人教B版（2019）选择性必修第二册《3.1 排列与组合》提升训练2
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）一个五位自然，，，，，，，当且仅当，时称为“凹数”如，等，则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为
A. B. C. D.
2.（5分）某医院派出名医生去到个社区宣传防控新冠肺炎疫情知识，每个社区至少安排位医生，则共有种不同的安排方法
A. B. C. D.
3.（5分）年是中国共产党百年华诞某学校社团将举办庆祝中国共产党成立周年革命歌曲展演现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《唱支山歌给党听》《毛主席派人来》首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》《我和我的祖国》首合唱歌曲中共选出首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有
A. B. C. D.
4.（5分）把个不同小球放入个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.（5分） 一个包内装有本不同的科技书，另一个包内装有本不同的科技书，从两个包内任取一本的取法有种．
A.
B.
C.
D.
6.（5分）《中国诗词大会》节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为宗旨，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识竞赛．现组委会要从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取人进行比拼，记“甲被选上且乙不被选上”为事件，则事件的概率为
A. B. C. D.
7.（5分）某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排名，周五安排名，则不同的安排方法共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.（5分）甲乙两人从门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有门不相同的选法共有种．
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）下列说法正确的是
A. 空间中有个点，其中任何个点不共面，过每个点作一个平面，可以作个平面
B. 平面内有条直线，它们最多有个交点
C. 以正方体的顶点为顶点的三棱锥有个
D. 平面内有两组平行线，一组有条，另一组有条，这两组平行线相交，可以构成个平行四边形
10.（5分）从，，，，中任取个不同的数，事件：“取到的个数之和为偶数”，事件：“取到的个数均为偶数”，则下列说法正确的是
A. B.
C. D.
11.（5分）已知，则可能的取值是
A. B. C. D.
12.（5分）第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，小赵、小李、小罗、小王、小张为五名志愿者，现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有
A. 若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有种
B. 若每项工作至少安排一人，则有种不同的方案
C. 若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有种不同的方案
D. 已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排人，后排人，后排要求身高最高的站中间，则有种不同的站法
13.（5分），，、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有
A. 若、不相邻共有种方法
B. 若、两人站在一起有种方法
C. 若在左边有种排法
D. 若不站在最左边，不站最右边，有种方法
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）如图，一个地区分为个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 ______种以数字作答
15.（5分）从名男医生．名女医生中选名医生组成一个医疗小分队，要求其中男．女医生都有，则不同的组队方案共有______种 数字回答．
16.（5分）有、两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作种车床，现从三名工人中选两名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有__________种．
17.（5分）若将名学生分配到个不同的社团，且每个社团至少有一名学生，则共有分配方法______种．
18.（5分）求值：______，______.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）两位老师甲、乙和四位学生站成一排．
四名学生必须排在一起，共有多少种排法？
两位老师不能相邻，共有多少种排法？
最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，共有多少种排法？
20.（12分）现有本不同的数学书，本不同的语文书，本物理书，将这本书放在书架的同一层上.
本语文书相邻，且不与物理书相邻，则共有多少种排法？
同一类书都不相邻的排法有多少种？
21.（12分）有名男医生，名女医生．
选名男医生，名女医生，让这名医生到个不同地区去巡回医疗，共有多少种不同方法？
把名医生分成两组，每组人且每组都要有女医生，则有多少种不同分法？若将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正副组长两人，又有多少种不同方案？
22.（12分）如图，从左到右有个空格．
若向这个格子填入，，，，五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填，则一共有多少不同的填法？
若给这个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？
若向这个格子放入个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？
23.（12分）人站成两排队列，前排人，后排人．
一共有多少种站法；
现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，求有多少种不同的加入方法．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
本题是一个分类计数问题，数字中的值最小是，最大是，因此需要把的值进行讨论，两边选出数字就可以，没有排列，写出所有的结果相加．
该题考查分类计数问题，考查利用列举得到所有的满足条件的结果数，本题要注意在确定中间一个数字后，两边的数字只要选出数字，顺序就自然形成，不用排列．
解：由题意知本题是一个分类计数问题，
数字中的值最小是，最大是，因此需要把的值进行讨论，
当时，前面两位数字可以从其余个数中选，有种结果，后面两位需要从其余个数中选，有种结果，共有种结果，
当时，前面两位数字可以从其余个数中选，有种结果，后面两位需要从其余个数中选，有种结果，共有种结果，
当时，前面两位数字可以从其余个数中选，有种结果，后面两位需要从其余个数中选，有种结果，共有种结果，
当时，前面两位数字可以从其余个数中选，有种结果，后面两位需要从其余个数中选，有种结果，共有种结果，
根据分类计数原理知共有．
故选：．
2.【答案】A;
【解析】
此题主要考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
分类分析：①将名医生平均分成组，分配到个社区，②将名医生分成组，各组人数分别为，，人，分配到个社区，③将名医生分成组，各组人数分别为，，人，分配到个社区，故可得答案
解：①将名医生平均分成组，分配到个社区，共有种，
②将名医生分成组，各组人数分别为，，人，分配到个社区，共有，
③将名医生分成组，各组人数分别为，，人，分配到个社区，，
共有，
故选
3.【答案】D;
【解析】解：根据题意，在首合唱歌曲中任选首，安排在最后，有种安排方法，
在其他首歌曲中任选首，作为前首歌曲，有种安排方法，
则有种不同的安排方法，
故选：
根据题意，分步进行分析：先在首合唱歌曲中任选首，安排在最后，再从其他首歌曲中任选首，作为前首歌曲，由分步计数原理计算可得答案．
此题主要考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
4.【答案】D;
【解析】解：根据题意，分步进行分析：
①、把个小球分成组，其中一组只，剩余组各只，分组方法有种．
②、再把这组小球全排列，对应放入个不同盒子，有种．
再根据分步计数原理可得所有的不同方法共有种，
故选：
根据题意，分步进行分析：①、把个小球分成组，其中一组只，剩余组各只，②、再把这组小球全排列，对应个盒子，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
此题主要考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
5.【答案】C;
【解析】
该题考查分类计数原理，属基础题．由分类计数原理可得．
解：从装有本不同的科技书的书包内任取一本有种方法，
从装有本不同的科技书的书包内任取一本有种方法，
由分类计数原理可得从两个书包中任取一本书的取法共有种，
故选：．
6.【答案】A;
【解析】 此题主要考查古典概型的概率计算问题，属于基础题.
找到从五位候选参赛者中随机抽选两人事件总数共计种，而事件“甲被选上且乙不被选上”
计为种，由古典概型的概率计算公式便可计算出事件发生的概率.
解：从五位候选参赛者中随机抽选两人事件总数种，
事件“甲被选上且乙不被选上”事件数计为种，
事件发生的概率
故选
7.【答案】B;
【解析】解：根据题意，分步进行分析：
①在名干部中任选人，安排到周五，有种安排方法，
②将剩下的人全排列，安排到周一至周四这四天，有种情况，
则有种安排方法，
故选：．
根据题意，分步进行分析：①在名干部中任选人，安排到周五，②将剩下的人安排到周一至周四这四天，由分步计数原理计算可得答案．
该题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
8.【答案】A;
【解析】解：甲、乙所选的课程中至少有门不相同的选法可以分为两类：
、甲、乙所选的课程中门均不相同，甲先从门中任选门，乙选取剩下的门，有种．
、甲、乙所选的课程中有且只有门相同，分为步：从门中先任选一门作为相同的课程，有种选法；甲从剩余的门中任选门乙从最后剩余的门中任选门有种选法，由分步计数原理此时共有种．
综上，由分类计数原理，甲、乙所选的课程中至少有门不相同的选法共有种．
故选：．
“至少门不同”包括两种情况，两门均不同和有且只有门相同，再利用分步计数原理，即可求得结论．
该题考查排列组合知识，合理分类、正确分步是解答该题的关键．
9.【答案】AD;
【解析】解：对于，一个平面对应着从个点中取出个点的一个组合，故可以作个不同的平面，故正确；
对于，每一条线都可以与另外的条线相交，最多就有个交点，但都重复了一次，所以最多共有个交点，故不正确；
对于，首先从个顶点中选个，共有种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，个表面有个四点共面，个对角面有个四点共面，
所以满足条件的结果有个，故不正确；
对于，先从第一组条平行线中任选条作为平行四边形的一组对边，有种取法，再从另一组条平行线中任选条作为平行四边形的另一组对边，有种取法，所以可以构成个平行四边形，故正确，
故选：
利用排列组合知识逐个分析各个选项即可．
此题主要考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，属于中档题．
10.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查条件概率的求法，是基础题.
根据条件概率的公式，分别求解即可得.
解：依题意得，，，
，故正确；
，故正确；
又因为：“取到的个数之和是奇数”，：“取到的个数不全是偶数”，：“取到的个数均是奇数”
则与互斥，故，故不正确；
，
所以，故正确.
故选
11.【答案】CD;
【解析】
此题主要考查排列组合数的计算，属于基础题
解题时先得到，然后即可确定的值.
解：，
因为，所以可知或
故选
12.【答案】BCD;
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若五人每人可任选一项工作，则每人都有种选法，则人共有种选法，错误，
对于，分步分析：先将人分为组，将分好的组安排四项不同的工作，有种分配方法，正确，
对于，分步分析：在人中任选人，安排礼仪工作，有选法，再将剩下人安排剩下剩下的三项工作，有种情况，
则有种不同的方案，正确，
对于，分步分析：在人中任选人，安排在第一排，有排法，剩下人安排在第二排，要求身高最高的站中间，有种排法，
则有种不同的方案，
故选：
根据题意，由排列组合数公式依次分析选项，综合即可得答案．
此题主要考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
13.【答案】ACD;
【解析】解：对于：把、插入到、、所形成的个空中，共有种方法，故正确；
对于：把、捆绑在一起和插入到、、全排，共有种方法，故不正确；
对于：在左边，则有种，故正确；
对于：利用间接法种方法，故正确．
故选：
根据题意，由分类、分步计数原理依次分析选项，即可得答案．
此题主要考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
14.【答案】420;
【解析】解：按数字顺序所标区域涂色，
①当与两个区域分颜色相同时共有的涂色方法数为：；
②当与两个区域分颜色不相同时共有的涂色方法数为：；
满足题意的总涂色方法数为：
故答案为：
根据两个计数原理，对与两个区域分颜色相同和不相同即可求解．
此题主要考查两个计数原理，分类讨论思想，属基础题．
15.【答案】70;
【解析】解：直接法：一男两女，有种，
两男一女，有种，共计种
间接法：任意选取种，其中都是男医生有种，
都是女医生有种，于是符合条件的有种．
故答案为：．
不同的组队方案：选名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．
直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法，这种问题是排列组合中典型的问题，注意表示过程中数字不要弄混．
16.【答案】;
【解析】若选甲、乙两人，则有甲操作车床，乙操作车床或甲操作车床，乙操作车床，共有种选派方法；若选甲、丙两人，则只有甲操作车床，丙操作车床这种选派方法；若选乙、丙两人，则只有乙操作车床，丙操作车床这种选派方法． 共有种不同的选派方法．
17.【答案】240;
【解析】解：将名学生分配到个不同的社团，且每个社团至少有一名学生，则有名学生到同一个社团，把这人看做一个复合元素，再分配到个不同的社团，
有种，
故答案为：．
利用分步计数原理计算出答案．
该题考查组合、排列的综合运用，解题时，注意加法原理与乘法原理的使用．
18.【答案】1320 6720;略;
【解析】解：，
故答案为：；
根据已知条件，结合排列及排列数公式，即可求解．
此题主要考查排列及排列数公式，属于基础题．
19.【答案】解：（1）先把四位学生捆绑再一起看作一个复合元素，再和两位老师全排，故有A33A44=144种，
（2）将两位老师插入到把四位学生排列后所成的空中，故有A44A52=480种，
（3）第一类，最左端排甲，其余任意排，有A55种，
第一类，最左端排乙，最右端从不包含甲的剩余4人选一个，其余任意排，有A41A44种，
故有A55+A41A44=216种．;
【解析】
相邻问题用捆绑，先把四位学生捆绑再一起看作一个复合元素，再和两位老师全排，即可求出，
不相邻问题用插空，将两位老师插入到把四位学生排列后所成的空中，即可求出，
特殊元素优先安排，根据分类计数原理可得．
该题考查排列组合的实际应用，本题解答该题的关键是不相邻问题采用插空法，相邻问题采用捆绑法，属于中档题．
20.【答案】解：把本不同的数学书排列， 将本不同的语文书捆绑排列 ， 本语文书相邻，且不与物理书相邻，本不同的语文书捆绑和物理书插空，从个空中选个，故有种；
根据题意，分步进行分析：
①、将本书进行全排列，有种情况，
②、其中语文书相邻的情况有种，数学书相邻的情况有种，语文、数学书同时相邻的情况有种，
则同一类书均不相邻的排法有种；;
【解析】此题主要考查排列组合的应用，属于一般题.
利用捆绑法、插空法即可得答案；
通过间接法，先求出本书全排列的排法，再求出语文相邻与数学相邻的排法数，以及语文数学同时都相邻的排法数，由此即可求解.
21.【答案】解 （1）分三步完成．
第一步：从6名男医生中选3名有种方法；
第二步：从4名女医生中选2名有种方法；
第三步：对选出的5人分配到5个地区有种方法．
根据分步乘法计数原理，共有N==14 400（种）．
（2）医生的选法有以下两类情况：
第一类：一组中女医生1人，男医生4人，另一组中女医生3人，男医生2人．共有种不同的分法；
第二类：两组中人数都有女医生2人男医生3人．因为组与组之间无顺序，故共有种不同的分法．
因此，把10名医生分成两组，每组5人且每组都要有女医生的不同的分法共有+=120种．
若将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正副组长两人，则共有×120=96 00种不同方案．;
【解析】
根据分步计数原理，先选，再排，问题得以解决．
每组人且每组都要有女医生，属于分组问题，可以分两类，一组是女男，另一组就是女男，另一类是四女男，问题得以解决．再分组的基础上，先选正副组长有，再分配到地，问题得以解决．
这道题主要考查了分步和分类计数原理，正确分步和分类是解决的关键，属于中档题．
22.【答案】解：根据题意，分步进行分析：
①第三个格子不能填，则有种选法，
②将其余的个数字全排列，安排在其他四个格子中，有种情况，
则一共有种不同的填法；
根据题意，第一个格子有种颜色可选，即有种情况，
第二个格子与第一个格子的颜色不能相同，有种颜色可选，即有种情况，
同理可得：第三、四、五个格子都有种情况，则五个格子共有种不同的涂法；
根据题意，分步进行分析：
①将个小球分成组，有种分法：若分成的组，有种分法，
若分成的组，有种分组方法，
则共有种分组方法，
②将分好的组全排列，对应个空格，有种情况，
则一共有种.;
【解析】此题主要考查了两个计数原理的综合应用、排列、组合的综合应用，属于中档题.
根据题意，分步进行分析：①分析，易得有种选法；②将其余的个数字全排列，安排在其他四个格子中，由分步计数原理计算可得答案；
根据题意，第一个格子有种颜色可选，即有种情况，第二个格子与第一个格子的颜色不能相同，有种颜色可选，即有种情况，同理可得：第三、四、五个格子都有种情况，则五个格子共有种不同的涂法；
根据题意，分步进行分析：①、将个小球分成组，有种分法：即分成的组或分成的组，②、将分好的组全排列，对应个空格，由分步计数原理计算可得答案．
23.【答案】解：（1）根据题意，将7个人全排列，再将其中前3人安排在前排，后面4人安排在后排即可；
则有A77=5040种排法，
（2）根据题意，分2步进行分析：
①，前排3人有4个空，从甲乙丙3人中选1人插入，有C41C31=12种排法；
②，对于后排，若插入的2人不相邻有A52种，若相邻有C51A22种，则后排的安排方法有（A52+C51A22）=30种；
则有12×30=360种排法．;
【解析】
根据题意，将个人全排列，再将其中前人安排在前排，后面人安排在后排即可，由排列数公式计算可得答案；
根据题意，分步进行分析：①，前排人有个空，从甲乙丙人中选人插入，②，对于后排，分种情况讨论，求出后排的排法数目，由分步计数原理计算可得答案．
该题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
