2023年江苏省九年级数学中考模拟题分项选编：二次函数
一、单选题
1．（2023·江苏苏州·统考三模）定义：两个不相交的函数图象在平行于轴方向上的最短距离称为这两个函数的“完美距离”．抛物线与直线的“完美距离”为（ ）
A． B．3 C． D．
2．（2023·江苏南通·统考一模）二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到x轴距离为4，，则a的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
3．（2023·江苏宿迁·模拟预测）对于，，有以下两个结论：
①当时，；②当时，；③当时，；④时，，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②④
4．（2023·江苏盐城·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点与y轴相交于点，下列结论：①；②B点坐标为；③抛物线的顶点坐标为；④直线与抛物线交于点D、E，若，则m的取值范围是；⑤在抛物线的对称轴上存在一点P，使的周长最小，则P点坐标为．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
5．（2023·江苏泰州·统考二模）某学校航模组设计制作的火箭升空后离地面的高度与飞行时间满足函数关系式为．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面______m处打开．
6．（2023·江苏扬州·统考二模）老师给出了二次函数的部分对应值如下表，同学们讨论得出了下列结论：①抛物线的对称轴为直线；②是方程的一个根；③当时，；④若，是该抛物线上的两点，则．其中正确的是________．
x … 0 1 3 5 …
y … 7 0 7 …
7．（2023·江苏常州·统考二模）若二次函数的图象开口向下，则实数a的取值范围是______．
8．（2023·江苏无锡·统考三模）抛物线（，是常数且，）经过点．下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③点，在抛物线上，且，则④若，是方程的两个根，其中，则．其中正确的结论是______（填写序号）．
9．（2023·江苏徐州·模拟预测）把抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后该抛物线相应的函数表达式为___________．
10．（2023·江苏连云港·校考二模）已知关于x的二次函数y=mx2-2x+1，当时，y的值随x的增大而减小，则m的取值范围为________．
11．（2023·江苏连云港·统考二模）已知函数满足下列两个条件：①时，y随x的增大而增大：②它的图像经过点．请写出一个符合上述条件的函数的表达式______．
12．（2023·江苏扬州·统考二模）已知：二次函数的图象经过点、和，当时，y的值为__________．
13．（2023·江苏南京·统考二模）二次函数（是常数）的图象如图所示，则不等式的解集是______________．
14．（2023·江苏泰州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、分别是直线与坐标轴的交点，点，点是边上的一点，，垂足为，点在边上，且、两点关于轴上某点成中心对称，连接、．线段长度的最小值为__________．
三、解答题
15．（2023·江苏南通·统考二模）定义：在平面直角坐标系中，对于某函数图象上的一点P，先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度得到点Q，若点Q也在该函数图象上，则称点P为该函数图象的“n倍平点”．
(1)函数①；②；③中，其图象存在“2倍平点”的是_______（填序号）；
(2)若反比例函数，图象恰有1个“n倍平点”，求n的值；
(3)求函数图象的“3倍平点”的坐标．
16．（2023·江苏南通·统考一模）定义：若函数图象上存在点，，且满足，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数，当时，；当时，则函数的“域差值”为2
(1)点在的图象上，“域差值”，求m的值；
(2)已知函数，求证该函数的“域差值”；
(3)点为函数图象上的一点，将函数的图象记为W1，将函数的图象沿直线翻折后的图象记为当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时，求a的取值范围．
17．（2023·江苏扬州·统考二模）通过课本上对函数的学习，我们积累了研究函数性质的经验，以下是小明探究函数M：的图象和性质的部分过程，请按要求回答问题：
(1)列表，列出y与x的几组对应值如表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 0 3 0 a 0 3 …
表格中，______．
(2)在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出函数M的图象．
(3)观察图象，性质及其运用：
①当______时，y随x的增大而增大；
②求函数M：与直线l：的交点坐标；
③若函数M：与直线l：只有两个交点，请求出b的取值范围．
18．（2023·江苏无锡·统考二模）已知：在矩形中，，，点P是边上的一个动点，将矩形折叠，使点B与点P重合，点A落在点G处，折痕为．
(1)如图1，当点P与点D、C均不重合时，取的中点O，连接并延长与的延长线交于点M，连接、、．
①求证：四边形是平行四边形；
②当时，求四边形的面积．
(2)如图2，设，用含t的式子表示四边形的面积S，并求出S的最大值及此时t的值．
19．（2023·江苏南京·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)该抛物线经过一个定点：______(写出坐标)；
(2)点是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最小值N．
①若，求k的值；
②若，结合该抛物线，直接写出N的取值范围．
20．（2023·江苏宿迁·统考二模）定义：若一个函数图象上存在到坐标轴距离相等的点，则称该点为这个函数图象的“等距点”．例如，点和是函数图象的“等距点”．
(1)判断函数的图象是否存在“等距点”？如果存在，求出“等距点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)设函数图象的“等距点”为A、B，函数图象的“等距点”为C，若的面积为时，求函数的表达式；
(3)若函数图象恰存在2个“等距点”，试求出m的取值范围．
21．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．
(1)求点、、的坐标（用数字或含的式子表示）；
(2)当的最小值等于时，求的值及此时点的坐标；
(3)当取（2）中的值时，若，请直接写出点的坐标．
22．（2023·江苏苏州·统考三模）如图，拋物线（a是常数且）与轴交于点，两点（点位于点右侧），与轴交于点，点为拋物线的顶点，且点的坐标为，连接，，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点为抛物线上的点，连接，当时，求点的坐标；
(3)若在轴上总存在一点，且点的横坐标为，当时，直接写出的取值范围．
23．（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．
(1)试求出点B的坐标．
(2)分别求出直线和抛物线的解析式．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上存在点D，使原点O关于的对称点E恰好在直线上，请求出D点的坐标；
(3)若点P是对称轴上一点，点Q是抛物线上一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，函数的图像经过点，．
(1)求、满足的等量关系式；
(2)设抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为，连接，，，．当时，求该二次函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，当时，函数的最大值是______；最小值是______．设函数在内的最大值为，最小值为，若，求的值．
26．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，已知抛物线M交x轴于与两点，交y轴于点，点在抛物线上运动．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)是否存在点（在上方），使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2023·江苏无锡·统考二模）定义：经过函数图像上的一点作x轴的平行线，将平行线上方的图像沿平行线向下翻折形成新的函数图像，我们把满足这种情况的函数图像称为经过这一点的“折叠函数”．
【基本应用】
(1)如图，点、、均在直线l上．
①请使用无刻度的直尺和圆规作出经过点C的“折叠函数”与x轴的交点D（异于点A）；
②求出经过点A、C、D的二次函数表达式；
(2)在（1）的条件下，点为二次函数图像上一动点，若经过点P的“折叠函数”与x轴至少有3个交点，求a的取值范围．
【创新应用】
(3)如果反比例函数的图像上有一点，则经过点M的“折叠函数”与x轴的交点坐标为________．
28．（2023·江苏南通·统考二模）定义：在平面直角坐标系中，若函数图象上的点满足（其中，a为常数），则称点P为函数图象的“a级和点”．
(1)若点为反比例函数图象的“1级和点”，则______，______；
(2)若时，直线上有“a级和点”，求k的取值范围；
(3)若抛物线的“a级和点”恰有一个，求a的取值范围．
29．（2023·江苏无锡·统考二模）网络直销相对于传统直销而言，没有地域限制且市场可期待值高，因而一些传统商家开始向线上转型．某商家通过“直播带货”，一季度实物商品网上零售额因此得以逆势增长．若该商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）（）满足如图所示的函数关系，设销售这种商品每天的利润为w（元）．
(1)当销售单价为32元时，此时商品每天的销售量为________；
(2)求w与x之间的函数关系式；
(3)若每天至少销售120件，且销售单价不低于18元时，求每天所获利润w的取值范围．
30．（2023·江苏南通·统考二模）某建筑工程队借助一段废弃的墙体，长为18米，用76米长的铁栅栏围成两个相连的长方形仓库，为了方便取物，在两个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，现有如下两份图纸（图纸1点A在线段DC的延长线上，图纸2点A在线段DC上），设米，图纸1，图纸2的仓库总面积分别为平方米，平方米．
(1)分别写出与x的函数关系式；
(2)小红说：“的最大值为384．的最大值为507．”你同意吗？请说明理由．
31．（2023·江苏淮安·统考二模）某网店专门销售某种品牌的笔筒，成本为元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图，其中规定每天笔筒的销售量不低于件．
(1)写出y与x之间的函数关系式______；
(2)当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
32．（2023·江苏无锡·统考三模）某商品的进价是每件40元，原售价每件60元．进行不同程度的涨价后，统计了商品调价当天的售价和利润情况，以下是部分数据：
售价（元/件） 60 61 62 63 …
利润（元） 6000 6090 6160 6210 …
(1)当售价为每件60元时，当天可售出______件；当售价为每件61元时，当天可售出______件．
(2)若对该商品原售价每件涨价x元（x为正整数）时当天售出该商品的利润为y元．
①用所学过的函数知识直接写出y与x之间满足的函数表达式：______．
②如何定价才能使当天的销售利润不低于6200元？
参考答案：
1．A
【分析】先判断抛物线与直线无交点，再根据定义和二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由得，
∵，
∴方程没有实数根，
∴抛物线与直线不相交，
设
，
∵，
∴当时，w有最小值为，
即抛物线与直线的“完美距离”为，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质、一元二次方程根的判别式，理解题中定义，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
2．D
【分析】作轴，交x轴于点D，设A、B两点横坐标为x1和x2，设点，根据勾股定理进行线段之间的转换，列出方程，再根据韦达定理，即可解答．
【详解】
解：如图，作轴，
设A、B两点横坐标为x1和x2，设点，
轴，
，
，
，
，
，
整理得，，
二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，
是的解，
，
，
，
∵点在抛物线上，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的关系式与系数的关系，结合题意绘图解答是解题的关键．
3．D
【分析】令，则，令，解得，，则二次函数的图象开口向上，与轴的交点的横坐标为和，根据当时，和当时，并判断当、时的的取值范围，即可得出答案．
【详解】解∶令，则，
∴，
∵令，解得，，
∴的图象开口向上，与轴的交点的横坐标为和，如图：
∴当时，即时，，
当时，即时，或，
∴①②④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用二次函数的图象判断一元二次不等式的解集的问题，令，并根据二次函数的图象判断当、时的的取值范围是解答本题的关键．
4．A
【分析】代入点的坐标求出抛物线解析式即可判断①；把抛物线解析式化为顶点式，求出顶点坐标和对称轴即可判断②③；设且，联立得，则，求出，再由，求出，即可判断④；根据轴对称的性质可得当三点共线时，最小，即的周长最小，求出直线的解析式为，则可求出P点坐标为，即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴相交于点，
∴可得：，
∴，故①正确；
∴抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，故③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，
∴由对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为，故②正确；
设且，
联立得，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
连接交对称轴于点T，连接，
由对称性可知，，
∴的周长，
∴当三点共线时，最小，即的周长最小，此时点P与点T重合，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴P点坐标为，故⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②④⑤，共有4个．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系等等，熟练记忆理解二次函数相关性质和充分利用数形结合思想是解题的关键．
5．37
【分析】把二次函数配方为顶点式，写出最大值解题即可．
【详解】解：
∵，
∴点火升空的最高点距地面，
故答案为：37．
【点睛】本题考查二次函数的最值，运用配方法配成顶点式是解题的关键．
6．①②③
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：①由表格可知：抛物线的对称轴为直线，故此选项正确；
②当时，，则是方程的一个根，故此选项正确；
③由表格可得：抛物线开口向上，由对称得：抛物线与x轴的另一个交点为，所以当时，，故此选项正确；
④抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大，若，是该抛物线上的两点，分两种情况：当A与B在对称轴左侧时，则，当A与B在对称轴右侧时，则，故此选项不正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．
【分析】根据二次函数的图象开口向下，可得．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质和定义，解题的关键是明确二次函数的开口向下，则二次项系数就小于0．
8．①②④
【分析】①：根据函数图象经过点的意义，只要得到即可；
②：由①得，结合判断出的正负即可；
③：特值法，取时也符合题意，从而可得到结论；
④：将两个根转化为交点的横坐标，画出图象即可判断．
【详解】解： 抛物线经过点，
，
，
当时，，
，
该抛物线一定经过，故此项正确．
②由①得：，
，
，
，
，
，
．故此项正确．
③抛物线的对称轴为直线，
当时，，，
，
，
也符合题意与矛盾，故此项错误．
④，是方程的两个根，
，是抛物线与直线交点的横坐标，
，
如图：
由图得：．故此项正确．
故答案：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键．
9．
【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出，再展开整理即可．
【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，
∴平移后的抛物线顶点坐标为，
∴平移后抛物线的表达式．
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
10．0＜m≤5
【分析】根据对称轴的左侧的增减性，可得m＞0，根据增减性，可得对称轴大于或等于，可得答案．
【详解】解：由当x＜时，y的值随x的增大而减小可知，抛物线开口向上，m＞0，
且对称轴，
解得m≤5，
故答案为：0＜m≤5．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的增减性得出抛物线的开口方向且是解题的关键．
11．（答案不唯一）
【分析】根据常见的几种函数：一次函数，反比例函数和二次函数的图像和性质写出一个符合上述条件的函数的表达式即可．
【详解】解：若选择二次函数，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴二次函数开口向上，即，
∵它的图像经过，
∴二次函数可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，掌握常见函数的图像和性质是解题的关键．
12．3
【分析】根据题意可得交点式，然后把代入求出a值，即可求出二次函数表达式．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点、
∴抛物线的解析式为，
把代入得：，解得：，
∴函数的解析式为，
即，
∴当时，，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
13．或
【分析】利用图象法解不等式即可．
【详解】解：∵，
∴，
将不等式转化为两个函数：与的交点问题，
由图可知：点在抛物线，
又∵满足直线的解析式，
∴两个函数的交点坐标为：，
由图象可知：当或时，，
∴不等式的解集是或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查图象法求不等式的解集．解题的关键是将不等式转化为二个函数图象交点的问题，利用数形结合的思想进行求解．
14．
【分析】过点F，D分别作垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明，由全等三角形的性质得出，可求出，根据勾股定理得出，由二次函数的性质可得出答案；
【详解】过点F，D分别作垂直于y轴，垂足分别为G，H，
则，
记交y轴于点K，
∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直线的解析式为，
∴时，，
∴，
又∵，
设直线的解析式为
∴，
解得=，
∴直线的解析式为，
过点F作轴于点R，
∵D点的横坐标为m,
∴，
∴，
∵，
∴，
令，得，
∴．
∴当时，l的最小值为8，
∴的最小值为．
【点睛】待定系数法，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直角三角形的性质等知识．
15．(1)②
(2)
(3)或
【分析】（1）根据函数图象的“n倍平点”的定义逐个进行判断即可；
（2）设，则，把代入得，根据图象恰有1个“n倍平点”，得出，即可求出答案；
（3）当时，，当时，，分两种情况，根据函数图象的“n倍平点”的定义分别计算即可得出结论．
【详解】（1）当时，
①设，则，
当时，，
∴点不在的图象上．
∴该函数图象不存在“2倍平点”．
②设，则，
当时，，
∴点在的图象上．
∴该函数图象存在“2倍平点”．
③设，则，
当时，，
∴点不在的图象上．
∴该函数图象不存在“2倍平点”．
故答案是②；
（2）设，则，
把代入得，
，即，
∵图象恰有1个“n倍平点”，
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）当时，，
设，则，
把代入得，
，
解得：，
∴，．
∴，．
当时，，
设，则，
把代入得，
，
解得：，
∴，．
∴，．
综上所述，函数图象的“3倍平点”的坐标是或．
【点睛】本题主要考查了新定义，正确理解新定义：函数图象的“n倍平点”是解题的关键．
16．(1)或
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由题意得到的值，再由，列方程解答，即可；
（2）设函数图象上存在点，且满足，，可得，再利用不等式的性质即可得出，即；
（3）当两部分组成的图象上所有的点满足“域差值”时，则，可得，对于函数的图象沿直线翻折后的图象即为：，利用对称性可得，即可解答．
【详解】（1）解：∵点，在的图象上，
∵“域差值”，
，
即，
整理，得：，
解得：，，
经检验，，均是方程的解，
∴m的值为或；
（2）证明：设函数图象上存在点，且满足，
当时，，
当时，，
，
，
，
，
即，
故该函数的“域差值”；
（3）
解：∵点为函数图象上的一点，
，
由（2）得：，
当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时，
则，
解得：，
∴如图，当时，函数的图象上所有的点都满足“域差值”．
对于函数的图象沿直线翻折后的图象记为，
可得：，
∴．
【点睛】本题是函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，数形结合思想，解题的关键是正确理解题意并运用新定义解决问题．
17．(1)
(2)图象见解析
(3)①或；②；③或
【分析】（1）由时，，即可得到答案；
（2）经过描点，连线，即可得到函数图象；
（3）①观察图象可知当或时，y随x的增大而增大，即可得到解答；
②分和两种情况，解二次函数函数和一次函数联立得到的方程组，即可得到答案；
③结合图象，分析讨论，即可得到b的取值范围．
【详解】（1）解：当时，，
即，
故答案为：
（2）图象如下：
（3）①由图象可知，当或时，y随x的增大而增大；
故答案为：或
②当时，由解得或，
当时，由解得（不合题意，舍去）或，
∴函数M：与直线l：的交点坐标为；
③如图，当直线l：经过点时，即，解得，
此时函数M：与直线l：只有1个交点，
当时，且函数M：与直线l：相切时，此时函数M：与直线l：恰有3个交点，
由，即有两个相等的实数根，
得到，解得，
∴当时，函数M：与直线l：只有两个交点，
当直线l：经过点时，即，解得，
此时函数M：与直线l：恰有三个交点，
∴由图象可知，当时，函数M：与直线l：只有两个交点，
综上可知，若函数M：与直线l：只有两个交点，b的取值范围是或．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一次函数的交点等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
18．(1)①见解析；②四边形的面积为7.5；
(2)，当时，．
【分析】（1）①利用折叠对应图形全等得到平行，再由中点得出等边便可以求出全等三角形，即可得到四边形对角线互相平分，得证四边形为平行四边形；
②通过折叠得到折痕垂直平分对应点连线，将已知三角函数的角转换到可计算的直角三角形中，计算求出，再设元利用勾股定理方程求出平行四边形的底，最后用平行四边形面积公式求解即可；
（2）为方便计算将梯形的上底和下底设未知数，通过各个直角三角形勾股定理列出方程，用t表示出上底和下底，最后用梯形面积公式表示出S，用配方法求出最大值即可．
【详解】（1）①矩形，
，
由折叠可知，仍有，
，，
又为中点，
，
≌，
，
与互相平分，
四边形是平行四边形．
②连接，交于点N，
矩形沿折叠，点B与点P重合，
，，
又，
，
，
，
，
，
设，
中得：
，
解得，
又，
；
（2）连接、、，
四边形中，设，，
在中，，
得，
，
由折叠可知，
在与中：，
得，
，
，
故当时可取，此时四边形的面积最大为．
【点睛】本题考查矩形中折叠问题，需要利用折叠对应图形全等，折痕垂直平分对应点连线的性质．在几何计算中，设元和消元是常用的简化方法．在条件较多复杂构图的几何证明和计算中须理清楚目标，转化为一个个具体的边长和角度的推导，可帮助理清思路．
19．(1)
(2)①2；②
【分析】（1）将变形成，再令可求出的值，从而推出定点坐标；
（2）①将配成顶点式，从而求出N与k的关系式，令n=3，求解关于k的方程即可；
②将看成自变量的取值范围，利用N与k的关系式求N的范围即可．
【详解】（1）解：
令，则
∴定点的坐标是
故答案为：；
（2）①
∵当点P在抛物线上运动时，n存在最小值N，
∴
令，则
解得：
即k的值为2；
②，，对称轴为直线，
(i)当时，N随着x的增大而增大，
令，则，令，则
∴
(ii)当时，N随着x的增大而减小，
令，则，令，则
∴
综上所述：N的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，定点的求法，将二次函数解析式由一般式化为顶点式等知识，掌握二次函数的图象与性质和最值的求法是解题的关键．
20．(1)存在，或或
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据题中“等距点”的定义列出方程求解即可；
（2）先求出反比例函数及一次函数图象上的“等距点”，然后由三角形面积列出方程求解即可；
（3）根据“等距点”列出一元二次方程，再由题意中恰好有2个“等距点”，利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】（1）解：存在“等距点”
令，
解得，
∴函数的图象上有两个“等距点”或
令，
解得，
∴函数的图象上有两个“等距点”或．
综上所述，函数的图象上有三个“等距点”或或
（2）令，
解得，
则，
∴
令，
解得，则，
∴，
∵，
∴
即，
解得，
∴或，
（3）令，整理得，．
当或时，
此时在一、三象限有2个“等距点”．
令，整理得，
当或时，
此时在二四象限有2个“等距点”．
∵函数图象恰存在个“等距点”
∴或．
【点睛】题目主要考查新定义题型的理解，包括一次函数，二次函数及反比例函数，理解题意是解题关键．
21．(1)，，
(2)，
(3)点坐标为或
【分析】（1）将，，分别代入，计算求解即可；
（2）如图1，连接，由题意知，，则，可知当三点共线时，值最小，在中，由勾股定理得，由的最小值等于，可得，计算的值，然后得出的点坐标，待定系数法求直线的解析式，根据是直线与直线的交点，计算求解即可；
（3）由（2）知，则，，抛物线的对称轴为直线，勾股定理逆定理判断是直角三角形，且，记为直线与轴的交点，如图2，连接，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，即与重合，求此时的点坐标；过三点作，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为， 则，根据，可求值，根据，可求值，进而可得此时的点坐标．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，整理得，即，
解得，，
∴，，，
（2）解：如图1，连接，
由题意知，，
∴，
∴当三点共线时，值最小，
在中，由勾股定理得，
∵的最小值等于，
∴，
解得，
∴，，
∴抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，；
（3）解：∵，
∴，，抛物线的对称轴为直线，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
记为直线与轴的交点，如图2，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与重合，即；
过三点作，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，
由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为， 则，
∵，即，
解得，
∵，即，
解得，，
∴，
综上，点坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数与线段、角度综合，二次函数的图象与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
22．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）将点代入，求出a的值，即可得出该抛物线的表达式；
（2）根据题意，分两种情况进行讨论：①当点P在x轴下方时：过点D作轴于点Q，连接，证明，即可得出当点P和点D重合时，，②当点P在x轴上方时：延长，相交于点M，过点M作轴于点N，得出，求出所在直线是函数表达式，最后求出与抛物线的交点坐标即可；
（3）令与x轴相交于点，求出所在直线的函数表达，即可得出，根据，得出点Q应在的右边，即，作，
设点，证明，则，求出，根据，得出点Q在点左边，则，即可得出结论．
【详解】（1）解：将点代入得：
，
解得：，
∴该抛物线的表达式为：．
（2）解：①当点P在x轴下方时：过点D作轴于点Q，连接，
把代入得：，
∴，
把代入得，
解得：，
∴，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵在中，，
∴，
∴，
即点P和点D重合时，，
此时：；
②当点P在x轴上方时：延长，相交于点M，过点M作轴于点N，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设所在直线是函数表达式为：，
将，代入得：
，解得：，
∴所在直线是函数表达式为：，
联立得：，
解得：，，
∴，
综上：或；
（3）解：令与x轴相交于点，
设所在直线的函数表达式为，
将点代入得：
，解得：，
∴所在直线的函数表达式为，
把代入得：，
解得：，
∴，
∵，
∴点Q应在的右边，
即，
作，
设点，
则，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，
∴点Q在点左边，
∴，
综上：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
23．(1)
(2)，
(3)存在，或或或
【分析】（1）由，，可由勾股定理求，进而得点B坐标；
（2）用待定系数法即可求解函数解析式；
（3）设点P坐标为，分三类讨论：①当时；②当时；③当时，分别建立勾股定理方程求解点P坐标即可．
【详解】（1）解：∵点，即．
∵，
在中，根据勾股定理得，
即点B坐标为．
（2）把分别代入中，
得，解得．
∴直线解析式为；
把、、分别代入得
，解得．
∴抛物线的解析式是．
（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵抛物线的解析式是，
∴抛物线对称轴为直线．
设点P坐标为．
①当时，有．
∵，，，
∴，
解得：，
故点；
②当时，有．
∵，，，
∴，
解得：，
故点；
③当时，有．
∵，，，
∴．
解得：，，
∴， ．
综上所述，使得为直角三角形的点P的坐标为或或或．
【点睛】本题以二次函数为背景，考查了勾股定理及其逆定理，待定系数法求解析式，分类讨论的数学思想，难度不大．第（3）问特别注意分类讨论思想的运用．做到不重不漏．
24．(1)
(2)当E在线段上时，；当E在延长线上时，
(3)存在，，，
【分析】（1）利用待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）当E在线段上时，设交对称轴于F点，过F点作y轴的垂线，垂足为H，由题意可求出直线的解析式为，然后可得，则有，进而问题可求解；当E在延长线上时，同理可进行求解；
（3）由题意可分当以为该平行四边形的对角线时，当以为平行四边形的一条边时，然后根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：如图，设交对称轴于F点，过F点作y轴的垂线，垂足为H，
在中，令，得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴，
当E在线段上时，
由对称知，
∵平行与y轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当E在延长线上时，如图所示，
同理可得，，
由折叠的性质可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上，或；
（3）解：存在，设点，，由题意可分：
①当以为该平行四边形的对角线时，则也为对角线，根据平行四边形的性质可知与的中点为同一个点，
∴，解得：，
∴；
②当以为平行四边形的一条边时，则该平行四边形的对角线分别为，同理可得：
，解得：，
∴；
③当以为平行四边形的一条边时，则该平行四边形的对角线分别为，同理可得：
，解得：，
∴；
综上所述：使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点，，．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合以及平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及平行四边形的性质是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)4；0；或
【分析】（1）将，代入，即可求解；
（2）由推出，过点作轴交轴于点，可得，根据相似三角形的性质得，求得，即，根据（1）的关系式即可求得、，进而求得抛物线的解析式；
（3）根据抛物线的解析式化为顶点式即可确定顶点坐标，对称轴为直线，根据抛物线的增减性可知时，函数有最小值；分五种情况：①当函数在内的抛物线完全在对称轴的左侧，②当时，③当函数在内的抛物线分别在对称轴的两侧，④当时，⑤当函数在内的抛物线完全在对称轴的右侧．
【详解】（1）解：把，代入，
得，
；
（2）解：，，，
，，
，
过点作轴交轴于点，
，
，，
，
，
，
，
，即，
又，
可得，，
抛物线；
（3）解：抛物线，
；
抛物线对称轴为直线，，
当时，；
①当函数在内的抛物线完全在对称轴的左侧，
当时取得最小值，最大值，
令，即，
解得；
②当时，此时，，不合题意，舍去；.
③当函数在内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时，令，即，
解得：（舍），（舍）；
或者，即（不合题意，舍去）；
④当时，此时，，不合题意，舍去；
⑤当函数在内的抛物线完全在对称轴的右侧，
当时，取得最大值，最小值，
令，
解得；
综上，或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象及其性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，最值问题，注意运用分类讨论的思想解决问题．
26．(1)；
(2)存在，．
【分析】（1）利用待定系数法直接求出抛物线解析式即可；
（2）先过点A作垂直于，取，连接交抛物线与点，构建等腰直角三角形，得出，点D作轴，利用全等三角形的性质得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线联立成方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】（1）设抛物线的解析式为，把，，代入得，
，
解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在点（在上方），使得；
过点A作垂直于，取，连接交抛物线与点，过点D作轴，
∵垂直于，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入，得
，
解得：，
∴，与抛物线联立得：
，
解得：或，
∴，
故存在点，使得．
【点睛】本题主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，函数图象的交点等知识，解题的关键是能否正确构建等腰直角三角形，得出，从而求解．
27．(1)①以点C为顶点，作,作，交x轴于点D，则点D即为所求；②
(2)或
(3)
【分析】（1）①将已知点坐标代入解析式的一般式，待定系数法确定解析式，进而确定，，以点C为顶点，作,作，交x轴于点D，则点D即为所求；
②由图知，,可证,得,由两点间距离公式求得,进一步求得,确定,待定系数法确定经过,,三点的抛物线解析式；
（2）设点，由两图象关于直线对称，可求新抛物线顶点纵坐标为，确定翻折后的抛物线解析式为，分情况讨论：如图，点P在x轴上方时，原抛物线与x轴恒有两个交点，当翻折部分与x轴有且仅有一个交点时，折叠函数与x轴有三个交点，解，解得（P在对称轴左侧）， （P在对称轴右侧），
如图2，当点P在x轴上时，折叠函数与x轴有且仅有两个交点；（ P在对称轴左侧），（P在对称轴右侧）， 得出结论；
（3）确定原函数解析式，进而根据对称性求得翻折函数的解析式，
时，，解得，所以交点坐标为．
【详解】（1）解：①设直线的解析式为，则
，
解得：，
∴直线解析式为，
将代入得，，解得：，
∴
以点C为顶点，作，作，交x轴于点D，则点D即为所求；
②由图知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设经过，，三点的抛物线为，则：
，
解得：，
∴解析式．
（2）解：原抛物线，
点，所以新抛物线的解析式顶点纵坐标为：
，
故翻折后的抛物线解析式为：，
如图，点P在x轴上方时，原抛物线与x轴恒有两个交点，当翻折部分与x轴有且仅有一个交点时，折叠函数与x轴有三个交点，满足题意，则，解得（P在对称轴左侧）， （P在对称轴右侧），
如图，当点P落在x轴上时，折叠函数与x轴有且仅有两个交点，
点P落在x轴上时，（ P在对称轴左侧），（P在对称轴右侧）；
当点P落在x轴在下方时，折叠函数与x轴无交点．
∴当折叠函数与x轴至少有三个交点时，或．
（3）解：反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
如图，设点在翻折后的图象上，则其关于直线的对称点在上，对称点坐标为，代入得，，即折后的图象解析式为，
时，，解得，
所以交点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查尺规作图，待定系数法确定函数图象，函数图象变换，正确绘制满足要求的函数图象，确定随着参数变化，图象的不同位置状态是解题的关键．
28．(1)，
(2)
(3)或2
【分析】（1）根据题中所给新定义运算可进行求解；
（2）由题意易得，然后根据可进行求解；
（3）由题意易得，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】（1）解：由点为反比例函数图象的“1级和点”，可知：，
∴，
∴；
故答案为，；
（2）解：由题意可知：，
∵，
∴，
∵，
∴当时，则有，且，
解得：；
当时，则有，
解得：，
∵，
∴当时，则，
∴，
∴综上所述；
（3）解：∵，，
∴，
整理得：，
∴，
∵抛物线的“a级和点”恰有一个，
∴只有一个解，
∴，
解得：，
∵，
∴当或时符合题意．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数及反比例函数，熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数及反比例函数是解题的关键．
29．(1)80
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求得时的函数关系式，再即可求解；
（2）根据每天的利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式并化简即可；
（3）根据题意列不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：当时，设函数关系式为，
把，；，代入，
得，解得，
函数关系式为，
当时，，
故答案为：80；
（2）解：由图象得当时，设函数关系式为，
根据题意得；
由（1）得当时，设函数关系式为，
根据题意得；
∴；
（3）解：由题意得，
解得，
当时，则，
即；
当时，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
∵当时，随的增大而增大，
当时，有最小值，最小值为，
当时，随的增大而增减小，
当时，有最小值，最小值为，
∴w的取值范围为
综上w的取值范围为．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和不等式组在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系是解题的关键．
30．(1)；；
(2)不同意，理由见解析．
【分析】（1）利用矩形的面积公式列式即可求解；
（2）把（1）中的函数解析式配方成顶点式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：对于图纸1，∵，
∴，
∴；
对于图纸2，∵，
∴，
∴；
（2）解：不同意，理由如下：
由（1），
∴当时，的最大值为384；
，
∴当时，，
∴的最大值为507的说法不符合题意．
答：不同意小红的说法．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，找准等量关系，正确列出二次函数解析式是解题的关键．
31．(1)
(2)当销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是元
【分析】（1）结合已知的图象信息，利用待定系数法求解可得；
（2）根据“”列出函数解析式，并配方成顶点式，再结合x的取值范围，利用二次函数的性质求解可得．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
把和分别代入，得
，解得，
∴y与x之间的函数关系式为，
因为规定每天笔筒的销售量不低于件，所以，
所以，即，
又成本为元/件，
所以，即，
故答案为：．
（2）解：设每天获取的利润为W元，
根据题意得：，
∵，开口向下，当，W有最大值，
由（1）知道，当，W随x的增大而增大，
所以当时，W取得最大值，，
答：当销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质．
32．(1)300；290
(2)①；②当定价为63，64，65，66，67，都能使当天的销售利润不低于6200元
【分析】（1）根据总利润除以一件的利润即可得销售数量；
（2）①由表格易得：每涨价1元，销量减少10件，由此可得y与x之间满足的函数表达式；
②根据①中所得的关系式列出不等式，利用二次函数与x轴交点解不等式即可．
【详解】（1）解：当售价为每件60元时，当天可售出：（件）；
当售价为每件61元时，当天可售出：（件）；
故答案为：300；290；
（2）①当售价为每件62元时，当天可售出：（件）；
当售价为每件63元时，当天可售出：（件）；
……
由此可得：每涨价1元，销量减少10件，
∴；
故答案为：．
②由题意得：，
即，
考虑二次函数，令，
即，
解得：，
∴不等式的解集为：，
∵x为正整数解，
3，4，5，6，7
故当定价为63，64，65，66，67，都能使当天的销售利润不低于6200元．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的实际应用，解题的难点在于确定每涨价1元销量减少的数量．
