2023年江苏省九年级数学中考模拟题分项选编：全等三角形
一、单选题
1．（2023·江苏扬州·一模）一块三角形玻璃不慎碰破，成了四片完整碎片（如图所示），假如只带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅切一块与以前一样的玻璃，你认为下列说法正确的是（ ）
A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、4或2、3去就可以
C．带1、3或3、4去就可以 D．带1、4或2、4去就可以
2．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，求作一点P，使得∠BPC与∠A互补，甲、乙两人作法分别如下：
甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求.
乙：作BC的垂直平分线和∠BAC的平分线，两线交于P点，则P即为所求.
对于甲、乙两人的作法，下列叙述正确的是( )
A．两人皆正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．两人皆错误
二、填空题
3．（2023·江苏南通·统考一模）如图，D，E两点分别在上，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是_______．
4．（2023·江苏泰州·模拟预测）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长为_____．
三、解答题
5．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，和均为等腰三角形，，，，点D在线段上（与A，B不重合），连接．
(1)证明：．
(2)若，，求的长．
6．（2023·江苏南京·统考二模）如图，在和中，，，D、分别是BC、的中点，且．求证．
7．（2023·江苏苏州·统考三模）如图，，交于点，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
8．（2023·江苏南京·统考一模）如图，点D在上，点E在上，交于点P，，求证．
9．（2023·江苏南京·统考一模）如图，在中，．的顶点P，M，N分别在，，上运动，且，．
(1)求证；
(2)若，，则的取值范围是______；
(3)已知，，直接写出的取值范围（用含m，n的式子表示）．
10．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，与相交于点M．．
(1)求证：；
(2)求证：．
11．（2023·江苏无锡·一模）如图在和中，，，，连接，交于点M．
(1)如图1，当点B，C，D在同一条直线上，且时，可以得到图中的一对全等三角形，即____________；
(2)当点D不在直线BC上时，如图2位置，且．
①试说明；
②直接写出的大小（用含α的代数式表示）．
12．（2023·江苏淮安·统考一模）如图，点、、、在一条直线上，，，，请写出与之间的位置关系，并证明你的结论．
13．（2023·江苏泰州·统考二模）如图，点B、F、C、E在同一直线上，，，．求证：．
14．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知：如图，，，，相交于点，过点作，垂足为．求证：
(1)．
(2)．
15．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
(1)求证：△BDE≌△CDF；
(2)若AE=13，AF=7，试求DE的长．
16．（2023·江苏徐州·一模）（1）模型的发现：
如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，且B、C两点在直线l的同侧，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D，E．请直接写出DE，BD和CE的关系．
（2）模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若B，C两点在直线l的异侧，（1）的结论还成立吗？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明DE，BD和CE的关系，并证明．
（3）模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即∠BAC=∠1=∠2=，其中90＜＜180，（1）的结论还成立吗？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明DE，BD和CE的关系，并证明．
17．（2023·江苏南京·一模）如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的．请你说明其中的理由．
18．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，已知A，F，E，C在同一直线上，∥，∠ABE=∠CDF，AF=CE．求证：AB=CD．
19．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，在△ABC中，O为BC中点，BDAC，直线OD交AC于点E．
(1)求证：△BDO≌△CEO；
(2)若AC=6，BD=4，求AE的长．
20．（2023·江苏苏州·一模）如图，已知AB=CD，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF=CE．
(1)说明：△ABE≌△CDF；
(2)连接BC，若∠CFD=100°，∠BCE=30°，求∠CBE的度数．
21．（2023·江苏无锡·一模）如图，点C、D在线段AB上，且AC=BD，AE=BF，AE∥BF，连接CE、DE、CF、DF，求证：DE=CF．
22．（2023·江苏常州·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O；（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】根据全等三角形的判定方法，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、由1、2两块只能知道一个角相等，无法证明三角形全等，故选项不符合题意；
B、1、4两块知道两个角一个边，可以通过“”证明三角形全等，2、3两块只能知道一个角相等，无法证明三角形全等，选项不符合题意；
C、1、3两块知道两个角，无法证明三角形全等，选项不符合题意；
D、1、4两块知道两个角一个边，可以通过“”证明三角形全等，2、4两块，可以通过延长，还原三角形，选项符合题意；
故选：D
【点睛】此题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
2．A
【分析】甲：根据作图可得AB＝BP，利用等边对等角得：∠BAP＝∠APB，由平角的定义可知：∠BPC+∠APB＝180°，根据等量代换可作判断；
乙：利用角平分线的性质，作辅助线，证明Rt△BPG≌Rt△CPH（HL），可得∠BAC+∠BPC＝180°，作判断即可．
【详解】解：甲：如图1，∵AB＝BP，
∴∠BAP＝∠APB，
∵∠BPC+∠APB＝180°
∴∠BPC+∠BAP＝180°，
∴甲正确；
乙：如图2，过P作PG⊥AB于G，作PH⊥AC于H，
∵AP平分∠BAC，
∴PG＝PH，
∵PD是BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，
∴Rt△BPG≌Rt△CPH（HL），
∴∠BPG＝∠CPH，
∴∠BPC＝∠GPH，
∵∠AGP＝∠AHP＝90°，
∴∠BAC+∠GPH＝180°，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∴乙正确；
故选A．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质及基本作图．
3．或或（这三个条件中一个均可）
【分析】要使，已知，，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．
【详解】解：∵，，
添加：，
∴．
故答案为：或或（这三个条件中一个均可）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：．添加时注意：不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
4．
【分析】证出∠ACD＝∠DCB＝∠B，证明△ACD∽△ABC，得出AC:AB＝AD:AC，即可得出结果．
【详解】解：∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，
∴CD＝BD＝3，
∴∠B＝∠DCB，AB＝AD＋BD＝5，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB＝AD：AC，
∴AC2＝AD×AB＝2×5＝10，
∴AC＝
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)10
【分析】（1）由，得出，由证得；
（2）由（1）知：，得出，则．
【详解】（1）解：证明：，
，
在和中，
，
；
（2）由（1）知：，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
6．答案见解析
【分析】根据D、分别是BC、的中点得到，之后依据，，，即可判定，再根据，，，可判，由全等三角形的性质可得出结论．
【详解】证明：，分别是和△的中线，，
，
在和中，
，
（SSS），
，
在和中，
，
（SAS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是能证明出．
7．(1)见解析
(2)
【分析】（1）直接根据即可求证；
（2）根据三角形的内角和求出，根据得出，最后根据三角形的外角定理，即可求解．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
8．见解析
【分析】根据证明可得，从而可得，再根据即可得到结论
【详解】证明：在和中，
∵．
∴．
∴，
∴，
即．
在和中，
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有．
9．(1)见详解
(2)
(3)
【分析】（1）先根据已知条件证明，再证明即可；
（2）先根据由（1）中，得，再根据点在上运动，，再根据，即可求出的取值范围；
（3）方法同（2）．
【详解】（1）
证明：在中 ，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：由（1）可知：，
，
，，点在上运动，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：由（1）可知：，
，
，，点在上运动，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，不等式的应用，动点问题，利用动点问题求出线段的取值范围是本题的关键．
10．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证明，由全等三角形的性质可得，然后根据可得，最后根据等量代换即可证明结论；
（2）直接运用全等三角形对应角相等的性质即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解答本题的关键．
11．(1)，
(2)①见解析；②∠EMD=α
【分析】（1）由“SAS”可证；
（2）①由“SAS”可证，可得，
②由全等三角形的性质可得，由三角形的内角和定理可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：，；
（2）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
12．，证明见解析
【分析】根据，可得，可证明，从而得到，即可．
【详解】解：，证明如下：
∵，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线的判定定理以及三角形全等的判定定理和性质定理，找到图形中的全等三角形是解题的关键．
13．证明见解析
【分析】先证明，，然后利用证明，即可证明．
【详解】证明：∵，
∴即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
14．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，则，根据等腰三角形的性质可得出结论．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴
（2）证明：∵
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)DE=3
【分析】（1）利用中点性质可得BD=CD，由平行线性质可得∠DBE=∠DCF，再由对顶角相等可得∠BDE=∠CDF，即可证得结论；
（2）由题意可得EF=AE-AF=6，再由全等三角形性质可得DE=DF，即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE=∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：∵AE=13，AF=7，
∴EF=AE-AF=13-7=6，
∵△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，
∵DE+DF=EF=6，
∴DE=3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
16．（1）DE=BD+CE，理由见解答过程；
（2）（1）的结论不成立，BD=DE+CE，证明见解答过程；
（3）（1）的结论成立，证明见解答过程．
【分析】（1）证明△DAB≌△ECA，根据全等三角形的性质得到AE=BD，AD=CE，结合图形得出结论；
（2）同（1）的方法证明；
（3）同（1）的方法证明．
【详解】解：（1）DE=BD+CE，
理由如下：∵∠DAC=∠AEC+∠ACE，∠BAC=∠AEC=90°，
∴∠DAB=∠ECA，
在△DAB和△ECA中，
∴△DAB≌△ECA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AD+AE=BD+CE；
（2）、（1）的结论不成立，BD=DE+CE，
证明如下：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵CE⊥直线l，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠ACE，
在△BAD和△ACE中，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD=AE=AD+DE=DE+CE；
（3）、（1）的结论成立，
理由如下：∵∠DAC=∠2+∠ACE，∠BAC=∠2，
∴∠DAB=∠ECA，
在△DAB和△ECA中，
，
∴△DAB≌△ECA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AD+AE=BD+CE
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
17．见解析
【分析】利用三边对应相等的两个三角形全等，证得，再利用全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
即AP平分．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，从实际应用中抽象出数学问题是解题的关键．
18．见详解
【分析】根据全等三角形证明△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，
即AE=FC，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AB=CD．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定及性质，一般证明线段相等先大致判断两个线段所在三角形是否全等，然后再看证明全等的条件有哪些．
19．(1)见解析；
(2)AE的长为2．
【分析】（1）利用“AAS”即可证明△BDO≌△CEO；
（2）利用全等三角形的性质得到CE=BD=4，根据线段的和与差即可求解．
【详解】（1）证明：∵BDAC，O为BC中点，
∴∠D=∠CEO，OB=OC，
∵∠DOB=∠EOC，
∴△BDO≌△CEO (AAS)；
（2）解：∵△BDO≌△CEO，
∴BD=CE，
∵AC=6，BD=4，
∴CE=BD=4，
∴AE=AC-CE=6-4=2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
20．(1)见解析；
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质，得∠A=∠DCF，再根据全等三角形的性质分析，即可完成证明；
（2）根据（1）的结论，得∠AEB=∠CFD=100°；再根据三角形外角的性质计算，即可得到答案．
【详解】（1）∵AB∥CD，
∴∠A=∠DCF，
∵AF=CE，，
∴AE=CF
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB=∠CFD=100°
∵∠BCE=30°
∴∠CBE=100°-30°=70°．
【点睛】本题考查了全等三角形、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、三角形外角的性质，从而完成求解．
21．见解析
【分析】只要证明△ADE≌△BCF即可解决问题．
【详解】证明：∵AC=BD，
∴AC+CD=BD+CD，
即：AD=BC，
∵AE∥BF，
∴∠A=∠B，
∵AE=BF，
∴△ADE≌△BCF，
∴DE=CF．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
22．（1）见解析；（2）BC与⊙O相切，见解析.
【分析】（1）作出AD的垂直平分线交AB于O，再以O为圆心，AO长为半径画圆即可；
（2）连结OD，根据OA＝OD，可得∠OAD＝∠ODA，再证明OD∥AC，可得∠C＝∠BDO＝90°，进而得到直线BC与⊙O的位置关系．
【详解】解：（1）如图，⊙O为所求作的圆；
（2）BC与⊙O相切．连结OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠BDO＝90°，
∴BC与⊙O相切．
【点睛】本题考查了基本作图和角平分线的定义以及圆的切线的判定，属于基础性题目．
