2022-2023学年河南省洛阳市涧西区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数的算术平方根是( )
A. B. C. D. 以上都不正确
2. 如果点在第四象限，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 如图，直线、被直线所截，下列条件不能判定直线与平行的是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，从人行横道线上的点处过马路，沿线路行走距离最短，其依据的几何学原理是( )
A. 垂线段最短
B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5. 下列实数，，，，相邻两个之间依次多一个，中，无理数的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6. 下列说法正确的是( )
A. 同位角相等
B. 互补的角是邻补角
C. 实数可以分为有理数、和无理数
D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
7. 中国清代算书御制数理精蕴中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两；马二匹、牛五头，共价三十八两问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为( )
A. B. C. D.
8. 平面直角坐标系最早是由法国数学家笛卡尔引入的，它架起了数与形之间的桥梁，使得我们可以用代数的方法研究几何问题，又可以用几何的方法研究代数问题，这种研究方法体现的数学思想是( )
A. 分类讨论思想 B. 类比思想 C. 建模思想 D. 数形结合思想
9. 如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，，则的度数为( )
A. B. C. D.
10. 将一副三角板按如图放置，其中，则下列结论正确的序号有( )
如果与互余，则；
如果，则有；
；
如果，必有．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若方程是关于，的二元一次方程，则的值为______ ．
12. 把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹如图所示覆盖住的无理数是______．
13. 若点在轴上，则点到轴的距离为______ ．
14. 如图，在一块长为米、宽为米的长方形地面上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是米，其他部分都是草地，则草地的面积为______ 平方米．
15. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的友好点已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好，这样依次得到各点若的坐标为，则点的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：
求的值：．
17. 本小题分
解二元一次方程组．
18. 本小题分
中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半．
如图，若点坐标为，点坐标为，请写出“帅”和“相”所在点的坐标；
规定：棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走，例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点，处，请再写出一个“马”所在的位置可以直接走到的点的坐标；
顺次连接，，三点，求三角形的面积．
19. 本小题分
完成下面推理填空：如图，于点，于点，，，请问与平行吗？说明理由．
解：，理由如下：
，，
，______
，______
______ ，______
又，
______ ，______
，
又，
______ ______ ，______
．
20. 本小题分
如图，，点是直线上的一点，平分，，．
求的度数；
若，求证：．
21. 本小题分
对于结论：当时，也成立若将看成的立方根，看成的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”．
举一个具体的例子来验证上述结论成立；
若和互为相反数，且的平方根是它本身，求的立方根．
22. 本小题分
如图是课上老师呈现的一个问题：
已知：如图，，于点，交于点，当时，求的度数．
下面提供三种思路：
思路一：过点作如图甲；
思路二：过点作，交于点；
思路三：过点作，交于点．
解答下列问题：
根据思路一图甲，可求得的度数为______ ；
根据思路二、三分别在图乙和图丙中作出符合要求的辅助线；
请你从思路二、思路三中任选其中一种，写出求度数的解答过程．
23. 本小题分
动手操作：
对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向左平移个单位，得到点的对应点点，在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点，的对应点分别为，．
若点表示的数是，则点表示的数是______ ；
若点表示的数是，则点表示的数是______ ；
已知线段上的点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是______ ．
类比探究：
如图，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数，将得到的点先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到正方形及其内部的点，其中点，的对应点分别为，求出，的值．
在的探究中，若正方形内部的一个点经过上述操作后得到的对应点与点重合，请直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
实数的算术平方根是，
故选：．
运用算术平方根的定义进行求解．
此题考查了算术平方根定义的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行准确地计算．
2.【答案】
【解析】解：点在第四象限，
，
故选：．
根据点在第四象限，可知点的纵坐标，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查点的坐标，解答本题的关键是明确第四象限内点的坐标的符号为．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行判断即可．
【解答】
解：由，可得直线与平行，故A能判定；
由，，可得，故直线与平行，故B能判定；
由，，可得，故直线与平行，故C能判定；
由，不能判定直线与平行，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：因为，垂足为点，
所以沿线路行走距离最短，依据的几何学原理是垂线段最短．
故选：．
根据垂线段的性质，可得答案．
本题考查了直线的性质，线段的性质，垂线段最短，点到直线的距离等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：无理数有：、相邻两个之间依次多一个、共三个．
故选：．
根据无理数的概念解答即可．
本题考查无理数的概念，属于基础题型．解题的关键是掌握无理数的定义：无理数是指无限不循环小数．注意：无理数包括三方面的数：含的，开方开不尽的根式，一些有规律的数，根据以上内容判断即可．
6.【答案】
【解析】解：、两直线平行，同位角相等，原说法错误，不符合题意；
B、邻补角互补，互补的角不一定是邻补角，原说法错误，不符合题意；
C、实数分为有理数和无理数，是有理数，原说法错误，不符合题意；
D、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，符合题意．
故选：．
分别根据实数的分类、邻补角的定义及平行线的判定定理对各选项进行分析即可．
本题考查的是实数，熟知实数的分类、邻补角的定义及平行线的判定定理是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为：
．
故选：．
直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马二匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
此题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等式是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，可知这种研究方法体现了数形结合思想，
故选：．
根据平面直角坐标系使得我们可以用代数的方法研究几何问题，又可以用几何的方法研究代数问题，即可确定答案．
本题考查了平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：是直角，，
，
平分，
，
，
．
故选：．
先根据是直角，求出的度数，再根据平分求出的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、直角的定义等知识是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：与互余，
，
，
，
，
与不平行，
故错误，不符合题意；
，
，
，
故正确，符合题意；
如图，点在的延长线上，
，
，
又，
，
又，
，
故正确，符合题意；
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故正确，符合题意；
故选：．
根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：根据题意得且，
解得．
故答案为：．
根据二元一次方程的定义列式进行计算即可得解．
本题考查了二元一次方程的形式及其特点：含有个未知数，未知数的最高次项的次数是的整式方程，要注意未知项的系数不等于．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了实数与数轴的关系以及估算无理数的大小有关知识，根据被覆盖的数在到之间，化为带根号的数的被开方数的范围，然后即可得解．
【解答】
解：墨迹覆盖的数在，
即，
符合条件的数是．
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：点在轴上，
，
解得，
，
点坐标为，
点到轴的距离为，
故答案为：．
根据点在轴上，可得，求出的值，进一步可得点的坐标，即可确定点到轴的距离．
本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意可得，草地的面积是平方米．
故答案为：．
根据图形的特点，可以将马路看作是一个低为米，高为米的平行四边形，利用草地面积的长方形的面积马路的面积，代入计算即可求解．
本题主要考查列代数式、生活中的平移现象，化曲线为直线是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：由题意可得，的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
即，，，，点的坐标按，，，次一循环周期的规律排列，
，
点的坐标为，
故答案为：．
根据定义，可得，，，，点的坐标按，，，次一循环周期的规律排列，再通过计算可确定此题结果．
此题考查了解决点的坐标规律问题的解决能力，关键是能通过计算、归纳出该问题循环出现的规律．
16.【答案】解：
；
，
，
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
利用平方根的意义，进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：原方程组整理，得：
，
，得，
解得，
把代入，得，
故原方程组的解为．
【解析】原方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法是解答本题的关键．
18.【答案】解：点坐标为，
点在轴上，
点坐标为，
轴在过点的与垂直的直线上，点与原点重合．
建立如图所示坐标系，
“帅”和“相”所在点的坐标为和．
规定：棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走，
棋子“马”所在的位置可以直接走到的点除了、之外，还有点．
如图：
．
．
【解析】由已知点的坐标，确定坐标系的位置，得到所求点的坐标．
读懂棋子“马”走的规则，确定可以直接走到点，再写坐标．
用割补法求三角形的面积，三角形的面积等于长方形面积减去个三个直角三角形的面积．
此题考查根据条件建立直角坐标系，求各点坐标的能力，求坐标系中三角形的面积常用割补法．
19.【答案】垂直的定义 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 等量代换 内错角相等，两直线平行
【解析】解：，理由如下：
，，
，垂直的定义．
，同位角相等，两直线平行．
，两直线平行，同位角相等．
又，
，等量代换．
，
又，
，内错角相等，两直线平行．
．
故答案为：垂直的定义，同位角相等，两直线平行，，两直线平行，同位角相等，，等量代换，，，内错角相等，两直线平行．
由于，得到，根据平行线的性质得，而，则，根据平行线的判定得到，所以，又，于是，然后根据平行线的判定即可得到．
本题考查了平行线的判定与性质，解题时注意：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；平行于同一直线的两条直线平行．
20.【答案】解：，
．
平分，
．
证明：，
．
又，
．
，
，
．
【解析】先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义作答即可；
先由求出，再由同位角相等两直线平行证明即可．
本题考查了平行线的判定与性质和角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．
21.【答案】解：如，则，即与互为相反数；
所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立；
和互为相反数，
，
，
解得：，
的平方根是它本身，
，
，
，
的立方根是．
【解析】任意举两个被开方数是互为相反数的立方根，如和，和；
根据互为相反数的和为，列等式可得的值，根据平方根的定义得：，计算并计算它的立方根即可．
本题考查立方根和平方根的知识，难度一般，注意互为相反数的和为，知道这一知识是本题的关键．
22.【答案】
【解析】解：，
，
过点作如图甲，
，
，
，，
，
故答案为：；
如图所示；
，
，
如图乙，过点作，交于点，
，，
，
，
，
；
如图丙，过点作，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
．
根据垂直的定义和平行线的性质即可得到结论；根据题意作出图形即可；
如图乙，过点作，交于点，如图丙，过点作，交于点，根据平行线的性质即可得到结论．
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并正确作出辅助线是解题关键．
23.【答案】
【解析】解：点表示的数是：；
故答案为：；
设点表示的数为，则有：
，解得：；
故答案为：；
设点表示的数为，则有：
，解得：；
故答案为：；
由已知可得，
，
解得：，
所以，；
设点的坐标为，则有：
，解得：；
，解得：；
点的坐标为：．
根据题目规定，以及数轴上的数向左平移用加计算即可求出点，设点表示的数为，根据题意列出方程求解即可得到点表示的数，设点表示的数为，根据题意列出方程计算即可得解；
先根据向下平移横坐标不变，纵坐标减，向左平移横坐标减，纵坐标不变求出、；
设点的坐标为，根据平移规律列出方程组求解即可．
本题考查了坐标与图形的变化，读懂题目信息是解题的关键．
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