中考数学几何模型
第二十三节：二次函数特殊角存在性问题
432.二次函数角存在性问题等面积问题(初三)
如图,抛物线与轴交于点,与轴交于点,已知B
(1)求的值和直线对应的函数表达式;
(2)为抛物线上一点,若,请直接写出点的坐标
(3)为抛物线上一点,若,求点的坐标.
433.二次函数面积定值角度差为存在性问题(初三)
如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过坐标原点和点,顶点为点.
(1)求抛物线的关系式及点的坐标:
(3)点是直线下方的抛物线上一动点,连接,当的面积等于时,求点的坐标;
(3)将直线向下平移,得到过点的直线,且与轴负半轴交于点C,取点D,连接DM,求证:
434.二次函数角存在性问题三等分求动点坐标(初三)
如图,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),与轴交于点C.直线1与抛物线交于两点,与轴交于点,点的坐标为
(1)请直接写出A,B两点的坐标及直线1的函数表达式:
(2)若点是抛物线上的点,点的横坐标为,过点作轴,垂足为与直线1交于点,当点是线段的三等分点时,求点的坐标;
(3)若点是y轴上的点，且，求点的坐标.
435.二次函数面积定值求坐标旋转求值(初三)
如图,抛物线经过点,交y轴于点C:
(1)求抛物线的解析式(用一般式表示);
(2)点为轴右侧抛物线上一点,是否存在点使 若存在请直接给出点D坐标;若不存在,请说明理由;
(3)将直线绕点顺时针旋转,与抛物线交于另一点,求的长.
436.二次函数角存在性问题线段最大值和将军饮马(初三)
如图,抛物线过点,且与直线交于两点，点的坐标为.
(1)求抛物线的解析式
(2)点为拋物线上位于直线上方的一点,过点作轴交直线于点,点为对称轴上一动点,当线段的长度最大时,求的最小值;
(3)设点为抛物线的顶点，在轴上是否存在点,使 若存在求点的坐标;若不存在,请说明理由.
437.二次函数角存在性问题铅垂定理面积最大值(初三)
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C.直线1与抛物线交于两点,与y轴交于点,点的坐标为
(1)求抛物线的解析式与直线1的解析式;
(2)若点是抛物线上的点且在直线1上方,连接,求当面积最
大时点的坐标及该面积的最大值;
(3)若点是轴上的点,且,求点的坐标.
答案
432【解】(1)将代入-,
化简得,,则(舍)或,,
设直线的函数表达式为,将,代入表达式,可得,,解得,直线的函数表达式为.
(2)如图1,过点作,设直线交轴于点,将直线向下平移个单位,得到直线.由(1)得直线的表达式为,
直线的表达式为,联立得:,
解得,或或,由直线的表达式可得,
,
直线的表达式为:,
联立得:,解得或,
;
综上可得,符合题意的点的坐标为:,;
(3)如图2,取点使,作直线,过点作于点,过点作轴于点,过点作于点,则是等腰直角三角形,
,
.
设,则,
由,则,
解得,又,
直线对应的表达式为,
设,代入,
,整理得.
又,则.
433【解】(1)对于,令,
解得,令,则,
故点的坐标分别为,
抛物线经过坐标原点,故,
将点的坐标代入抛物线表达式得:,解
得,故抛物线的表达式为;
则抛物线的对称轴为,当时,,则点的坐标为;
(2)如图1,过点作轴交于点,
设点的坐标为,则点,则的面积,解得或,
故点的坐标为或;
(3)直线向下平移后过点,
故直线的表达式为,
令,解得,故点;过点作于点,
直线的表达式为,
故,则,则,由点的坐标得,,
则,
故,
.
434【解】(1)令,得,
解得,,或,
设直线的解析式为，则,
解得，∴直线的解析式为:；
(2)如图1,根据题意可知,点与点的坐标分别为,
,现在分两种情况讨论:
①当时,得,解得,,或(舍),;
②当时,得:
,
解得,,或(舍),;
当点是线段的三等分点时,点的坐标为(3,或;
(3)直线与轴交于点,
点的坐标为,如图2,分两种情况讨论:
①当点在轴的正半轴上时,记为点,
过作于点,则,
,
,
,
,
连接轴,
,
,
,
;
②当点在轴的负半轴上时,记为点,
过作于,则,
,
,
,
,
,由①可知,,
,
,
,
综上,点的坐标为或.
435【解】(1)抛物线经过点,,解得,
抛物线解析式为;
(2)由题意可知,
,
,
设,解得,
当时,由,解得或,此时点坐标为或;
当时,由,解得(舍去)或,此时点坐标为;
综上可知存在满足条件的点,其坐标为或,或;
(3),
,
,
为直角三角形,即,如图,设直线与直线交于点,过作轴于点,由题意可知,
轴,
,解得,
,即,解得,
,且,
设直线解析式为,则把,0)代入,可得,解得:,
直线解析式为,
联立直线和拋物线解析式可得,
解得或,
由两点距离公式可得:.
436【解】(1)将点的坐标为代入,的坐标为,
将代入,
解得,
抛物线的解析式;
(2)设,则,
,
当时,有最大值为2,此时,
和D关于拋物线对称轴对称,如图1,
连接,于抛物线对称轴交于点,此时即为所求的最小值.
,
,即的最小值为;
(3)如图2,作对称轴于点,
抛物线的解析式,
,
是等腰直角三角形,以点为圆心,为半径画圆,与轴的交点与,满足.
,设,
,
解得:或符合题意的点的坐标:或.
437【解】(1)抛物线与轴交于两点,
设抛物线的解析式为,
在抛物线上,,
解得,
抛物线的解析式为
,
直线经过,
设直线的解析式为,则,
解得，∴直线的解析式为
(2)如图1中,过点作轴交于点.设,则.
,
时,此时的面积的最大值为.
(3)如图2中,将线段绕点逆时针旋转得到,则,
设交轴于点,则,
直线的解析式为,
,作点关于的对称点,则直线解析式为,
设交轴于点,则,
综上所述,点的坐标为或.
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