人教B版（2019）选择性必修第二册《4.2.5 正态分布》提升训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）某地区教学考试的成绩，成绩位于区间的概率是
参考数据
．
A. B. C. D.
2.（5分）已知变量服从正态分布，下列概率与相等的是
A. B. C. D.
3.（5分）在某次学科知识竞赛中总分分，若参赛学生成绩服从，若在内的概率为，则落在内的概率为
A. B. C. D.
4.（5分）已知随机变量服从正态分布，下列概率与相等的是
A. B.
C. D.
5.（5分）已知随机变量，且，，则与的值分别是
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.（5分）已知随机变量，且，则
A. B. C. D.
7.（5分）在某次数学考试中，高二名学生成绩服从正态分布，若低于分的概率为，则成绩在分分之间的学生人数为
A. B. C. D.
8.（5分）已知随机变量服从正态分布，若，则
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）甲、乙两类水果的质量单位： 分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是
A. 甲类水果的平均质量
B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数
10.（5分）已知某校高三年级有人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分服从正态分布，参考数据：
B. 这次考试标准分在内的人数约为
C. 甲、乙、丙三人恰有人的标准分超过分的概率为
D.
参考数值：随机变量服从正态分布，则，
，
A. B.
C. D.
12.（5分）随机变量服从正态分布，则下述正确的是
A. B.
C. D.
13.（5分）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知正态分布密度曲线，且，则方差为______．
15.（5分）已知随机变量服从正态分布，，则的值为 ______ ．
16.（5分）随机变量，且，则______．
17.（5分）已知随机变量且，则______.
18.（5分）已知某省年高考理科数学平均分近似服从正态分布，则______ .
附：，
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）某工厂为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了件进行检测，质量指标分值如下：，，，，，，，，，，并计算出样本质量指标平均数为，标准差为生产合同中规定：质量指标在分以上的产品为优质品，一批产品中优质品的占比不得低于
从这件样品中任意抽取件，求恰有件优质品的概率；
根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样品平均数，近似为样本方差，那么这批产品中优质品的占比是否满足生产合同的要求？请说明理由.
附：若，则，
20.（12分）年月日，《固体废物污染环境防治法修订草案》初次提请全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定草案提出，国家推行生活垃圾分类制度为了了解人民群众对垃圾分类的认识，某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分满分：分数据，统计结果如下表所示：
得分
频数
由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值同一组数据用该组区间的中点值作为代表，请利用正态分布的知识求；
在的条件下，市环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
获赠的随机话费单位：元
概率
现市民小王要参加此次问卷调查，记单位：元为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望.
附：①；
②若，则，，
21.（12分）网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一年初以来，我国网络正在大面积铺开市某调查机构为了解市民对该市网络服务质量的满意程度，从使用了手机的市民中随机选取了人进行了问卷调查，并将这人根据其满意度得分分成以下组：，，，，，统计结果如图所示：
由直方图可认为市市民对网络满意度得分单位：分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得若市恰有万名手机用户，试估计这些手机用户中满意度得分位于区间的人数每组数据以区间的中点值为代表；
该调查机构为参与本次调查的手机用户举行了抽奖活动，每人最多有轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为每一轮抽奖，若中奖，奖金为元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动．
求小王获得元话费的概率；
求小王所获话费总额的数学期望结果精确到．
参考数据：若随机变量服从正态分布，即，则，．
22.（12分）为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下的频率分布表：
周末运动时间分钟
人数
从周末运动时间在的学生中抽取人，在的学生中抽取人，现从这人中随机推荐人参加体能测试，记推荐的人中来自的人数为，求的分布列和数学期望；
由频率分布表可认为：周末运动时间服从正态分布，其中为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得可以用该样本的频率估计总体的概率，现从扬州市所有高中生中随机抽取名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求精确到；
参考数据：当时，，，．
参考数据：，．
23.（12分）为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取只小白鼠，并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分布直方图以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率：
根据频率分布直方图，估计只小白鼠该项医学指标平均值同一组数据用该组数据区间的中点值表示；
若认为小白鼠的该项医学指标值服从正态分布，且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有只小白鼠又产生了抗体．这里近似为小白鼠医学指标平均值，近似为样本方差经计算得，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率精确到
附：参考数据与公式
，若，则
①；
②；
③
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
该题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，解答该题的关键是注意利用正态曲线的对称性．
根据考试的成绩，得到曲线关于对称，根据原则知，得到结果．
解：考试的成绩，
曲线关于对称，
根据原则知，
故选D．
2.【答案】B;
【解析】解：由变量服从正态分布可知，为其密度曲线的对称轴，因此．
故选B．
由变量服从正态分布可知，为其密度曲线的对称轴，即可求出答案．
该题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对正态分布的对称性有充分的认识．
3.【答案】B;
【解析】解：服从，
，
又，
．
故选：．
根据正态分布的对称性求出答案．
该题考查了正态分布的性质，属于基础题．
4.【答案】A;
【解析】
此题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
由已知求得正态分布曲线的对称轴，再由正态分布曲线的对称性得答案．
解：变量服从正态分布，正态分布曲线的对称轴为，
由正态分布曲线的对称性可知，
故选：
5.【答案】A;
【解析】解：随机变量，且，，
，且，
解得，．
故选A．
由条件随机变量，可得，且，解方程组，即可求得和的值．
这道题主要考查二项分布的期望与方差的求法，利用，，得到 ，且是解答该题的关键，属于基础题．
6.【答案】B;
【解析】解：因为随机变量，且，
所以，
所以
故选：
利用正态分布曲线的对称性进行分析求解即可．
此题主要考查了正态分布曲线的应用，解答该题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，考查了运算能力，属于基础题．
7.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了正态分布的性质以及概率，属于基础题.
由对称性可得概率.
解：成绩服从正态分布，
则正态曲线对称轴为，
若低于分的概率为，可得大于分的概率为，
则的概率为，
即的概率为，
则估计高二名学生成绩在分分之间的学生人数为
故选
8.【答案】C;
【解析】解：随机变量服从正态分布，
正态分布曲线的对称轴为，
又，
，
故选：
由已知得到正态分布曲线的对称轴，再由已知结合正态分布曲线的对称性求解．
此题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
9.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查正态分布图象性质及概率计算，属基础题目.
对选项逐一判断即可.
解：由图象可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称，所以，，，故正确，正确；
因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故正确；
因为乙图象的最大值为，即，所以，故错误．
故选
10.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查正态分布曲线性质及概率计算，属中档题 .
对选项逐一分析即可.
解：由题意服从正态分布，
，，故不正确，
，
，故正确；
，
甲、乙、丙三人恰有人的标准分超过分的概率，故正确；
因为，
，
所以，
故不正确，
故选
11.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
根据变量符合正态分布，和所给的和的值，根据原则，得到，又，即可得到结果．
解：随机变量服从正态分布，曲线关于对称，
，，故正确，错误，
根据题意可得，，，
，故正确；
故错误．
故选
12.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查了正态分布密度曲线的性质，掌握性质是解答该题的关键，属于基础题.
利用随机变量正态分布的性质逐一判断即可.
解：由随机变量服从正态分布，
所以，，
所以，，故正确；错误；
根据正态分布密度曲线的对称性，
，
，
即，
所以，
故正确；错误.
故选
13.【答案】BD;
【解析】解：因为是对称轴，观察图象可知：，
而与的图象可以相互平移得到，且的图象显得更“矮胖”，
故
故选：
根据正态分布曲线的性质，即对称轴为；表示的是标准差，反映在图象的“高瘦”或“矮胖”，由此作出选择．
本题是一个识图问题，主要考查正态分布曲线的性质．属于基础题．
14.【答案】2;
【解析】解：由题意，
由此得，
，
故答案为：．
由题意，求出，即可得到方差．
由于正态分布是由其平均数和标准差唯一决定的，所以学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数和标准差这两个关键量；结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．
15.【答案】;
【解析】解：随机变量服从正态分布，，
正态曲线的对称轴，
．
故答案为．
根据随机变量服从正态分布，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴，根据正态曲线的特点，得到，得到结果．
此题主要考查正态分布，正态曲线的特点，若一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布．
16.【答案】0.15;
【解析】解：随机变量，，
又，，
．
故答案为：．
由已知求得，再由求解．
该题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
17.【答案】0.2;
【解析】解：由且，
得
故答案为：
根据正态分布曲线的对称性列式即可求解．
此题主要考查正态分布曲线的特点及对称性，是基础题．
18.【答案】0.8186;
【解析】解：因为近似服从正态分布，
则，，
所以
，
故答案为：
由已知求出，，然后根据公式即可求解．
此题主要考查了正态分布的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：（Ⅰ）因为样本质量指标平均数为53.7，所以=69，
因为质量指标在63分以上的产品为优质品，
故优质品有2件，所以10件产品中优质品的概率为=，
记任取2件，优质品数为Y，
则Y～B（2，），
所以P（Y=1）==．
（Ⅱ）记这种产品的质量指标为X，由题意可知，
X～N（53.7，9.92），
则P（43.8＜X≤63.6）=P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6827，
因为P（X＞63）≥P（X≥63.6）=，
所以有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的需要．;
【解析】
先求出件产品中优质品的概率，然后利用二项分布求解即可；
记这种产品的质量指标为，，利用正态曲线的对称性求解，由此分析判断即可．
此题主要考查了古典概型概率公式的应用，二项分布以及正态分布的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得
又，，
所以
根据题意，可以得出所得话费的可能值有，，，元，
得元的情况为低于平均值，概率，
得元的情况有一次机会获元，次机会个元，
概率，
得元的情况为两次机会，一次元一次元，
概率，
得元的其概况为两次机会，都是元，
概率为
所以变量的分布列为：
所以其期望为;
【解析】此题主要考查了频率分布表的应用，正态分布的概率的计算，离散型随机变量的分布列、数学期望以及正态分布等基础知识，也考查了运算求解能力，是中档题．
由题意计算平均值，根据和正态分布的性质可得答案；
由题意知的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．
21.【答案】解：（1）由题意知样本平均数为，
所以（μ-σ，μ+2σ）=（70.5-14.31，70.5+2×14.31）=（56.19，99.12），
而，
故2万名5G手机用户中满意度得分位于区间（56.19，99.12]的人数约为20000×0.8186=16372（人）．
（2）（ⅰ）小王获得900元话费表明其前9轮连续中奖且第10轮未中奖，故所求的概率为：
．
（ⅱ）由题意可求得
所以．
令，①
则，②
由①-②得，
所以，
所以小王所获话费总额X的数学期望：
=（元）．;
【解析】
由频率分布直方图求得样本平均数，再由正态分布公式进行计算即可；
根据概率计算公式进行计算；
由题意可求得利用错位相减法即可求得．
此题主要考查频率分布直方图，正态分布，概率的求法以及离散型随机变量的期望，考查错位相减法求和的应用，属于中档题．
22.【答案】解：（1）随机变量X的可能取值为0，1，2，，
X 0 1 2
P
所以．
（2），
又43.9=58.5-14.6=μ-σ，87.7=58.5+14.6×2=μ+2σ，
所以，
所以P（t≤μ-σ或t＞μ+2σ）=1-0.8186=0.1814，
所以Y～B（10，0.1814），
所以≈45×0.033×0.202≈0.300．;
【解析】
随机变量的可能取值为，，，求出分布列，然后求解期望．
求出对称轴，结合正态分布，求解或，说明，即可求解．
此题主要考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
23.【答案】解：
；
，
，
记事件表示首先注射疫苗后产生抗体，
，，
因此只小鼠首先注射疫苗后有只产生抗体，
有只没有产生抗体.
故注射疫苗后产生抗体的概率
;
【解析】此题主要考查了频率分布直方图、离散型随机变量的期望和正态分布的概率计算，是中档题.
先得出频率分布表，由各组组中值与对应频率乘积的和，可得；
由正态分布可得，可得只小鼠首先注射疫苗后产生抗体的只数，由古典概型公式一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率.
