系数为（ ）
A． B．40 C． D．80
6．已知抛物线的焦点为F，点M在C上．若M到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
7．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
8．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．刍甍是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF，四边形ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，和是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为，某学习小组为这个模型的轮廓安装灯带（不计损耗），则所需灯带的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列满足，则（ ）
A．当时，为递减数列，，使得时，
B．当时，为递增数列，，使得时，
C．当时，为递减数列，，使得时，
D．当时，为递增数列，，使得时，
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知函数，则____________．
12．已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．
13．已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________．
14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．
已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________．
15．设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是____________．
三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14分）如图，在三棱锥中，平面ABC，．
（I）求证：平面PAB；
（Ⅱ）求二面角的大小．
17．（13分）
设函数．
（I）若，求的值．
（Ⅱ）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（13分）
为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率．
（I）试估计该农产品价格“上涨”的概率；
（Ⅱ）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（Ⅲ）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
19．（15分）
椭圆的离心率为，点A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，．
（I）求E的方程；
（Ⅱ）设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线交于点N．求证：．
20．（15分）
设函数，曲线在点处的切线方程为．
（I）求a，b的值；
（Ⅱ）设函数，求的单调区间；
（Ⅲ）求的极值点个数．
21．（15分）
数列是两个m项的有穷数列，且．记分别为数列的前n项和，且．另记，
（I）若，求的值；
（Ⅱ）若，且，求；
（Ⅲ）证明：存在，使得．
