高一期末数学五
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知A=，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求集合，再求.
【详解】，，
所以.
故选：C
2. 若复数z满足，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数除法的运算法则和复数模的计算公式进行求解即可.
【详解】，
所以，
故选：D
3. 已知点为角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数的定义可求得的值.
【详解】由三角函数的定义可得.
故选：B.
4. 已知球的表面积为，则该球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用球的表面积和体积公式即可得出答案.
【详解】设球的半径为，由表面积公式：，解得，再由体积公式，球的体积为.
故选：B
5. 下列命题为真命题的是（ ）
A.
B.
C. “”是“”的充分不必要条件
D. “”的充要条件是“”
【答案】B
【解析】
【分析】借助存在量词命题和全称量词命题真假判断方法可判断A，B；判断命题若，则的真假可判断C；
判断与是否互推而判断D即可作答.
【详解】对于A，因方程中，，即无实根，A不正确；
对于B，因二次函数在上单调递增，，B正确；
对于C，因，即时，不成立，即若，则是假命题，C不正确；
对开D，因时有，所以不是的充要条件，D不正确.
故选：B
6. 如图，梯形中，，，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取的中点,连接，再利用平面向量的线性运算求解.
【详解】
取的中点,连接.
故选：A
7. 已知函数的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊值，排除选项.
【详解】由图象可知，函数的定义域里有0，所以排除CD，并且，排除B.
故选：A
8. 已知圆锥的底面圆的半径长为，母线与底面所成角为，现有一球位于圆锥内部，该球与底面及侧面上的每一条母线均相切，则圆锥侧面上所有切点构成的曲线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出圆锥的轴截面如图，则由题意可知，设点为圆锥的内切球的球心，为内切球与母线的切点，过作于，则可知所有的切点构成的曲线是以为圆心，为半径的圆，求出的长可求得答案
【详解】圆锥的轴截面如图所示，则为圆锥的高，为底面圆心，
则由题意可知，
设点为圆锥的内切球的球心，则在上，为内切球与母线的切点，过作于，则可知所有的切点构成的曲线是以为圆心，为半径的圆，
在直角三角形中，，则，,
设内切球的半径为，则，所以，
所以，得，
所以,
所以，
所以圆锥侧面上所有切点构成的曲线长为，
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的性质进行判断
【详解】对于A，因为在上递增，且，所以，所以A正确，
对于B，因为在上递减，且，所以，所以B错误，
对于C，因为在上递减，且，所以，所以C正确，
对于D，因为，，所以，所以D错误，
故选：AC
10. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 的周期是
B. 的最大值为
C. 是奇函数
D. 的图象关于直线对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】先通过平移得到的函数图像，进而根据三角函数的图像和性质得到答案.
【详解】由题意，，
周期为，A正确；最大值为，B正确；函数为偶函数，C错误；
令，D正确.
故选：ABD.
11. 如图，在正三棱柱中，各棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线与为相交直线
B.
C. 异面直线与所成的角为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，利用异面直线的判定定理判断即可，对于B，由线面垂直的判定定理判断即可，对于C，由异面直线所成的角的定义求解，对于D，取的中点，连接，则可证得为直线与平面所成角，然后在直角中求解即可
【详解】对于A，因为平面，平面, ，所以直线与为异面直线，所以A错误，
对于B，因为正三棱柱中，平面，平面，所以，所以B正确，
对于C，因为∥，所以为异面直线与所成的角，因为为等边三角形，所以，所以异面直线与所成的角为，所以C正确，
对于D，取的中点，连接，因为为等边三角形，所以，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，所以为直线与平面所成角，因为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为，所以D正确，
故选：BCD
12. 已知函数，．记，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 当时，
B. 函数的最小值为-2
C. 函数在上单调递减
D. 若关于x的方程=m恰有两个不等的实数根，则
【答案】AB
【解析】
【分析】求出函数的解析式，然后对选项逐一分析判断而作答.
【详解】因，当或时，，当或时，，
于是得，
当时，，A正确；
当时，在上单调递减，在上单调递增，，当且仅当时，，
当时，上单调递减，在上单调递增，，当且仅当时，，
于是得函数的最小值为-2，B正确；在上单调递增，C不正确；
关于x的方程=m恰有两个不等的实数根，可以是，如方程的根为和，D不正确.
故选：AB
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，，且，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】由题得，得到，即得解.
【详解】因为，
所以.
所以，
所以.
故答案：
14. 若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为__________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：设圆柱的底面半径为，高为，底面积为，体积为，则有，故底面面积，故圆柱的体积.
考点：圆柱的体积
15. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有鳖臑、阳马、刍甍三种几何体，其中刍甍是如图所示五面体，下底面是矩形，顶部为一条平行于底面矩形一边且小于此边的线段.若，，，直线与平面的距离为，则该刍甍的体积为________.
【答案】
【解析】
【分析】过点作交于点，过点作交于点，连接、、、，计算出和，相加即可得解.
【详解】过点作交于点，过点作交于点，连接、、、，
则几何体为三棱柱，设该三棱柱高为，
且有，，，
则，
因为，，
，，
因此，该刍甍的体积为.
故答案为：.
16. 如图，在四边形ABCD中，已知AB⊥AD，且AD=4，CD=2，∠ADC=.设∠ABC=，且，则AB的取值范围为_____________
【答案】
【解析】
【分析】在中，通过余弦定理求得，根据正弦定理将AB表示为关于的函数，结合三角函数的性质即可得结果.
【详解】在中，AD=4，CD=2，∠ADC=.
由余弦定理得，
即，解得，（舍去负数）
由得，即，
又因为AB⊥AD，所以，
在中，由正弦定理可得，
即，
当时，；
当时，，
综上可得AB的取值范围为，
故答案为：.
四、解答题： 本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （Ⅰ）计算的值；
（Ⅱ）已知，，求值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）利用对数的运算性质化简即可求解；
（Ⅱ）利用两角和差的余弦公式将已知条件展开即可得、的值，再由同角三角函数基本关系即可求解.
【详解】（Ⅰ）
；
（Ⅱ），
，
两式相减可得，
两式相加可得，
所以.
18. 已知平面向量，，函数，且函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）当时，求的单调递增区间.
【答案】(1)-1或1；(2)当时，；当时，，.
【解析】
【分析】(1)利用数量积的坐标运算求出的解析式，借助三角恒等变换即可得解；
(2)根据(1)的结论，在时，求出相位的范围结合正弦函数的性质即可作答.
【详解】(1)依题意，
，
因函数的最小正周期为，于是得，解得，
所以的值是-1或1；
(2)由(1)知，当时，，而，则，
由得，
所以的单调递增区间是；
当时，，而，则，
由或得或，
所以的单调递增区间是，.
19. 已知函数，其中a为常数.
（1）若对任意的，，求的解集；
（2）对于任意的都有不等式成立 ，求a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知得关于对称可得，求出解析式，解一元二次不等式可得答案；
（2）转化为对于任意的都成立，分、两种情况讨论可得答案..
【详解】（1）对任意的，，
所以关于对称，
所以，解得，，
由，得，解得，
所以的解集为.
（2）对于任意的都有不等式成立 ，
即对于任意的都成立，
时，成立；
时，对于任意的都成立，则有，
解得，
综上，a的取值范围为.
20. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，AC、BD相交于点O，N为AB的中点，M为AN的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，，求证：.
【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由三角形中位线定理可得∥，再由线面平行的判定定理可证得结论，
（2）由可证得平面，则，再由结合菱形的性质可得，而∥，所以可得，再由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得
【详解】证明：（1）四边形是菱形，AC、BD相交于点O，
所以点O为AC、BD的中点，
因为M为AN的中点，
所以∥，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为，点O为AC、BD的中点，
所以，
因为AC、BD相交于点O，
所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形是菱形，，
所以为等边三角形，
因为N为AB的中点，所以,
因为∥，∥，
所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以
21. 在中，已知内角，，所对的边分别是，，，且.
（Ⅰ）若，求角的大小；
（Ⅱ）若的面积，求的最小值及此时边的长.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）的最小值为，此时边.
【解析】
【分析】（Ⅰ）由正弦定理化角为边结合可得，再由余弦定理结合角的范围即可求解；
（Ⅱ）利用余弦定理结合表示，由基本不等式可求的最小值，进而可得的值，由面积公式即可求此时边的长.
【详解】（Ⅰ）由可得，
若，所以，所以，
由余弦定理可得：，
因为，所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为，此时，
的面积，解得，
所以的最小值为，此时边.
22. 已知函数，，且函数在区间上单调递增．
（Ⅰ）若函数与的值域相同，求实数m的值；
（Ⅱ）令讨论关于x的方程的实数根的个数.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
【分析】（Ⅰ）分别求两个函数的值域，由题意求得实数m的值；（Ⅱ）设，则的实数根的个数即的实根个数，分情况讨论零点个数.
【详解】（Ⅰ）在区间上单调递增，，
，所以函数的值域是，
，函数的值域是
函数与的值域相同，，且，解得：；
（Ⅱ），记，
则的实数根的个数即的实根个数，
当时，
若，，即，恰有1个实数根，
若，，即的两根，
故实根个数共有3个；
当时，
若，，即，恰有2个实根或，
若， ，即，恰有1个实根，
故实根个数共有3个；
③当时，
若 ，，即无实数根，
若，的，恰有2个不等的实根，且，，所以为2个负根，
故实根个数共有2个；
④当，
若，，即恰有2个实数根，
若， 的，无负实根，
故实根个数共有2个；
⑤当时，
若，，即恰有2个实数根，
若， 的，无负实根，
故实根个数共有2个；
综上可知，当或时，恰有2个实数根，
当或时，恰有3个实数根，
当时，恰有4个实数根.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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