滨海县2022-2023学年高二下学期第二次月考（5月）
数学学科试题
单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5分，共计 40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1.抛物线的焦点到准线的距离是（ ）.
A. B. C.2 D.4
2.某学校参加抗疫志愿服务社团的学生中，高一年级有40人，高二年级有30人，高三年级有30人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了6人，则从高一年级的学生中应抽取的人数为（ ）
A 5 B. 6 C. 7 D. 8
3.在平行四边形中，是线段的中点，若，则的值为（ ）
A -1 B. 0 C. 1 D.2
4.某大学有两个图书馆，学生小李周六随机选择一图书馆阅读，如果周六去图书馆，那么周日去图书馆的概率为0.4；如果周六去图书馆，那么周日去图书馆的概率为0.6.小李周日去图书馆的概率为（ ）
A.0.5 B.0.24 .C.0.16 D.0.36
5.《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡肉、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．6种 B．12种 C．36种 D．72种
6.一组样本数据在一条直线附近波动，拟合的回归直线记为，满足：.令，得到新样本数据，且，则直线的方程为（ ）
附：.
A. B. C. D.
7.下列说法不正确的是（ ）
A.设随机变量X服从二项分布，则
B.已知随机变量X服从正态分布且，则
C.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
D.；.
8.已知点P为双曲线的右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，若（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9.下列命题中，假命题的是（ ）
A．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的70％分位数是7.5
B．若回归方程，则变量与正相关
C．线性回归分析中相关指数刻画回归的效果，若值越大，则模型的拟合效果越好
D．若数据，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为4
10.一质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是( )
A． B．事件A和事件B是对立事件
C． D．事件A和事件B相互独立
11. 已知点，，点P为圆C：上的动点，则（ ）
A. 面积的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为
12.已知正方体的棱长为1，点P为侧面内一点，则（ ）．
A．当时，异面直线与所成角的正切值为2
B．当时，四面体的体积为定值
C．当点P到平面的距离等于到直线的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分
D．当时，四面体的外接球的表面积为
填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.二项式展开式中常数项是__________．
14. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=(0<<2)，则点G到平面D1EF的距离为 .
15.如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME—7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知A1，A2，A3…为直角顶点，设，，，…，…构成数列，令，为数列的前n项和，则S80= .
图甲 图乙
16.已知函数，若对任意两个不相等的正实数，，都有，则实数a的取值范围是 .
四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70分．请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题10分）
已知等差数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求.
（1）（2）
18.（本题12分）
甲罐中有4个红球和3个白球，乙罐中有3个红球和2个白球（球除颜色外，大小质地均相同）.
（1）若从甲罐中取出3个球，记为取出的红球的个数，求的分布列和期望.
（2）若从甲罐中随机取出一球放人乙罐，分别表示从甲罐中取出的球是红球，白球；再从乙罐中随机取出一球，表示从乙罐中取出的球是红球.求和.
19．（本题12分）
有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为．
(1)请完成上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析成绩是否与班级有关；
班级 成绩 合计
优秀 非优秀
甲班 20
乙班 60
合计 210
(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及均值．
附：
a 0.05 0.01
3.841 6.635
20.如图，在四棱锥中，底面是菱形，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线平面，，且与平面所成的角正弦值为，求锐二面角的余弦值．
21.已知椭圆的左 右焦点分别为，焦距为2，左顶点为，点是椭圆上一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点，直线与直线分别交于点．
①求证：两点的纵坐标之积为定值；②求面积的最小值．
22.已知函数．
（1）若曲线在处的切线与直线平行，求的值；
（2）当时，函数有两个零点.
①求的取值范围；
②证明：．滨海县2022-2023学年高二下学期第二次月考（5月）
数学学科试题 答案
单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5分，共计 40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1.抛物线的焦点到准线的距离是（ ）.
A. B. C.2 D.4
【答案】B
2.某学校参加抗疫志愿服务社团的学生中，高一年级有40人，高二年级有30人，高三年级有30人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了6人，则从高一年级的学生中应抽取的人数为（ ）
A 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
3.在平行四边形中，是线段的中点，若，则的值为（ ）
A -1 B. 0 C. 1 D.2
【答案】C
4.某大学有两个图书馆，学生小李周六随机选择一图书馆阅读，如果周六去图书馆，那么周日去图书馆的概率为0.4；如果周六去图书馆，那么周日去图书馆的概率为0.6.小李周日去图书馆的概率为（ ）
A.0.5 B.0.24 .C.0.16 D.0.36
【答案】A
【解析】记事件表示小李周六去图书馆，事件表示小李周六去图书馆，
事件表示小李周日去图书馆，则，其中与为互斥事件，
依题意，
所以由全概率公式可得
.
5.《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡肉、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．6种 B．12种 C．36种 D．72种
【答案】B
6.一组样本数据在一条直线附近波动，拟合的回归直线记为，满足：.令，得到新样本数据，且，则直线的方程为（ ）
附：.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，故选A.
7.下列说法不正确的是（ ）
A.设随机变量X服从二项分布，则
B.已知随机变量X服从正态分布且，则
C.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
D.；.
【答案】D
8.已知点P为双曲线的右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，若（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】取的中点，则由，得，
即；在中，为的中位线，
所以，所以；
由双曲线定义知，且，故，
所以，解得：。
多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9.下列命题中，假命题的是（ ）
A．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的70％分位数是7.5
B．若回归方程，则变量与正相关
C．线性回归分析中相关指数刻画回归的效果，若值越大，则模型的拟合效果越好
D．若数据，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为4
【答案】BD
10.一质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是( )
A． B．事件A和事件B是对立事件
C． D．事件A和事件B相互独立
【答案】ACD
11. 已知点，，点P为圆C：上的动点，则（ ）
A. 面积的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】，
圆C是以为圆心，为半径的圆.
对于A，面积的最小值为点P动到圆C的最低点时，，
，故选项A错误；
对于B，连接交圆于点，当点P动到点时，取到最小值为，故选项B正确；
对于C，当 运动到与圆C相切时，取得最大值，设切点为,，，
，故选项C正确；
对于D，，当点P动到点时，取得最大值，即在上的投影，，故选项D正确；故选：BCD.
12.已知正方体的棱长为1，点P为侧面内一点，则（ ）．
A．当时，异面直线与所成角的正切值为2
B．当时，四面体的体积为定值
C．当点P到平面的距离等于到直线的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分
D．当时，四面体的外接球的表面积为
【答案】AB C
填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.二项式展开式中常数项是__________．
【答案】210
14. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=(0<<2)，则点G到平面D1EF的距离为 .
【答案】
【解析】由题意得A1B1∥EF，A1B1 平面D1EF，EF 平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，则点G到平面D1EF的距离等于点A1到平面D1EF的距离.
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，A1(2，0，2)，所以，，.设平面D1EF的法向量为，则，
令x=1，则y=0，z=2，所以平面D1EF的一个法向量.
点A1到平面D1EF的距离==，即点G到平面D1EF的距离为.
故答案为：.
15.如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME—7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知A1，A2，A3…为直角顶点，设，，，…，…构成数列，令，为数列的前n项和，则S80= .
图甲 图乙
【答案】8
16.已知函数，若对任意两个不相等的正实数，，都有，则实数a的取值范围是 .
【答案】
四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70分．请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题10分）
已知等差数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求.
（1）（2）
【解析】（1）设数列的公差为，
，
，
.
（2）由（1）可知，
数列的前项和为，
，
两式作差，得
，.
18.（本题12分）
甲罐中有4个红球和3个白球，乙罐中有3个红球和2个白球（球除颜色外，大小质地均相同）.
（1）若从甲罐中取出3个球，记为取出的红球的个数，求的分布列和期望.
（2）若从甲罐中随机取出一球放人乙罐，分别表示从甲罐中取出的球是红球，白球；再从乙罐中随机取出一球，表示从乙罐中取出的球是红球.求和.
【解析】（1）由题可知服从参数的超几何分布.
的取值可以为.
.
的分布列为：
0 1 2 3
的期望为.
（2）由题意得，
根据全概率公式得.
19．（本题12分）
有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为．
(1)请完成上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析成绩是否与班级有关；
班级 成绩 合计
优秀 非优秀
甲班 20
乙班 60
合计 210
(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及均值．
附：
a 0.05 0.01
3.841 6.635
【解析】解：(1)由题知优秀的人数为（人），
所以列联表如下：
班级 成绩 合计
优秀 非优秀
甲班 20 90 110
乙班 40 60 100
合计 60 150 210
假设 ：成绩和班级无关，
则：>6.635,
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
故成绩与班级有关；------------6分
(2)因为，且 ，
所以的分布列为：
0 1 2 3
P
所以E()=0+1+2+3=.------------6分
20.如图，在四棱锥中，底面是菱形，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线平面，，且与平面所成的角正弦值为，求锐二面角的余弦值．
【解析】（1）证明：连接交于易证为中点，又是的中点，所以
又 面，且不在面内，故平面
（2）取PC中点为Q，以为坐标原点，为x轴，OC为y轴，
OQ为z轴建立空间直角坐标系，
设OB=m，则
设平面的法向量为
由，令，有
由与平面所成的角正弦值为
平面ACD的法向量为，则锐二面角的余弦值为
21.已知椭圆的左 右焦点分别为，焦距为2，左顶点为，点是椭圆上一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点，直线与直线分别交于点．
①求证：两点的纵坐标之积为定值；②求面积的最小值．
（1）由题意，椭圆过点，且，
可得，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）①由题意知，可设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，，可得，，
直线的方程为，
令，可得，同理可得，
所以
．
②由，
当且仅当，或，时等号成立，
所以面积的最小值为．
22.已知函数．
（1）若曲线在处的切线与直线平行，求的值；
（2）当时，函数有两个零点.
①求的取值范围；
②证明：．
【解析】（1），．
（2）①令，则．设，则，
令，得．当时，；当时，．
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
∵，．
②不妨设，
由题意，取对数．
联立得，
令，则解得．
，
要证只需证，即，
令，
，
，即得证．
（其他方法酎情给分）
