沪科版七年级下册10.3平行线的判定及性质专题练习
一、解答题
1．（2023七下·河西期中）如图，于，于，//，．求证：．
2．（2023七下·大兴期中）看图填写．
已知：如图，，，．求证：平分．
证明：∵，，
∴，．（ ）（填推理依据）
∴．
∴．（ ）（填推理依据）
∴．（ ）（填推理依据）
．（ ）（填推理依据）
又∵，∴．
∴平分．（ ）（填推理依据）
3．（2023七下·深圳期中）推理填空：
已知：如图，，，求证：．
证明：∵，（已知），
∴，
∴ ▲ ，（ ）
又∵，（已知）
∴ ▲ ，（ ）
∴ ▲ ，（ ）
∴，（ ）
4．（2023七下·闵行期中）已知：如图，与互补，，试说明．
解：因为与互补
所以（ ）
所以（ ）
又因为（ ）
所以 （等式性质）
即
所以（ ）
所以（ ）
5．（2023七下·华蓥期中）如图，已知于点，于点，，求证：．
请完成下面的证明及理由填写．
证明：∵（已知），
∴（垂直的定义），
∵（已知），
∴（ ），
∴（等量代换）
∴（ ）．
∴（ ）
又∵（已知），
∴ ▲ （ ）
∴（ ）
∴（ ）
6．（2023七下·深圳期中）阅读理解，补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点在直线上，点在直线上，，．求证：．
证明：∵（已知）
（ ）
∴（等量代换）
∴（ ）
∴ ▲ （两直线平行，同旁内角互补）
又∵（已知）
∴ ▲ （等量代换）
∴ ▲ ▲ （ ）
∴（ ）
7．如图，直线与相交于点，，，，求证：.
证明：已知，
（ ）
已知，
▲ （ ）
已知，
（ ）
即 ▲ .
▲ （ ）
（ ）
8．（2023七下·东台期中）推理填空：
如图，于，于，，可得平分.
理由如下：于，于，（已知）
，（垂直的定义）
，（ ）
▲ ，（ ）
，（ ）
又，（已知）
▲ ，（等量代换）
平分（角平分线的定义）
9．（2023七下·晋安期中）完成下面的证明：
已知：如图，，.
求证：.
证明：∵（已知），
∴ ▲ // ▲ （ ）.
∴（ ）.
又∵（已知），
∴（ ）.
即.
∴ ▲ // ▲ （ ）.
∴（两直线平行，内错角相等）.
10．（2023七下·新城月考）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B.
11．（2022七下·江源期末）已知：如图，BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，∠1＋∠2＝180°．求证：DGBC．
12．（2022七下·沈阳期末）如图，在和中，，，，与相交于点，若，请判断与是否平行？并说明理由．
二、综合题
13．（2023七下·东莞期中）如图，已知，于点，．
（1）求证：；
（2）连接，若，且，求的度数．
14．（2023七下·津南期中）如图，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D，
（1）求证：BDCE；
（2）若∠A＝30°，求∠F的度数．
15．（2023七下·大兴期中）如图，已知线段，分别以点A，B为端点作射线，C，D，E三点分别在上，过点C的直线与线段分别交于点F，H，已知，．
（1）判断与的位置关系并加以证明；
（2）若，，求的度数．
16．（2023七下·上城期中）如图，已知，．
（1）证明：；
（2）若，，求的度数．
17．（2023七下·江阴期中）如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交AB、AC和CB的延长线于点D、E、F，过点B作BP//AC交EF于点P.
（1）若∠A＝70°，∠F＝25°，求∠BPD的度数.
（2）求证：∠F+∠FEC＝2∠ABP.
18．（2023七下·南昌期中）如图，在中，点D在边上，，分别交、于点E、F，平分，交于点G，
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
19．（2023七下·大冶期中）已知：直线，点P在的上方，且，.
（1）如图，求的度数；
（2）如图，若的平分线和的平分线交于点G，求的度数.
20．（2022七下·崇川期末）如图，直线，点E，G在直线AB上，点F，H在直线CD上，∠1＋∠2＝180°．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若∠1＝120°，GM平分∠BGH，FM平分∠EFH，设FM与GH相交于点O．求∠FOH的度数．
21．（2022七下·泊头期末）综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b且ab，三角形ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60° ∠BAC=30°．操作发现：
（1）如图1，若∠1=42°，求∠2的度数；
（2）小聪同学把图1中的直线a向上平移得到如图2，请你探究图2中的∠1与∠2的数量关系，并说明理由．
（3）小颖同学将图2中的直线b向上平移得到图3，若∠2=4∠1，求∠1的度数．
22．（2022七下·平山期末）丁丁学习七年级下册数学后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
（1）如图1，已知ABCD，点E在两平行线的内侧，连接AE，CE．若∠EAB＝35°，∠ECD＝25°，求∠AEC的度数；（提示：过点E作AB的平行线）
（2）如图2，已知ABCD，点E在两平行线的外侧，连接AE，CE．若∠EAB＝α，∠ECD＝β．
①求∠AEC的大小（用含α，β的代数式表示）；
②作∠ECD的平分线交AB于点G，连接GE，AG平分于∠CGE（如图3）．若∠AEG＝130°，α+β＝80°，分别求出α，β的度数．
23．（2022七下·高阳期末）如图1，已知，点，分别在射线和上，在内部作射线，，使平行于．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）小颖发现，在内部，无论如何变化，的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值；
（3）①如图3，把图1中的改为，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系；
②如图4，已知，点，分别在射线，上，在与内部作射线，，使平行于，请直接写出与之间的数量关系．
24．（2023七下·晋安期中）如图，直线，直线与，分别交于点，，.小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，.
（1）填空； （填“”“ ”或“=” ）；
（2）若的平分线交直线于点，如图②.
①当，时，求的度数；
②小安将三角板沿直线左右移动，保持，点、分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）.
25．（2023七下·洪山期中）如图，已知直线.
（1）在图1中，点E在直线上，点F在直线上，点G在之间，若，，则 ；
（2）如图2，若平分，延长交于点M，且，当时，求的度数；
（3）在（2）的条件下，若绕E点以每秒转动4°的速度逆时针旋转一周，同时绕F点以每秒转动1°的速度逆时针旋转，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当 秒时，.
答案解析部分
1．【答案】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴ ∠BDC＝∠EFC＝90°
∴BDEF，
∴∠2＝∠CBD，
∵∠2＝∠1，
∴∠1＝∠CBD，
∴GFBC，
∵BCDM，
∴MDGF，
∴∠AMD＝∠AGF．
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【分析】由垂直的定义可得∠BDC＝∠EFC＝90° ，根据平行线的判定可得BDEF，利用平行线的性质可得∠2＝∠CBD， 结合已知可得∠1＝∠CBD， 根据平行线的判定可得GFBC∥MD， 利用平行线的性质即得结论.
2．【答案】证明：∵，，
∴，．（垂线的定义）
∴．
∴．（同位角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，同位角相等）
．（两直线平行，内错角相等）
又∵，
∴．
∴平分．（角平分线的定义）
【知识点】垂线；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由垂直的定义可得∠ACB=∠EFB=90°，根据同位角相等，两直线平行可得EF∥AC，利用两直线平行，同位角相等（内错角相等）可得∠A=∠2，∠3=∠1，由等量代换可得∠2=∠3，利用角平分线的定义即得结论.
3．【答案】证明：∵，，
∴，
∴，（同旁内角互补，两直线平行）
又∵，（已知）
∴，（同位角相等，两直线平行）
∴，（平行于同一条直线的两直线平行）
∴．（两直线平行，内错角相等）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质证明求解即可。
4．【答案】解：因为与互补
所以（同旁内角互补，两直线平行）
所以（内错角相等，两直线平行）
又因为（已知）
所以（等式性质）
即
所以（内错角相等，两直线平行）
所以（两直线平行，内错角相等）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质证明求解即可。
5．【答案】证明：∵ （已知），
∴（垂直的定义），
∵ （已知），
∴ （ 垂直的定义 ），
∴（等量代换），
∴ （ 同位角相等，两直线平行 ），
∴ （ 两直线平行，同旁内角互补 ），
∵ （已知），
∴（同角的补角相等），
∴ （ 内错角相等，两直线平行 ），
∴ （ 两直线平行，同位角相等 ）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由垂直的定义可得∠ADB=∠EFB=90°，由同位角相等，两直线平行，得AD∥EF，由二直线平行，同旁内角互补得∠2+∠1=180°，进而根据同角的补角相等得∠1=∠3，由内错角相等，两直线平行，得AB∥DG，最后根据两直线平行，同位角相等，得出结论.
6．【答案】解：∵（已知），
（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（或或）（或或）（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质求解即可。
7．【答案】证明：已知，
两直线平行，同位角相等，
又已知，
等量代换，
已知，
等式的性质，
即，
等量代换，
内错角相等，两直线平行.
故答案为：两直线平行，同位角相等；；等量代换；等式的性质；；；等量代换；内错角相等，两直线平行.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠4=∠BAE，结合∠3=∠4可得∠3=∠BAE，由已知条件可知∠1=∠2，由角的和差关系可得∠BAE=∠DAC，推出∠3=∠DAC，然后根据平行线的判定定理进行证明.
8．【答案】证明：于，于已知，
（垂直的定义），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等），
又（已知），
（等量代换），
平分（角平分线的定义）.
故答案为：同位角相等，两直线平行；2；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；2.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】由垂直的概念可得∠ADC=∠EGC=90°，推出AD∥EG，由平行线的性质可得∠1=∠2，∠E=∠3，结合∠E=∠1可得∠2=∠3，据此证明.
9．【答案】证明：∠ABE+∠BEC=180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.
∴∠ABE=∠BED（两直线平行，内错角相等）.
又∠1=∠2（已知），
∴∠ABE-∠1=∠BED-∠2（等式的性质）.
即∠FBE=∠GEB.
∴BF∥EG（内错角相等，两直线平行）.
∴∠F=∠G（两直线平行，内错角相等）.
故答案为：AB，CD，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等式的性质；BF，EG，内错角相等，两直线平行.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由已知条件可知∠ABE+∠BEC=180°，则AB∥CD，根据平行线的性质可得∠ABE=∠BED，结合∠1=∠2以及角的和差关系可得∠FBE=∠GEB，推出BF∥EG，然后根据平行线的性质可得结论.
10．【答案】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠1=∠3
∴AB∥DG，
∴∠GDC＝∠B.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，得AD∥EF，由二直线平行，同旁内角互补得 ∠1+∠2=180°， 结合 ∠2+∠3＝180°， 由同角的补角相等得 ∠1=∠3 ，由内错角相等，两直线平行，得AB∥DG，最后根据二直线平行，同位角相等得∠GDC＝∠B .
11．【答案】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝∠EFC＝90°．
∴BDEF．
∴∠2＋∠DBE ＝180°．
∵∠1＋∠2＝180°，
∴∠1＝∠DBE．
∴DGBC．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】先求出 BDEF，再求出∠1＝∠DBE，最后证明即可。
12．【答案】解：．理由如下：
过G点作，
∵∠C＝45°，，
∴∠CGH＝45°，
∵∠FGC＝105°，
∴∠FGH＝105° 45°＝60°，
在Rt△DEF中，∠D＝90°，∠E＝30°，
∴∠F＝60°，
∴∠F＝∠FGH，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】过G点作，先求出∠FGH＝105° 45°＝60°，利用三角形内角和求出∠F＝60°，可得∠F＝∠FGH，即可得到，所以。
13．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可得，，
，
，
，
，
．
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由垂直的定义及已知可得， 根据平行线的判定可得AB∥DE，利用平行线的性质可得 ， 由补角的性质可得 ， 根据平行线的判定定理即证；
（2） 由（1）知，求出∠ABD=150°，由，利用角的和差可求出∠ABD=150°， 再利用平行线的性质即可求解.
14．【答案】（1）证明：∵∠AHC＝∠EHF，∠AGB＝∠EHF，
∴∠AHC＝∠AGB．
∴BDCE．
（2）解：∵BDCE，
∴∠CEF＝∠D．
∵∠C＝∠D，
∴∠CEF＝∠C．
∴ACDF．
∴∠F＝∠A＝30°．
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由对顶角相等及∠AGB＝∠EHF，可得∠AHC＝∠AGB，根据同位角相等两直线平行即得结论；
（2）由平行线的性质可得∠CEF＝∠D，结合∠C＝∠D，即得∠CEF＝∠C，可证ACDF ，根据平行线的性质即得结论．
15．【答案】（1）解：，证明如下：
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1），证明：由对顶角相等可得∠EFH=∠1=110°，从而得出，根据同旁内角互补两直线平行即证结论；
（2）由两直线平行同位角相等可得， 再利用两直线平行内错相等可得．
16．【答案】（1）证明：，
，
，
．
，
；
（2）解：，
，
，，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行得AC∥DE，由二直线平行，内错角相等得∠2=∠ADE，结合已知可得∠ADE+∠4=180°，进而再根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥FE；
（2）由二直线平行，同位角相等得∠BAD=∠3=80°，由已知易得∠2=40°，最后根据∠BAC=∠BAD-∠2计算即可.
17．【答案】（1）解：∵∠A＝∠ABC＝70°，BP//AC，
∴∠ABP＝∠A＝70°＝∠ABC，
∴∠PBF＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠BPD＝∠F+∠PBF＝25°+40°＝65°
（2）证明：∵∠F+∠FEC＝180°﹣∠C，∠A+∠ABC＝180°﹣∠C，
∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC＝2∠A＝2∠ABP.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质结合已知条件可得∠ABP＝∠A＝70°＝∠ABC，结合内角和定理可得∠PBF＝40°，由外角的性质可得∠BPD＝∠F+∠PBF，据此计算；
（2）由内角和定理可得∠F+∠FEC＝180°-∠C，∠A+∠ABC＝180°-∠C，则∠F+∠FEC=∠A+∠ABC，据此证明.
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
∴
（2）解：∵平分，
∴
由（1）知，
∴，
∴
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定与性质证明即可；
（2）根据角平分线的定义先求出 ，再求出 ， 最后计算求解即可。
19．【答案】（1）解：如图，过点P作，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点G作，
是的平分线，是的平分线，
，，
，
，
，
，
.
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）过点P作PM∥AB，则PM∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠MPE=∠AEP=50°，∠PFC=∠MPF=120°，然后根据∠EPF=∠MPF-∠MPE进行计算；
（2）过点G作GM∥AB，根据角平分线的概念可得∠AEG=∠AEP=25°，∠GFC=∠PFC=60°，根据平行线的性质可得∠MGE=∠AEG=25°，∠GFC=∠MGF=60°，然后根据∠EGF=∠MGF-∠MGE进行计算.
20．【答案】（1）解：∵，
∴ ∠1＋∠EFH＝180°．
又∵∠1＋∠2＝180°，
∴∠2＝∠EFH，
∴．
（2）解：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＝120°，
∴∠2＝60°．
∴∠EFH＝60°．
∵FM平分∠EFH，
∴∠OFH＝30°．
∴∠FOH＝60°－30°＝30°．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质性质得到∠1+∠EFH= 180°， 结合∠1 +∠2= 180°， 根据同角的补角相等得出∠2=∠EFH，进而根据同位角相等，两直线平行，即可证明 EF∥GH；
（2）根据∠1+∠2=180°，结合 ∠1=120°，求出出∠2的度数， 则可根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”求出∠EFH的度数，再根据角平分线定义求出∠OFH的度数，再根据三角形外角的性质求∠FOH度数即可.
21．【答案】（1）解：如图1，
∵∠ACB=90°，∠1=42°，
∴∠ACP=∠1+∠ACB=132°，
∵a∥b，
∴∠2=∠ACP=132°；
（2）解：∠2-∠1=120°，理由如下：
如图2，由题意得：∠ACP=∠1+∠ACB=∠1+90°，
∵a∥b，
∴∠AGF=∠ACP=∠1+90°，
∵∠2是△AFG的外角，
∴∠2=∠BAC+∠AGF=30°+∠1+90°，
即∠2-∠1=120°；
（3）解：∵∠1=∠CMN，∠ACB=90°，
∴∠ANM=∠CMN+∠ACB=∠1+90°，
∵a∥b，
∴∠2=∠ANM=∠1+90°，
∵∠2=4∠1，
∴4∠1=∠1+90°，
解得：∠1=30°．
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据角的和差关系可得ACP=∠1+∠ACB=132°，由平行线的性质可得∠2=∠ACP，据此解答；
（2）据角的和差关系可得∠ACP=∠1+90°，由平行线的性质可得∠AGF=∠ACP=∠1+90°，根据外角的性质可得∠2=∠BAC+∠AGF=30°+∠1+90°，求解即可；
（3）根据外角的性质可得∠ANM=∠CMN+∠ACB=∠1+90°，由平行线的性质可得∠2=∠ANM=∠1+90°，然后结合∠2=4∠1就可求出∠1的度数.
22．【答案】（1）解：如图1，过点E作MN∥AB．
∵AB∥MN，
∴∠AEM＝∠EAB＝35°．
∵AB∥CD，AB∥MN，
∴MN∥CD．
∴∠MEC＝∠ECD＝25°．
∴∠AEC＝∠AEM+∠MEC＝35°+25°＝60°．
（2）解：①如图2，
∵AB∥CD，
∴∠EFB＝∠ECD＝β．
又∵∠EFB＝∠EAB+∠AEC，
∴∠AEC＝∠EFB﹣∠EAB＝β﹣α．
②如图3，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2．
又∵CG平分∠ECD，
∴∠ECG＝∠1＝．
∴∠ECG＝∠2．
∵AG平分于∠CGE，
∴∠2＝∠3．
∴∠3＝∠ECG＝．
∵∠AEG＝130°，
∴∠EAB+∠3＝180°﹣∠AEG＝50°．
∴＝50°．
又∵α+β＝80°，
∴α=20°，β＝60°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质先求出 ∠AEM＝∠EAB＝35°，再求出MN∥CD，最后计算求解即可；
（2）①先求出∠EFB＝∠ECD＝β，再根据∠EFB＝∠EAB+∠AEC， 计算求解即可；
②根据角平分线的定义先求出 ∠ECG＝∠1＝，再求出 ＝50°，最后计算求解即可。
23．【答案】（1）解：过点作
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
（2）解：过点作
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
（3）解：①
②
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【分析】（1）过F作FM∥AB，则FM∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠FAB+∠1=180°，∠HCD=∠2，结合∠1的度数可求出∠FAB的度数，然后根据∠HCD=∠2=∠EFH-∠1进行计算；
（2）过点F作FN∥AB，则FN∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠FAB+∠1=180°，∠HCD=∠2，结合∠1的度数可求出∠FAB的度数，根据∠EFH=90°可得∠1+∠2=90°，代入化简即可；
（3）①②根据（1）（2）的过程进行解答.
24．【答案】（1）=
（2）解：①，，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
②点在的右侧时，如图②，
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
；
点在的左侧时，如图，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
，
综上所述，的度数为或.
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）过点作，
，
，
，
，
，
故答案为：=.
【分析】（1）过P点作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠PNB=∠NPQ，∠PMD=∠QPM，则∠PNB+∠PMD=∠NPQ+∠QPM，据此解答；
（2）①根据平行公理及推论可得PO∥PM，根据平行线的性质可得∠ONM=∠NMP=60°，由角平分线的概念可得∠ANO=∠ONM=60°，由平行线的性质可得∠NOM=∠ANO=60°，据此解答；
②点N在点G的右侧时，根据平行线的性质可得∠EHD=∠PMD=α，则∠NMD=60°+α，由平行线的性质可得∠ANM=∠NMD=60°+α，由角平分线的概念可得∠ANO=30°+α，根据平行线的性质可得∠MON=∠ANO，据此解答；当点N在点G的左侧时，同理进行解答.
25．【答案】（1）45°
（2）解：∵平分，，
∴可设，
如图2所示，过G作，过N作，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）8或68
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）如图1所示，过G作，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：；
（3）解：根据题意，，
如图，根据题意，，
∵，，
∴
∴
解得，
如图，根据题意，，
∵，，
∴
∴
解得，
综上，或
【分析】（1）过G作GH∥AB，则GH∥AB∥CD，由平行线的性质可得∠1=∠EGH，∠2=∠FGH，然后根据∠1+∠2=∠EGF进行计算；
（2）根据角平分线的概念可设∠AEM=α，则∠NEM=2α，∠CFN=∠GFN=β，过G作GP∥CD，过N作NQ∥AB，则NQ∥AB∥CD∥PG，由平行线的性质可得∠QNF=∠CFN=β，∠QNE=∠AEN=3α，∠PGE=∠AEM=α，∠PGF=∠DFG=180°-2β，由角的和差关系可得∠FNE=β-3α，∠FGE=α+180°-2β，结合已知条件可得β的度数，据此解答；
（3）根据题意可得∠AEF=4t°，∠GFH=t°，由平行线的性质可得∠AET=∠ETC=∠HFD=4t°，据此求解；同理可得∠AEA′=(360-4t)°，∠GFW=t°，由平行线的性质可得∠AEA′=∠FKE=(360-4t)°，∠WFK+∠FKE=180°，据此求解.
沪科版七年级下册10.3平行线的判定及性质专题练习
一、解答题
1．（2023七下·河西期中）如图，于，于，//，．求证：．
【答案】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴ ∠BDC＝∠EFC＝90°
∴BDEF，
∴∠2＝∠CBD，
∵∠2＝∠1，
∴∠1＝∠CBD，
∴GFBC，
∵BCDM，
∴MDGF，
∴∠AMD＝∠AGF．
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【分析】由垂直的定义可得∠BDC＝∠EFC＝90° ，根据平行线的判定可得BDEF，利用平行线的性质可得∠2＝∠CBD， 结合已知可得∠1＝∠CBD， 根据平行线的判定可得GFBC∥MD， 利用平行线的性质即得结论.
2．（2023七下·大兴期中）看图填写．
已知：如图，，，．求证：平分．
证明：∵，，
∴，．（ ）（填推理依据）
∴．
∴．（ ）（填推理依据）
∴．（ ）（填推理依据）
．（ ）（填推理依据）
又∵，∴．
∴平分．（ ）（填推理依据）
【答案】证明：∵，，
∴，．（垂线的定义）
∴．
∴．（同位角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，同位角相等）
．（两直线平行，内错角相等）
又∵，
∴．
∴平分．（角平分线的定义）
【知识点】垂线；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由垂直的定义可得∠ACB=∠EFB=90°，根据同位角相等，两直线平行可得EF∥AC，利用两直线平行，同位角相等（内错角相等）可得∠A=∠2，∠3=∠1，由等量代换可得∠2=∠3，利用角平分线的定义即得结论.
3．（2023七下·深圳期中）推理填空：
已知：如图，，，求证：．
证明：∵，（已知），
∴，
∴ ▲ ，（ ）
又∵，（已知）
∴ ▲ ，（ ）
∴ ▲ ，（ ）
∴，（ ）
【答案】证明：∵，，
∴，
∴，（同旁内角互补，两直线平行）
又∵，（已知）
∴，（同位角相等，两直线平行）
∴，（平行于同一条直线的两直线平行）
∴．（两直线平行，内错角相等）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质证明求解即可。
4．（2023七下·闵行期中）已知：如图，与互补，，试说明．
解：因为与互补
所以（ ）
所以（ ）
又因为（ ）
所以 （等式性质）
即
所以（ ）
所以（ ）
【答案】解：因为与互补
所以（同旁内角互补，两直线平行）
所以（内错角相等，两直线平行）
又因为（已知）
所以（等式性质）
即
所以（内错角相等，两直线平行）
所以（两直线平行，内错角相等）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质证明求解即可。
5．（2023七下·华蓥期中）如图，已知于点，于点，，求证：．
请完成下面的证明及理由填写．
证明：∵（已知），
∴（垂直的定义），
∵（已知），
∴（ ），
∴（等量代换）
∴（ ）．
∴（ ）
又∵（已知），
∴ ▲ （ ）
∴（ ）
∴（ ）
【答案】证明：∵ （已知），
∴（垂直的定义），
∵ （已知），
∴ （ 垂直的定义 ），
∴（等量代换），
∴ （ 同位角相等，两直线平行 ），
∴ （ 两直线平行，同旁内角互补 ），
∵ （已知），
∴（同角的补角相等），
∴ （ 内错角相等，两直线平行 ），
∴ （ 两直线平行，同位角相等 ）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由垂直的定义可得∠ADB=∠EFB=90°，由同位角相等，两直线平行，得AD∥EF，由二直线平行，同旁内角互补得∠2+∠1=180°，进而根据同角的补角相等得∠1=∠3，由内错角相等，两直线平行，得AB∥DG，最后根据两直线平行，同位角相等，得出结论.
6．（2023七下·深圳期中）阅读理解，补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点在直线上，点在直线上，，．求证：．
证明：∵（已知）
（ ）
∴（等量代换）
∴（ ）
∴ ▲ （两直线平行，同旁内角互补）
又∵（已知）
∴ ▲ （等量代换）
∴ ▲ ▲ （ ）
∴（ ）
【答案】解：∵（已知），
（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（或或）（或或）（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质求解即可。
7．如图，直线与相交于点，，，，求证：.
证明：已知，
（ ）
已知，
▲ （ ）
已知，
（ ）
即 ▲ .
▲ （ ）
（ ）
【答案】证明：已知，
两直线平行，同位角相等，
又已知，
等量代换，
已知，
等式的性质，
即，
等量代换，
内错角相等，两直线平行.
故答案为：两直线平行，同位角相等；；等量代换；等式的性质；；；等量代换；内错角相等，两直线平行.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠4=∠BAE，结合∠3=∠4可得∠3=∠BAE，由已知条件可知∠1=∠2，由角的和差关系可得∠BAE=∠DAC，推出∠3=∠DAC，然后根据平行线的判定定理进行证明.
8．（2023七下·东台期中）推理填空：
如图，于，于，，可得平分.
理由如下：于，于，（已知）
，（垂直的定义）
，（ ）
▲ ，（ ）
，（ ）
又，（已知）
▲ ，（等量代换）
平分（角平分线的定义）
【答案】证明：于，于已知，
（垂直的定义），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等），
又（已知），
（等量代换），
平分（角平分线的定义）.
故答案为：同位角相等，两直线平行；2；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；2.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】由垂直的概念可得∠ADC=∠EGC=90°，推出AD∥EG，由平行线的性质可得∠1=∠2，∠E=∠3，结合∠E=∠1可得∠2=∠3，据此证明.
9．（2023七下·晋安期中）完成下面的证明：
已知：如图，，.
求证：.
证明：∵（已知），
∴ ▲ // ▲ （ ）.
∴（ ）.
又∵（已知），
∴（ ）.
即.
∴ ▲ // ▲ （ ）.
∴（两直线平行，内错角相等）.
【答案】证明：∠ABE+∠BEC=180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.
∴∠ABE=∠BED（两直线平行，内错角相等）.
又∠1=∠2（已知），
∴∠ABE-∠1=∠BED-∠2（等式的性质）.
即∠FBE=∠GEB.
∴BF∥EG（内错角相等，两直线平行）.
∴∠F=∠G（两直线平行，内错角相等）.
故答案为：AB，CD，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等式的性质；BF，EG，内错角相等，两直线平行.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由已知条件可知∠ABE+∠BEC=180°，则AB∥CD，根据平行线的性质可得∠ABE=∠BED，结合∠1=∠2以及角的和差关系可得∠FBE=∠GEB，推出BF∥EG，然后根据平行线的性质可得结论.
10．（2023七下·新城月考）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B.
【答案】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠1=∠3
∴AB∥DG，
∴∠GDC＝∠B.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，得AD∥EF，由二直线平行，同旁内角互补得 ∠1+∠2=180°， 结合 ∠2+∠3＝180°， 由同角的补角相等得 ∠1=∠3 ，由内错角相等，两直线平行，得AB∥DG，最后根据二直线平行，同位角相等得∠GDC＝∠B .
11．（2022七下·江源期末）已知：如图，BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，∠1＋∠2＝180°．求证：DGBC．
【答案】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝∠EFC＝90°．
∴BDEF．
∴∠2＋∠DBE ＝180°．
∵∠1＋∠2＝180°，
∴∠1＝∠DBE．
∴DGBC．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】先求出 BDEF，再求出∠1＝∠DBE，最后证明即可。
12．（2022七下·沈阳期末）如图，在和中，，，，与相交于点，若，请判断与是否平行？并说明理由．
【答案】解：．理由如下：
过G点作，
∵∠C＝45°，，
∴∠CGH＝45°，
∵∠FGC＝105°，
∴∠FGH＝105° 45°＝60°，
在Rt△DEF中，∠D＝90°，∠E＝30°，
∴∠F＝60°，
∴∠F＝∠FGH，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】过G点作，先求出∠FGH＝105° 45°＝60°，利用三角形内角和求出∠F＝60°，可得∠F＝∠FGH，即可得到，所以。
二、综合题
13．（2023七下·东莞期中）如图，已知，于点，．
（1）求证：；
（2）连接，若，且，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可得，，
，
，
，
，
．
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由垂直的定义及已知可得， 根据平行线的判定可得AB∥DE，利用平行线的性质可得 ， 由补角的性质可得 ， 根据平行线的判定定理即证；
（2） 由（1）知，求出∠ABD=150°，由，利用角的和差可求出∠ABD=150°， 再利用平行线的性质即可求解.
14．（2023七下·津南期中）如图，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D，
（1）求证：BDCE；
（2）若∠A＝30°，求∠F的度数．
【答案】（1）证明：∵∠AHC＝∠EHF，∠AGB＝∠EHF，
∴∠AHC＝∠AGB．
∴BDCE．
（2）解：∵BDCE，
∴∠CEF＝∠D．
∵∠C＝∠D，
∴∠CEF＝∠C．
∴ACDF．
∴∠F＝∠A＝30°．
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由对顶角相等及∠AGB＝∠EHF，可得∠AHC＝∠AGB，根据同位角相等两直线平行即得结论；
（2）由平行线的性质可得∠CEF＝∠D，结合∠C＝∠D，即得∠CEF＝∠C，可证ACDF ，根据平行线的性质即得结论．
15．（2023七下·大兴期中）如图，已知线段，分别以点A，B为端点作射线，C，D，E三点分别在上，过点C的直线与线段分别交于点F，H，已知，．
（1）判断与的位置关系并加以证明；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：，证明如下：
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1），证明：由对顶角相等可得∠EFH=∠1=110°，从而得出，根据同旁内角互补两直线平行即证结论；
（2）由两直线平行同位角相等可得， 再利用两直线平行内错相等可得．
16．（2023七下·上城期中）如图，已知，．
（1）证明：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
．
，
；
（2）解：，
，
，，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行得AC∥DE，由二直线平行，内错角相等得∠2=∠ADE，结合已知可得∠ADE+∠4=180°，进而再根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥FE；
（2）由二直线平行，同位角相等得∠BAD=∠3=80°，由已知易得∠2=40°，最后根据∠BAC=∠BAD-∠2计算即可.
17．（2023七下·江阴期中）如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交AB、AC和CB的延长线于点D、E、F，过点B作BP//AC交EF于点P.
（1）若∠A＝70°，∠F＝25°，求∠BPD的度数.
（2）求证：∠F+∠FEC＝2∠ABP.
【答案】（1）解：∵∠A＝∠ABC＝70°，BP//AC，
∴∠ABP＝∠A＝70°＝∠ABC，
∴∠PBF＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠BPD＝∠F+∠PBF＝25°+40°＝65°
（2）证明：∵∠F+∠FEC＝180°﹣∠C，∠A+∠ABC＝180°﹣∠C，
∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC＝2∠A＝2∠ABP.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质结合已知条件可得∠ABP＝∠A＝70°＝∠ABC，结合内角和定理可得∠PBF＝40°，由外角的性质可得∠BPD＝∠F+∠PBF，据此计算；
（2）由内角和定理可得∠F+∠FEC＝180°-∠C，∠A+∠ABC＝180°-∠C，则∠F+∠FEC=∠A+∠ABC，据此证明.
18．（2023七下·南昌期中）如图，在中，点D在边上，，分别交、于点E、F，平分，交于点G，
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
∴
（2）解：∵平分，
∴
由（1）知，
∴，
∴
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定与性质证明即可；
（2）根据角平分线的定义先求出 ，再求出 ， 最后计算求解即可。
19．（2023七下·大冶期中）已知：直线，点P在的上方，且，.
（1）如图，求的度数；
（2）如图，若的平分线和的平分线交于点G，求的度数.
【答案】（1）解：如图，过点P作，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点G作，
是的平分线，是的平分线，
，，
，
，
，
，
.
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）过点P作PM∥AB，则PM∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠MPE=∠AEP=50°，∠PFC=∠MPF=120°，然后根据∠EPF=∠MPF-∠MPE进行计算；
（2）过点G作GM∥AB，根据角平分线的概念可得∠AEG=∠AEP=25°，∠GFC=∠PFC=60°，根据平行线的性质可得∠MGE=∠AEG=25°，∠GFC=∠MGF=60°，然后根据∠EGF=∠MGF-∠MGE进行计算.
20．（2022七下·崇川期末）如图，直线，点E，G在直线AB上，点F，H在直线CD上，∠1＋∠2＝180°．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若∠1＝120°，GM平分∠BGH，FM平分∠EFH，设FM与GH相交于点O．求∠FOH的度数．
【答案】（1）解：∵，
∴ ∠1＋∠EFH＝180°．
又∵∠1＋∠2＝180°，
∴∠2＝∠EFH，
∴．
（2）解：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＝120°，
∴∠2＝60°．
∴∠EFH＝60°．
∵FM平分∠EFH，
∴∠OFH＝30°．
∴∠FOH＝60°－30°＝30°．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质性质得到∠1+∠EFH= 180°， 结合∠1 +∠2= 180°， 根据同角的补角相等得出∠2=∠EFH，进而根据同位角相等，两直线平行，即可证明 EF∥GH；
（2）根据∠1+∠2=180°，结合 ∠1=120°，求出出∠2的度数， 则可根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”求出∠EFH的度数，再根据角平分线定义求出∠OFH的度数，再根据三角形外角的性质求∠FOH度数即可.
21．（2022七下·泊头期末）综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b且ab，三角形ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60° ∠BAC=30°．操作发现：
（1）如图1，若∠1=42°，求∠2的度数；
（2）小聪同学把图1中的直线a向上平移得到如图2，请你探究图2中的∠1与∠2的数量关系，并说明理由．
（3）小颖同学将图2中的直线b向上平移得到图3，若∠2=4∠1，求∠1的度数．
【答案】（1）解：如图1，
∵∠ACB=90°，∠1=42°，
∴∠ACP=∠1+∠ACB=132°，
∵a∥b，
∴∠2=∠ACP=132°；
（2）解：∠2-∠1=120°，理由如下：
如图2，由题意得：∠ACP=∠1+∠ACB=∠1+90°，
∵a∥b，
∴∠AGF=∠ACP=∠1+90°，
∵∠2是△AFG的外角，
∴∠2=∠BAC+∠AGF=30°+∠1+90°，
即∠2-∠1=120°；
（3）解：∵∠1=∠CMN，∠ACB=90°，
∴∠ANM=∠CMN+∠ACB=∠1+90°，
∵a∥b，
∴∠2=∠ANM=∠1+90°，
∵∠2=4∠1，
∴4∠1=∠1+90°，
解得：∠1=30°．
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据角的和差关系可得ACP=∠1+∠ACB=132°，由平行线的性质可得∠2=∠ACP，据此解答；
（2）据角的和差关系可得∠ACP=∠1+90°，由平行线的性质可得∠AGF=∠ACP=∠1+90°，根据外角的性质可得∠2=∠BAC+∠AGF=30°+∠1+90°，求解即可；
（3）根据外角的性质可得∠ANM=∠CMN+∠ACB=∠1+90°，由平行线的性质可得∠2=∠ANM=∠1+90°，然后结合∠2=4∠1就可求出∠1的度数.
22．（2022七下·平山期末）丁丁学习七年级下册数学后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
（1）如图1，已知ABCD，点E在两平行线的内侧，连接AE，CE．若∠EAB＝35°，∠ECD＝25°，求∠AEC的度数；（提示：过点E作AB的平行线）
（2）如图2，已知ABCD，点E在两平行线的外侧，连接AE，CE．若∠EAB＝α，∠ECD＝β．
①求∠AEC的大小（用含α，β的代数式表示）；
②作∠ECD的平分线交AB于点G，连接GE，AG平分于∠CGE（如图3）．若∠AEG＝130°，α+β＝80°，分别求出α，β的度数．
【答案】（1）解：如图1，过点E作MN∥AB．
∵AB∥MN，
∴∠AEM＝∠EAB＝35°．
∵AB∥CD，AB∥MN，
∴MN∥CD．
∴∠MEC＝∠ECD＝25°．
∴∠AEC＝∠AEM+∠MEC＝35°+25°＝60°．
（2）解：①如图2，
∵AB∥CD，
∴∠EFB＝∠ECD＝β．
又∵∠EFB＝∠EAB+∠AEC，
∴∠AEC＝∠EFB﹣∠EAB＝β﹣α．
②如图3，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2．
又∵CG平分∠ECD，
∴∠ECG＝∠1＝．
∴∠ECG＝∠2．
∵AG平分于∠CGE，
∴∠2＝∠3．
∴∠3＝∠ECG＝．
∵∠AEG＝130°，
∴∠EAB+∠3＝180°﹣∠AEG＝50°．
∴＝50°．
又∵α+β＝80°，
∴α=20°，β＝60°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质先求出 ∠AEM＝∠EAB＝35°，再求出MN∥CD，最后计算求解即可；
（2）①先求出∠EFB＝∠ECD＝β，再根据∠EFB＝∠EAB+∠AEC， 计算求解即可；
②根据角平分线的定义先求出 ∠ECG＝∠1＝，再求出 ＝50°，最后计算求解即可。
23．（2022七下·高阳期末）如图1，已知，点，分别在射线和上，在内部作射线，，使平行于．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）小颖发现，在内部，无论如何变化，的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值；
（3）①如图3，把图1中的改为，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系；
②如图4，已知，点，分别在射线，上，在与内部作射线，，使平行于，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）解：过点作
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
（2）解：过点作
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
（3）解：①
②
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【分析】（1）过F作FM∥AB，则FM∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠FAB+∠1=180°，∠HCD=∠2，结合∠1的度数可求出∠FAB的度数，然后根据∠HCD=∠2=∠EFH-∠1进行计算；
（2）过点F作FN∥AB，则FN∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠FAB+∠1=180°，∠HCD=∠2，结合∠1的度数可求出∠FAB的度数，根据∠EFH=90°可得∠1+∠2=90°，代入化简即可；
（3）①②根据（1）（2）的过程进行解答.
24．（2023七下·晋安期中）如图，直线，直线与，分别交于点，，.小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，.
（1）填空； （填“”“ ”或“=” ）；
（2）若的平分线交直线于点，如图②.
①当，时，求的度数；
②小安将三角板沿直线左右移动，保持，点、分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）.
【答案】（1）=
（2）解：①，，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
②点在的右侧时，如图②，
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
；
点在的左侧时，如图，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
，
综上所述，的度数为或.
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）过点作，
，
，
，
，
，
故答案为：=.
【分析】（1）过P点作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠PNB=∠NPQ，∠PMD=∠QPM，则∠PNB+∠PMD=∠NPQ+∠QPM，据此解答；
（2）①根据平行公理及推论可得PO∥PM，根据平行线的性质可得∠ONM=∠NMP=60°，由角平分线的概念可得∠ANO=∠ONM=60°，由平行线的性质可得∠NOM=∠ANO=60°，据此解答；
②点N在点G的右侧时，根据平行线的性质可得∠EHD=∠PMD=α，则∠NMD=60°+α，由平行线的性质可得∠ANM=∠NMD=60°+α，由角平分线的概念可得∠ANO=30°+α，根据平行线的性质可得∠MON=∠ANO，据此解答；当点N在点G的左侧时，同理进行解答.
25．（2023七下·洪山期中）如图，已知直线.
（1）在图1中，点E在直线上，点F在直线上，点G在之间，若，，则 ；
（2）如图2，若平分，延长交于点M，且，当时，求的度数；
（3）在（2）的条件下，若绕E点以每秒转动4°的速度逆时针旋转一周，同时绕F点以每秒转动1°的速度逆时针旋转，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当 秒时，.
【答案】（1）45°
（2）解：∵平分，，
∴可设，
如图2所示，过G作，过N作，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）8或68
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）如图1所示，过G作，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：；
（3）解：根据题意，，
如图，根据题意，，
∵，，
∴
∴
解得，
如图，根据题意，，
∵，，
∴
∴
解得，
综上，或
【分析】（1）过G作GH∥AB，则GH∥AB∥CD，由平行线的性质可得∠1=∠EGH，∠2=∠FGH，然后根据∠1+∠2=∠EGF进行计算；
（2）根据角平分线的概念可设∠AEM=α，则∠NEM=2α，∠CFN=∠GFN=β，过G作GP∥CD，过N作NQ∥AB，则NQ∥AB∥CD∥PG，由平行线的性质可得∠QNF=∠CFN=β，∠QNE=∠AEN=3α，∠PGE=∠AEM=α，∠PGF=∠DFG=180°-2β，由角的和差关系可得∠FNE=β-3α，∠FGE=α+180°-2β，结合已知条件可得β的度数，据此解答；
（3）根据题意可得∠AEF=4t°，∠GFH=t°，由平行线的性质可得∠AET=∠ETC=∠HFD=4t°，据此求解；同理可得∠AEA′=(360-4t)°，∠GFW=t°，由平行线的性质可得∠AEA′=∠FKE=(360-4t)°，∠WFK+∠FKE=180°，据此求解.
