机密★启用前
高三模拟考试（1）
数学（理科）
本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知随机变量，若，则（ ）
A. 0.2 B. 0.3
C. 0.5 D. 0.7
3.已知,,,则（ ）
A. B.
C. D.
4.2016年1月6日，中国物流与采购联合会正式发布了中国仓储指数.中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系.如图所示的折线图是2021年甲企业和乙企业的仓储指数走势情况.根据该折线图，下列结论中不正确的是（ ）
A. 2021年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动大
B. 甲企业2021年的年平均仓储指数明显低于乙企业2019年的年平均仓储指数
C. 两企业2021年的最大仓储指数都出现在4月份
D. 2021年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅高于甲企业
5.设且则( )
A. B.
C. D.
6.已知双曲线:的右焦点为,若存在过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点,与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点,且,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知定义在区间上的函数,若函数有无穷多个零点,则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知椭圆:的左焦点为,上顶点为,离心率为,直线与抛物线:交于,两点,则（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中点表示十月的平均最高气温约为，点表示四月的平均最低气温约为.下面叙述正确的有（ ）
A．各月的平均最低气温都在以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于的月份有5个
10.已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近，若取，侧棱长为米，则（ ）
A．正四棱锥的底面边长为6米 B．正四棱锥的底面边长为3米
C．正四棱锥的侧面积为平方米 D．正四棱锥的侧面积为平方米
12．以罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为，函数在区间上的“中值点”的个数为，则有（ ）(参考数据：，，，.)
A． B． C． D．
三．填空题（本大题共 4小题，每空 5 分，共 20 分）.
13. 已知 z a bi（i 是虚数单位），a b 2022，则 z 的最小值是________________.
14.一个直角三角形的三边边长构成等比数列，斜边为第三项，则该等比数列公比q 是 ___________.（结果可保留根号）
15.从右图钟表的 12 个数字中选 3 个不同的数字作为三角形的三边长，能构成__________-个三角形，其中有_________个钝角三角形.
16.点 P：（20，22）到椭圆 上一点的距离的最小值是____________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.在①：②；③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，___________，___________？
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.
18.已知等差数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为.若，(为偶数)，求的值.
19．如图，已知四边形和均为直角梯形，，，且，..
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．某贫困村有161个贫困户，帮扶单位为了帮助他们脱贫，提出了两种帮扶措施，通过帮扶单位的帮助种植中草药和通过帮扶单位介绍外出务工，已知选择种植中草药的有56户，选择外出务工的有105户，两年后，记录两种帮扶措施的收入情况，得到统计数据如表所示．
收入不高于10万元 收入高于10万元 合计
种植中草药 14 42 56
外出务工 35 70 105
合计 49 112 161
为了更好地落实精准帮扶政策，民政部门从161个贫困户中按照分层抽样的方式抽取容量为m的样本进行调研，为使数据更加精准，兼顾“种植中草药或外出务工”“收入高于10万元或不高于10万元”进行分层，若抽取到“种植中草药且收入不高于10万元”的户数为4，求m．
计算有没有以上的把握认为“两年收入是否高于10万元”与“种植中草药或外出务工”有关结果精确到．
春节前，该村对口扶贫单位--某中医院为村民们送来年货，另外，还专门为种植中草药的村民准备了抽奖活动，已知抽奖箱中共有20张券，其中10张有奖，10张无奖，种植中草药的村民有放回地抽取3次，设X为某中草药种植户抽取到有奖奖券的次数，写出X的分布列，并求数学期望值．
附：，其中．
21．已知椭圆的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值.
22．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在有零点，求证：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
高三教学质量检测考试（1）
数学（理科）答案与解析
【答案】A
【分析】
化简集合,根据交集定义即可求得答案.
【详解】
又
故选:A
【点睛】本题考查了集合的交集,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于基础题.
2.【答案】B
【解析】
【分析】
由随机变量,当,结合,即可求得,根据正态分布的对称性,即可求得答案.
【详解】 随机变量
当
又 ,可得
根据正态分布的对称性可得:
故选:B.
【点睛】本题主要考查正态分布的对称性,意在考查对基础知识的掌握与应用,属于基础题.
3.【答案】C
【解析】
【分析】
因为,,由得:,即可求得答案.
【详解】 根据图像可知:
又 ,
根据图像,由
综上所述,.
故选:C.
【点睛】本题考查比较数值大小,这类大小比较一般是借助中间值,与中间值比较后可得它们的大小关系.
4.【答案】D
【解析】
【分析】
先对图表数据分析处理,再结合简单的合情推理,对每个选项逐一判断即可得到答案.
【详解】对于A,从图可以看出, 2021年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动大,故A结论正确;
对于B,从图可以看出,甲企业2021年的年平均仓储指数明显低于乙企业2019年的年平均仓储指数,故B结论正确;
对于C,从图可以看出,两企业2021年的最大仓储指数都出现在4月份,故C结论正确;
对于D,从图可以看出,2021年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅低于甲企业,故D结论错误.
故选:D.
【点睛】本题考查了折线图,掌握折线图相关知识是解题关键,考查了分析能力,属于基础题.
5.【解析】由
,又,,故,即.
【答案】C
6.【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意画出其几何图像,设,根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点,且则,,若存在过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点,需保证,根据双曲线的渐近线为,则,即可求得离心率范围.
【详解】根据题意画出其几何图像:
设,根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点,且
,
若存在过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点,需保证
,则
根据双曲线的渐近线为,则
根据双曲线的离心率
根据双曲线的离心率
故选:B.
【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围问题,解题关键是根据已知条件画出其几何图像,数形结合.考查分析能力和计算能力,属于中档题.
7.【答案】C
【解析】
【分析】
因为定义在区间上的函数,画出其函数图像,求函数零点个数,即求交点个数,即可求得实数的取值范围.
【详解】 求函数零点个数, 即求与交点个数
因为定义在区间上的函数
令,则
令,则
画出和,图像:
由图像可知实数的取值范围在时,交点个数是无穷多个.
故选:C.
【点睛】本题考查了分段函数和方程零点问题.解题关键是画出其函数图像,结合函数图像,将函数的求零点问题转化图像交点问题,考查了分析能力和理解能力,属于中档题.
8.【答案】D
【解析】
【分析】
设点,,由题意可知,故,设的中点坐标为,由中点坐标公式和点差法即可求得答案.
【详解】设点,
由题意可知，
，
设的中点坐标为，
由中点坐标公式:
┄①,┄②
由①-②,点差法可得:，即，
又:,故，
，
.
故选:D.
【点睛】本题考查求椭圆方程与抛物线方程,解题关键是掌握椭圆和抛物线的相关知识,和熟练使用点差法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
9.【答案】ABC
【详解】
对于选项A，由图易知各月的平均最低气温都在以上，A正确；
对于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；
对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为，所以C正确；
对于选项D，平均最高气温高于的月份有七月 八月，共2个月份，故D错误.
故选：ABC.
10.【答案】ABD
【详解】
因为
令，得，故选项A正确；
令，得，
所以，故选项C正确；
易知该二项展开式的通项 ，所以，故选项B正确；
对两边同时求导，得，
令，得，故选项C错误.
11.【答案】AC
【详解】
如图，在正四棱锥中，
O为正方形的中心，为的中点，
则，
设底面边长为．
因为，
所以．
在中，，
所以，底面边长为6米，
平方米．
12.【答案】BC
【详解】
设函数在区间上的“中值点”为
由，
则由拉格朗日中值定理可得：
又
即
所以，
作出函数和的图象,如图1.
由图可知，函数和的图象在上有两个交点.
所以方程在上有两个解，即函数在区间上有2个“中值点”.
所以
又，函数在区间上的“中值点”为 ，
则由拉格朗日中值定理可得：
即，
作出函数与的图象，如图2
, 当时，
由图可知，函数与的图象在区间上有1个交点.
即方程在区间上有1个解.
所以函数在区间上有1个“中值点”，即
故选：BC
13.
16
.
17.【答案】答案见解析
【详解】
选择条件①和②.
因为，所以，
由余弦定理，得.
因为，所以.
因为，所以，
所以，
所以.
因为，所以.
在中，由正弦定理，得.
所以.
选择条件①和③.
因为，所以.
由余弦定理，得.
因为，所以.
因为，且，
所以.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以，可得.
所以在中，.
选择条件②和③.
因为，
所以，
所以.
所以或.
因为，，
所以或.
又因为，且，
所以.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以，可得.
在中，，所以，，.
所以为等腰直角三角形，所以.
18.【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）设等差数列的公差为d，
因为，所以
即
解得，所以.
经检验，符合题设，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，，
所以.
，∴，
因为，，
所以，即.
因为为偶数，所以.
19.【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】
（1）证明：在平面中，过作于，交于，连，
由题意知，，且，
∵，，
故四边形为平行四边形，∴，
又平面，平面，
故平面.
（2）由题意知平面，在平面内过点作交于，
以为原点，，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
不妨设，则.
且，，，，
设平面的法向量，
则由得
取，得，
易知平面的一个法向量为
，
所以二面角的余弦值为.
20.【答案】（1）；（2）没有；（3）详见解析.
【详解】
由题意可知：抽样共分4层故，解得．
．
故没有以上的把握认为“两年收入是否高于10万元”与“种植中草药或外出务工”有关．
由题意可得：每人每次抽到有奖奖券的概率为，可得：，X可能取值为0，1，2，3．
，，同理可得：，，
可得分布列：
X 0 1 2 3
P
．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
21.【详解】
（1）因为椭圆的焦距为，所以，
又椭圆过点，，且满足，
可得，，椭圆的标准方程为：；
（2）设点、，，
由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为，
联立，可得，
由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点，
由韦达定理可得，，
，，，
得，，
，，
.
22.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析.
【详解】
（1）解：
①当时，，在R上单调递增；
②当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增
（2）（ⅰ）由题意可得，
要证明，只要证明，
设，
，
所以在上递增，所以，得证．
要证明，只要证明，
设，
，
，
，
所以，所以，
当时，，，得证．
（ⅱ）因为，所以，
又在上单调递增，，
设，
，且，
设，则
，递增，即递增，
故，
所以，．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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