2023年湖北省恩施州利川市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的绝对值是( )
A. B. C. D.
2. 年公安部交通管理局权威发布，年全国新能源汽车保有量达到万辆，用科学记数法表示“万”正确的是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
5. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6. 函数的自变量的取值范围是( )
A. B. C. D. 且
7. 一个等腰三角形的边长是，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是 ( )
A. B. C. D. 或
8. 如图是由个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
9. 九章算术是中国古代数学名著，其中记载：每头牛比每只羊贵两，两买牛，两买羊，买得牛羊的数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为两，则可列方程为( )
A. B. C. D.
10. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标随时间分钟变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分下列结论正确的是( )
A. 当时，与成正比例关系
B. 点对应的学生注意力指标
C. 当时，是的一次函数
D. 当时，函数解析式为
11. 如图，在菱形中，为边中点，连接并延长交边的延长线于点，对角线交于点则下列结论不一定正确的是( )
A. B. C. D.
12. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交于点，与轴交于点，下列判定：；；当时，；若，则抛物线最高点的纵坐标满足：其中正确的结论有个( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 分解因式：______．
14. 某校男子足球队的年龄分布情况如表：
年龄岁
人数
则这些队员年龄的中位数是______．
15. 如图，点是外一点，过点作的切线，切点分别为，，且，的半径为，则图中阴影部分的面积为结果保留和根号 ______ ．
16. 如图，直线与曲线，分别交于点，，，，，，，过点，，，，，，作轴和轴的垂线，围成如图所示的“字形”阴影部分，分别记作，，，，则 ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
如图，中，，点是的中点，将折叠，使点与点重合，折痕为，连接，求证：四边形是菱形．
19. 本小题分
为引导学生知史爱党、知史爱国，某中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛该校德育处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为：优秀，良好，一般，不合格四个等级，并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
将条形统计图补充完整；
该校共有名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？
本次竞赛成绩各年级前两名学生如表，德育处决定将这六名学生随机抽取名学生分成个组进行现场抢答竞赛，请用树状图或列表法求和恰好分为一组的概率．
名次年级
九年级
八年级
七年级
20. 本小题分
某校科技兴趣小组对自制火箭发射进行监测，火箭从地面点处点火垂直升空秒后到达最高点处，此时在空中处一无人机观测到火箭最高点的仰角为，点的俯角为，发射地点与无人机的水平距离求火箭上升的最大高度以及火箭升空过程的平均速度参考数据：，高度精确到
21. 本小题分
如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于一象限内的点，的面积等于，
求的值；
如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴垂足为，以为对角线的菱形的顶点在轴上，试说明点也在反比例函数的图象上．
22. 本小题分
因“课后延时服务”的实施，多地中小学开设体育兴趣班，乒乓球拍的需求激增某厂家紧急生产，两种型号乒乓球拍，若生产个型和个型乒乓球拍，共需成本元；若生产个型和个型乒乓球拍，共需成本元．
求每个，型乒乓球拍的生产成本分别是多少元？
经测算，型乒乓球拍每个可获利元，型乒乓球拍每个可获利元，该厂家准备用万元资金全部生产这两种乒乓球拍，总获利元设生产了型乒乓球拍个，且要求生产型乒乓球拍的数量不少于型乒乓球拍数量的倍，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．
23. 本小题分
如图，在中，，以为直径的与边交于点，过点作于点．
求证：是的切线；
若与相交于点，连接，求证：；
若，求证：．
24. 本小题分
已知直线与轴交于点，过轴上，两点的抛物线与轴交于点，与直线交于且，
直接写出，，三点的坐标；
求抛物线的解析式；
若点是抛物线对称轴上一动点，当的周长最小时，求的面积；
点是抛物线上一动点点不与，重合，连接，，若的面积等于，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
根据负数的绝对值等于它的相反数即可得出答案．
本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，掌握科学记数法的定义是关键．
3.【答案】
【解析】解：、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：．
根据同底数幂除法，积的乘方，完全平方公式和合并同类项等计算法则求解即可．
本题主要考查了同底数幂除法，积的乘方，完全平方公式和合并同类项，掌握相关计算法则是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B.是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
根据对顶角相等，三角形的外角性质得到，再根据平行线的性质即可求解．
本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：．
故选：．
根据分式及二次根式有意义的条件可直接进行求解．
本题主要考查了二次根式、分式有意义的条件及函数，掌握二次根式、分式有意义的条件是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由一元二次方程，得
，
或，
解得，或；
等腰三角形的两腰长是或；
当等腰三角形的腰长是时，，构不成三角形，所以不合题意，舍去；
当等腰三角形的腰长是时，，所以能构成三角形，
所以该等腰三角形的周长；
故选：．
通过解一元二次方程求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长．
本题综合考查了一元二次方程--因式分解法、三角形的三边关系、等腰三角形的性质．解答该题时，采用了“分类讨论”的数学思想．
8.【答案】
【解析】解：从上面看是四个小正方形，如图所示：
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从上面看得到的图形是俯视图．
9.【答案】
【解析】解：设每头牛的价格为两，则设每头羊的价格为两，
由题意得，，
故选：．
设每头牛的价格为两，则设每头羊的价格为两，然后根据两买牛，两买羊，买得牛羊的数量相等列出方程即可．
本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：、当时，由函数图象可知与成一次函数关系，不是正比例关系，原结论错误，不符合题意；
B、设当时，反比例函数解析式为，把代入中得，，解得，
当时，，
当时，，即点对应的学生注意力指标，原结论错误，不符合题意；
C、当时，不是的一次函数，原结论错误，不符合题意；
D、由上述计算可知当时，函数解析式为，原结论正确，符合题意；
故选：．
根据正比例函数和一次函数的定义即可判断、；求出当时的函数解析式，再求出当时，的值即可判断、．
本题主要考查了一次函数与正比例函数的定义，求反比例函数解析式和求反比例函数值，正确读懂函数图象并求出当时的函数解析式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，
，，
为边中点，
，
≌，
，
，
，
∽，
，
，，故A、结论正确，不符合题意；
，
，
，故C结论正确，不符合题意；
根据现有条件无法证明，故D结论不一定正确；
故选：．
先证明≌得到，，进而得到，再证明∽即可得到，，即可判断、；进一步推出，即可判断；根据现有条件无法证明，即可判断．
本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判断，全等三角形的性质与判定，证明∽是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
，，
抛物线对称轴为直线，
，
，
，
故错误；
当时，，
，
，
故正确；
当时，，且抛物线对称轴为直线，
当时，，
故正确；
抛物线与轴的交于点，
，即，
，
当时，，
，
，即若，则抛物线最高点的纵坐标满足：，
故正确；
故选：．
根据二次函数图象与系数的关系得到，，再由对称轴为直线得到，即可判断；根据当时，，推出，即可判断；根据对称性即可判断；先由抛物线与轴的交于点，得到，再由当时，，即可判断．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：
．
观察原式，找到公因式，提出公因式后发现符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
本题考查了提公因式法和公式法分解因式，难点在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解．
14.【答案】
【解析】解：由表格中的数据可知，成绩按照从小到大排列的第、个数据是、，
故这些队员年龄的中位数是，
故答案为：．
根据表格中的数据和中位数的定义，可以得到这些运动员跳高成绩的中位数，本题得以解决．
本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义，会求一组数据的中位数．
15.【答案】
【解析】解：如图所示，连接，
，是的切线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
如图所示，连接，由切线的性质和切线长定理得到，再利用四边形内角和定理求出，进而得到，再根据列式求解即可．
本题主要考查了切线的性质，切线长定理，四边形内角和定理，解直角三角形，不规则图形面积，正确作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图所示，由反比例函数比例系数的几何意义可得：
，
，
，
，
故答案为：
根据反比例函数的几何意义可得到规律，由此即可得到答案．
本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
17.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
18.【答案】证明：如图所示，连接，
由折叠的性质可知，，，
，点是的中点，
，，
，
，，
，
，
，
四边形是菱形．
【解析】如图所示，连接，由折叠的性质可得，，，再由三线合一定理和等边对等角得到，，进而证明推出，继而证明，由此即可证明四边形是菱形．
本题主要考查了折叠的性质，菱形的判定，等腰三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键．
19.【答案】解：名，
这次参与调查的人数为名，
成绩为优秀的人数为名，
补全统计图如下所示：
名，
估计该校大约有名学生在这次竞赛中成绩优秀，
设这三个组分别为、、，画树状图如下：
由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中和恰好分为一组的结果数为种，
和恰好分为一组的概率为．
【解析】用成绩为一般的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，进而求出成绩为优秀的人数，再补全统计图即可；
用乘以样本中成绩为优秀的人数占比即可得到答案；
直接利用树状图法求出所有可能，进而求出概率即可．
本题主要考查了树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图的应用，用样本估计总体，由统计图获取正确信息是解题关键．
20.【答案】解：作于点，则四边形为矩形，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
米秒，
答：火箭上升的最大高度为，火箭升空过程的平均速度米秒．
【解析】作于点，在和中，解直角三角形即可求解．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
21.【答案】解：直线与轴交于点，令，则，
，
设点到轴的距离为，
的面积等于，
，解得，
点的横坐标为，则，
，
点在反比例函数的图象上，
；
解：连接与相交于点，
四边形是菱形，且轴，
，，
点，，
点，
点，
顶点在轴上，
，
点，
，
点也在反比例函数的图象上．
【解析】先求得，再利用三角形面积公式求得点的横坐标为，再利用待定系数法求解即可；
利用菱形的性质求得点，得到点，进一步计算即可判断．
本题考查了菱形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求出点的坐标是解第问的关键．
22.【答案】解：设每个，型乒乓球拍的生产成本分别元，元，
由题意得，，
解得，
每个，型乒乓球拍的生产成本分别元，元，
答：每个，型乒乓球拍的生产成本分别元，元；
设生产了型乒乓球拍个，则生产了型乒乓球拍个，
要求生产型乒乓球拍的数量不少于型乒乓球拍数量的倍，
，
解得；
型乒乓球拍每个可获利元，型乒乓球拍每个可获利元，
，
，
当时，最大，最大为，
，
当生产型乒乓球拍个，生产型乒乓球拍个时，总获利最大，最大为元．
【解析】设每个，型乒乓球拍的生产成本分别元，元，然后根据生产个型和个型乒乓球拍，共需成本元；生产个型和个型乒乓球拍，共需成本元列出方程组求解即可；
设生产了型乒乓球拍个，则生产了型乒乓球拍个，根据生产型乒乓球拍的数量不少于型乒乓球拍数量的倍求出，再根据利润单个利润数量列出关于的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的方程，不等式和函数关系式是解题的关键．
23.【答案】证明：如图所示，连接，
，，
，
，即，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
如图所示，连接，
，
，
，，
，
，，，
，
≌，
，
，
；
是直径，
，
，
，
在中，，
可设，
，
，，
，
，
在中，，
，，
，
，
．
【解析】如图所示，连接，根据等边对等角得到，再由推出，进而得到，即可证明是的切线；
如图所示，连接，根据等边对等角得到，证明，得到，，，再证明≌，得到，即可证明，则；
由是直径，得到，则，解，可设，则，证明，解求出，则，，即可证明．
本题主要考查了切线的判定，圆周角等量，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形等等，正确作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：在中，当时，，
，
，
，
在中，当时，，
；
设抛物线解析式为，
把代入得，
解得：，
抛物线解析式为；
联立，
解得或，
；
设直线与直线交于点，连接、，，
由对称性可知，
的周长，
是定值，
当、、三点共线时，最小，
，，
抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
，
；
设过点且与平行的直线解析式为，
，
，
过点且与平行的直线解析式为，
，
，
由平行线间的距离处处相等可得点在直线或在直线上，
联立，
解得或，
；
联立，
解得或，
或；
综上，点的坐标为或或．
【解析】先求出点的坐标，进而求出点的坐标，在中，当时，，即可求出点的坐标；
利用待定系数法求解即可；
先求出；设直线与直线交于点，连接、，，由对称性可知，则当、、三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为，此时点与点重合，根据进行求解即可；
先求出过点且与平行的直线解析式为，再证明，则由平行线间的距离处处相等可得点在直线或在直线上，据此求解即可．
本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
第1页，共1页
