高一物理下学期期中期末模型方法大单元综合专练
专题02 平抛运动和斜抛运动的方法模型
特训专题 特训内容
专题1 平抛运动的特点与基本规律（1T—4T）
专题2 平抛运动与平面曲面相结合的问题（5T—8T）
专题3 平抛运动的相遇与临界问题（9T—12T）
专题4 类平抛问题（13T—16T）
专题5 斜抛运动的特点与基本规律（17T—20T）
【典例专练】
平抛运动的特点与基本规律
1．“套圈”是老少皆宜的游戏。如图所示，将A、B、C三个套圈分别以速度v1、v2、v3水平抛出，都能套中地面上的同一玩具，已知套圈A、B抛出时距玩具的水平距离相等，套圈A、C抛出时在同一高度，设套圈A、B、C在空中运动时间分别为t1、t2、t3。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．v1与v2可能相等 B．v2可能大于v3
C．t1可能小于t3 D．t2可能大于t3
2．如图所示，在摩托车比赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的速度为，它会落到坑内c点，c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的速度为，该摩托车恰能越过坑到达b点。等于（ ）
A．18 B． C． D．9
3．如图所示，同一高度有4个相同的小球，同一时刻甲、乙、丙分别沿竖直向下、水平向右和竖直向上以相同的速率抛出，丁做自由落体运动，均不计空气阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．四个小球同时落地 B．甲、乙两小球落地时的速度相同
C．四个小球的加速度相同 D．四个小球的位移相同
4．如图为平静的湖边一倾角为的大坝的横截面示意图，水面与大坝的交点为。一人站在A点处以速度沿水平方向扔小石子，已知，重力加速度为，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则石块可以落入水中
B．越大，平抛过程速度随时间的变化率越大
C．若石块不能落入水中，则越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越大
D．若石块能落入水中，则石块在空中的速度变化量不随的变化而变化
【模型方法总结】
1．四个基本规律
飞行时间 由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关
水平射程 x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关
落地速度 v＝＝，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关
速度改变量 任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示
2．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点为OB的中点。
二、平抛运动与平面曲面相结合的问题
5．如图所示，一小球（可视为质点）从一半圆轨道的左端A点正上方某处开始做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O点为半圆轨道圆心，半圆轨道的半径为R，OB与水平方向的夹角为37°，重力加速度大小为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力，则小球被抛出时的初速度大小为（ ）
A． B． C． D．
6．如图甲所示，将一小物块从坐标原点O点开始，以某一水平速度沿水平x轴向一光滑斜面抛出，物块运动至斜面顶端P处时速度恰好与斜面平行，并沿斜面滑下；不计空气阻力，物块可视为质点。则物块的位移x、y和速度vx、vy随时间变化的图像，可能是图乙中的（ ）
A． B．
C． D．
7．2022年冬奥会即将在北京召开。如图所示是简化后的跳台滑雪的雪道示意图，运动员从助滑雪道上由静止开始滑下，到达C点后水平飞出，落到滑道上的D点，E是运动轨迹上的某一点，在该点运动员的速度方向与轨道平行，设运动员从C到E与从E到D的运动时间分别为、，垂直，则有关离开C点后的飞行过程（ ）
A．一定有，且
B．若运动员离开C点的速度加倍，则落在斜面上的速度方向夹角变大
C．若运动员离开C点的速度加倍，则落在斜面上的速度方向不变
D．若运动员离开C点的速度加倍，则落在斜面上的距离加倍
8．如图所示，倾角分别为30°和60°的两斜面下端紧靠在一起，固定在水平面上，将两个小球a和b从左侧斜面上的A点以不同的初速度向右平抛，下落高度相同，a落到左侧的斜面上，b恰好垂直击中右侧斜面，忽略空气阻力，则（ ）
A．a、b平抛的初速度之比为
B．a、b运动的水平位移之比为1：2
C．若增大a球初速度，a球落到左侧斜面时速度方向与左侧斜面夹角不变
D．若减小a球初速度，a球落到左侧斜面时速度方向与左侧斜面夹角变大
【模型方法总结】
1.与斜面相关的几种的平抛运动
图示 方法 基本规律 运动时间
分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 竖直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得 t＝
分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 竖直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝得 t＝
在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v12＝－2a1d得 t＝，d＝
分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝
2.与斜面相关平抛运动的处理方法
(1)分解速度
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,设平抛运动的初速度为v0,在空中运动时间为t,则平抛运动在水平方向的速度为vx=v0,在竖直方向的速度为vy=gt,合速度为v=,合速度与水平方向的夹角满足tan θ=。
(2)分解位移
平抛运动在水平方向的位移为x=v0t,在竖直方向的位移为y=gt2,对抛出点的位移(合位移)为s=,合位移与水平方向夹角满足tan φ=。
(3)分解加速度
平抛运动也不是一定要分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,在有些问题中,过抛出点建立适当的直角坐标系,把重力加速度g正交分解为gx、gy,把初速度v0正交分解为vx、vy,然后分别在x、y方向列方程求解,可以简化解题过程,化难为易。
3.平抛运动与圆面相结合三种常见情景：
（1）如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置。由半径和几何关系制约时间t：h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。
（2）如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等。
(3)如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等。
三、平抛运动的相遇与临界问题
9．如图所示，某同学利用玩具枪练习射击，空中用细线悬挂一个可视为质点的小球，小球离地高度为h，玩具枪的枪口与小球相距为d且在同一水平面上，子弹以v0的初速度沿水平方向射出，同时剪断悬挂小球的细线，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．子弹在自由飞行的过程中，相同时间内其速度变化量不相等
B．子弹在自由飞行的过程中，其动能随高度的变化是不均匀的
C．要使子弹在小球落地前击中小球，则小球的高度必须满足h>
D．子弹一定能击中小球
10．甲、乙、丙三个小球分别位于如图所示的竖直平面内，甲、乙在同一条竖直线上，甲、丙在同一条水平线上，P、Q点为甲、丙水平距离的三等分点，在同一时刻甲、乙、丙开始运动，甲以水平速度向右做平抛运动，乙以水平速度沿光滑水平面向右做匀速直线运动，丙以水平速度向左做平抛运动，则（ ）
A．无论速度大小如何，甲、乙、丙三球一定会同时在Р点相遇
B．若甲、乙、丙三球同时相遇，则一定发生在P、Q中间
C．若只有甲、乙两球在水平面上相遇，此时丙球一定落在Р点左侧
D．若只有甲、丙两球在空中相遇，此时乙球一定在Р点
11．2019年女排世界杯，中国女排以十一连胜夺冠，如图为排球比赛场地示意图．其长度为L，宽度s，球网高度为h．现女排队员在底线中点正上方沿水平方向发球，发球点高度为1.5h，排球做平抛运动（排球可看做质点，忽略空气阻力），重力加速度为g．则关于排球的运动下列说法正确的是（ ）
A．能过网的最小初速度为
B．能落在界内的最大位移为
C．能过网面不出界的最大初速度为
D．能落在界内的最大末速度为
12．如图所示，M、N是两块挡板，挡板M高m，其上边缘与挡板N的下边缘在同一水平面。从高的A点以速度水平抛出一小球（可视为质点），A点与两挡板的水平距离分别为，。若能使小球直接进入挡板M的右边区域，则小球水平抛出的初速度的大小可能是（g取，空气阻力不计）（ ）
A． B． C． D．
【模型方法总结】
1.平抛运动临界问题
擦网 压线 既擦网又压线
由得： 由得： 由和得：
2.平抛运动中的相遇问题
平抛与自由落体相遇 水平位移：l=vt 空中相遇：
平抛与平抛相遇 若等高（h1=h2），两球同时抛； 若不等高（h1>h2）两球不同时抛，甲球先抛； 位移关系：x1+x2=L
A球先抛； tA>tB； （3）v0A
四、类平抛问题
13．如图，某一圆柱形风筒内有沿水平方向的恒定风力，为测定风力的大小，现让一质量为的轻质小球以速率从A点沿方向进入风筒（图中未画出），小球恰好能沿直线运动到点，若测得，不计小球所受重力，下列说法正确的是（ ）
A．风力的方向由A指向
B．风力的大小为
C．小球运动到点后会返回到A点离开，速率仍为
D．若小球仍以速率从点沿方向进入风筒，则小球会从A点离开风筒
14．如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长，宽，倾角，一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端点A处射出，重力加速度g取。则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动的加速度为
B．小球从B运动到A所用时间为2s
C．小球从B点水平射入时的速度为
D．若小球从B点以的速度水平向左射入，则恰能从底端A点离开斜面
15．如图所示，在倾角为的足够大的光滑斜面上。将小球a、b同时以相同的速率沿水平面内不同方向抛出。已知a球初速度方向垂直竖直平面PQM向外，b球初速度沿着PQ方向。则（ ）
A．若将a球的初速度大小变为之前的2倍，则a球落到斜面上时，其速度大小也将变为之前的2倍
B．a球落到斜面上时，a、b两球的位移大小不相等
C．若将b球的初速度大小变为之前的2倍，则在相同时间内，其速度大小也将变为之前的2倍
D．a球落到斜面上时，a球的速度大小是b球速度大小的2倍
16．如图所示，平面直角坐标系xoy位于光滑水平面内，在x轴上有一点A。从坐标原点O开始以某一速度沿x轴正方向抛出一个物体，物体运动过程中始终受到一个沿y轴负方向的恒力F。经过一段时间，物体恰好运动到B点，且AB两点的连线和x轴垂直（图中物体的运动轨迹没有画出）。则下列说法正确的是（ ）
A．物体的运动轨迹是抛物线的一部分
B．物体的运动轨迹是双曲线的部分
C．物体的运动轨迹是圆周的一部分
D．物体运动到点的速度方向不可能沿着AB方向
【模型方法总结】
1.类平抛运动的受力特点:
物体所受的合外力为恒力,且与初速度的方向垂直。
2.类平抛运动的运动特点:
在初速度v0方向上做匀速直线运动,在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动,加速度a=。
3.类平抛运动的求解方法:
(1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立,互不影响,且与合运动具有等时性。
(2)特殊分解法:对于有些问题,可以过抛出点建立适当的直角坐标系,将加速度a分解为ax、ay,初速度v0分解为vx、vy,然后分别在x、y方向列方程求解。
五、斜抛运动的特点与基本规律
17．篮球比赛时超远距离三分投篮会点燃全场观众的激情。若某运动员在比赛时，以角将篮球斜向上抛出，篮球以与水平面成角从篮框中心准确入框（已知）。若抛出时篮球离篮框中心的水平距离为7.8m，不计空气阻力，篮球可视为质点。则抛出时篮球与篮框中心的高度差为（ ）
A．0.865m B．0.925 m C．0.975 m D．1.025 m
18．如图所示是某同学跳远的频闪图，该同学身高180cm，起跳点为O点。图中辅助标线方格横竖长度比为2∶1，请你估算他起跳时的初速度最接近的值是（ ）
A．4m/s B．5m/s C．6m/s D．7m/s
19．如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则（ ）
A．B的飞行时间比A的长
B．两物体在最高点时速度相同
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的大
20．如图所示，小球以v0=10m/s的瞬时速度从水平地面斜向右上方抛出，速度方向与水平方向的夹角是53°，不计空气阻力，下列说法正确的是（取g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）（ ）
A．小球到达最高点时的瞬时速度为零
B．小球离地面的最大高度是3.2m
C．小球在空中的运动时间是0.8s
D．保持小球速度大小不变，改变速度方向，小球的水平分位移（射程）的最大值是10m
【模型方法总结】
处理方法 水平竖直正交分解 化曲为直 最高点一分为二变平抛运动 逆向处理 将初速度和重力加速度 沿斜面和垂直斜面分解
基本规律 水平速度： 竖直速度： 最高点： 最高点：速度水平 垂直斜面： 沿着斜面： 最高点：高一物理下学期期中期末模型方法大单元综合专练
专题02 平抛运动和斜抛运动的方法模型
特训专题 特训内容
专题1 平抛运动的特点与基本规律（1T—4T）
专题2 平抛运动与平面曲面相结合的问题（5T—8T）
专题3 平抛运动的相遇与临界问题（9T—12T）
专题4 类平抛问题（13T—16T）
专题5 斜抛运动的特点与基本规律（17T—20T）
【典例专练】
平抛运动的特点与基本规律
1．“套圈”是老少皆宜的游戏。如图所示，将A、B、C三个套圈分别以速度v1、v2、v3水平抛出，都能套中地面上的同一玩具，已知套圈A、B抛出时距玩具的水平距离相等，套圈A、C抛出时在同一高度，设套圈A、B、C在空中运动时间分别为t1、t2、t3。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．v1与v2可能相等 B．v2可能大于v3
C．t1可能小于t3 D．t2可能大于t3
【答案】B
【详解】CD．套圈竖直方向做自由落体运动，则有解得由于可得
故CD错误；
A．套圈水平方向做匀速直线运动，则有由于，可得故A错误；
B．套圈水平方向做匀速直线运动，则有可得，由于，则可能大于，故B正确。故选B。
2．如图所示，在摩托车比赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的速度为，它会落到坑内c点，c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的速度为，该摩托车恰能越过坑到达b点。等于（ ）
A．18 B． C． D．9
【答案】B
【详解】由a点到c点过程，有，解得由a点到b点过程，有，
解得则有故选B。
3．如图所示，同一高度有4个相同的小球，同一时刻甲、乙、丙分别沿竖直向下、水平向右和竖直向上以相同的速率抛出，丁做自由落体运动，均不计空气阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．四个小球同时落地 B．甲、乙两小球落地时的速度相同
C．四个小球的加速度相同 D．四个小球的位移相同
【答案】C
【详解】C．甲、乙、丙球被抛出，丁球做自由落体后，均不计空气阻力，四个物体只受重力，由牛顿第二定律可得，四个小球的加速度相同，均为g，C正确；
A．设竖直向下为正方向，由运动学公式，对甲球有竖直方向，对乙球有对丙球有
对丁球有整理可得，A错误；
B．由题意可知，甲球落地时的速度为乙球落地时的速度为故甲、乙两小球落地时的速度不相同，B错误；
D．甲、丙、丁三个小球落到抛出位置的正下方，位移大小和方向相同，乙小球水平方向有位移，根据几何关系可知，四个小球位移不相同，D错误。
4．如图为平静的湖边一倾角为的大坝的横截面示意图，水面与大坝的交点为。一人站在A点处以速度沿水平方向扔小石子，已知，重力加速度为，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则石块可以落入水中
B．越大，平抛过程速度随时间的变化率越大
C．若石块不能落入水中，则越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越大
D．若石块能落入水中，则石块在空中的速度变化量不随的变化而变化
【答案】AD
【详解】A．假设v0=18m/s，石块可以落入水中，根据平抛运动的规律得，解得运动时间为
则因为所以石块可以落入水中，A正确；
B．由于速度随时间的变化率即加速度，而平抛运动的加速度为重力加速度是不变的，故B错误；
C．若石块不能落入水中，落到斜面上时，位移与水平方向的夹角为，则速度方向与水平方向的夹角α为
所以落到斜面上时速度方向与斜面的夹角与v0无关，故C错误；
D．若石块能落入水中，说明石子下落的高度相等，运动时间相等，根据速度变化量公式v=gt可得全程的速度变化量是一定的，故D正确。故选AD。
【模型方法总结】
1．四个基本规律
飞行时间 由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关
水平射程 x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关
落地速度 v＝＝，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关
速度改变量 任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示
2．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点为OB的中点。
二、平抛运动与平面曲面相结合的问题
5．如图所示，一小球（可视为质点）从一半圆轨道的左端A点正上方某处开始做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O点为半圆轨道圆心，半圆轨道的半径为R，OB与水平方向的夹角为37°，重力加速度大小为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力，则小球被抛出时的初速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】小球恰好与半圆轨道相切于B点，则；；解得
故选A。
6．如图甲所示，将一小物块从坐标原点O点开始，以某一水平速度沿水平x轴向一光滑斜面抛出，物块运动至斜面顶端P处时速度恰好与斜面平行，并沿斜面滑下；不计空气阻力，物块可视为质点。则物块的位移x、y和速度vx、vy随时间变化的图像，可能是图乙中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】小物块到达斜面之前做平抛运动，水平方向为匀速直线运动竖直方向为自由落体运动
物块落到斜面之后，受到重力和支持力作用，合力沿斜面向下，根据牛顿第二定律可知
a＝gsinα根据平行四边形定则，将加速度分解为水平方向和竖直方向ax＝gsinαcosα，ay＝gsinαsinα
水平方向做匀加速直线运动；竖直方向继续做匀加速直线运动。
A．位移时间图像切线的斜率表示速度，水平速度先是不变，后逐渐变大，A正确；
B．水平速度先不变，后逐渐变大，所以速度图像先是平行于时间轴，后是向上倾斜的直线，B错误；
C．位移时间图像，切线的斜率表示速度，竖直方向速度一直增大，所以斜率一直变大，C错误；
D．竖直方向加速度先是g，后小于g；速度时间图像切线的斜率表示加速度：后一阶段的斜率应小于前一阶段，D错误。故选A。
7．2022年冬奥会即将在北京召开。如图所示是简化后的跳台滑雪的雪道示意图，运动员从助滑雪道上由静止开始滑下，到达C点后水平飞出，落到滑道上的D点，E是运动轨迹上的某一点，在该点运动员的速度方向与轨道平行，设运动员从C到E与从E到D的运动时间分别为、，垂直，则有关离开C点后的飞行过程（ ）
A．一定有，且
B．若运动员离开C点的速度加倍，则落在斜面上的速度方向夹角变大
C．若运动员离开C点的速度加倍，则落在斜面上的速度方向不变
D．若运动员离开C点的速度加倍，则落在斜面上的距离加倍
【答案】AC
【详解】A．以C点为原点，以CD为x轴，以CD垂直向上方向为y轴，建立坐标系如图
对运动员的运动进行分解，y轴方向做类竖直上拋运动，x轴方向做匀加速直线运动。当运动员到E点速度方向与轨道平行时，在y轴方向上到达最高点，根据竖直上拋运动的对称性，知。而x轴方向运动员做匀加速运动，因，故，故A正确；
BC．设运动员落在斜面上的速度方向与水平方向的夹角为，斜面的倾角为。则有；则得故一定，则一定，则知运动员落在斜面上的速度方向与从C点飞出时的速度大小无关，故B错误，C正确；
D．将初速度沿x、y方向分解为、，将加速度沿x、y方向分解为、，则运动员的运动时间为
落在斜面上的距离离开C点的速度加倍，则、加倍，t加倍，由位移公式得s不是加倍关系，D错误。故选AC。
8．如图所示，倾角分别为30°和60°的两斜面下端紧靠在一起，固定在水平面上，将两个小球a和b从左侧斜面上的A点以不同的初速度向右平抛，下落高度相同，a落到左侧的斜面上，b恰好垂直击中右侧斜面，忽略空气阻力，则（ ）
A．a、b平抛的初速度之比为
B．a、b运动的水平位移之比为1：2
C．若增大a球初速度，a球落到左侧斜面时速度方向与左侧斜面夹角不变
D．若减小a球初速度，a球落到左侧斜面时速度方向与左侧斜面夹角变大
【答案】BC
【详解】A．两球做平抛运动，根据，知下落相同的高度时运动时间相同；由，知落在斜面上时竖直分速度大小相等，则对a球，落在斜面上时，位移方向与水平方向的夹角为，则有
可得a的初速度为对b球，落在斜面上时，速度方向与水平方向的夹角为45°，则有
可得b的初速度为所以可得a、b运动的初速度之比1：2，故A错误；
B．由于两球做平抛运动的时间相同，根据x=v0t可知两球的水平位移之比与初速度成正比，故两球的水平位移之比为等于初速度之比，为1：2，故B正确；
CD．设a球落在斜面上时速度与水平方向的夹角为，根据平抛运动规律有
可知夹角与初速度无关，所以增大或减小初速度，a球落到斜面时速度方向不改变，故C正确，D错误。
故选BC。
【模型方法总结】
1.与斜面相关的几种的平抛运动
图示 方法 基本规律 运动时间
分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx＝v0 竖直vy＝gt 合速度v＝ 由tan θ＝＝得 t＝
分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x＝v0t 竖直y＝gt2 合位移x合＝ 由tan θ＝＝得 t＝
在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t,0－v12＝－2a1d得 t＝，d＝
分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝
2.与斜面相关平抛运动的处理方法
(1)分解速度
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,设平抛运动的初速度为v0,在空中运动时间为t,则平抛运动在水平方向的速度为vx=v0,在竖直方向的速度为vy=gt,合速度为v=,合速度与水平方向的夹角满足tan θ=。
(2)分解位移
平抛运动在水平方向的位移为x=v0t,在竖直方向的位移为y=gt2,对抛出点的位移(合位移)为s=,合位移与水平方向夹角满足tan φ=。
(3)分解加速度
平抛运动也不是一定要分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,在有些问题中,过抛出点建立适当的直角坐标系,把重力加速度g正交分解为gx、gy,把初速度v0正交分解为vx、vy,然后分别在x、y方向列方程求解,可以简化解题过程,化难为易。
3.平抛运动与圆面相结合三种常见情景：
（1）如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置。由半径和几何关系制约时间t：h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。
（2）如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等。
(3)如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等。
三、平抛运动的相遇与临界问题
9．如图所示，某同学利用玩具枪练习射击，空中用细线悬挂一个可视为质点的小球，小球离地高度为h，玩具枪的枪口与小球相距为d且在同一水平面上，子弹以v0的初速度沿水平方向射出，同时剪断悬挂小球的细线，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．子弹在自由飞行的过程中，相同时间内其速度变化量不相等
B．子弹在自由飞行的过程中，其动能随高度的变化是不均匀的
C．要使子弹在小球落地前击中小球，则小球的高度必须满足h>
D．子弹一定能击中小球
【答案】C
【详解】A．子弹从枪膛射出后做平抛运动，由可知，子弹在相等时间内速度的变化量相等，故A错误；
B．对子弹，由动能定理可得由此可知，子弹动能随高度的变化是均匀的，故B错误；
C．若子弹刚好在小球落地时击中小球，有，解得故要想在小球落地前击中小球，则必须满足，故C正确；
D．若子弹的初速度较小，则可能出现子弹落地时其水平位移小于d的情况，此时不能击中小球，故D错误。故选C。
10．甲、乙、丙三个小球分别位于如图所示的竖直平面内，甲、乙在同一条竖直线上，甲、丙在同一条水平线上，P、Q点为甲、丙水平距离的三等分点，在同一时刻甲、乙、丙开始运动，甲以水平速度向右做平抛运动，乙以水平速度沿光滑水平面向右做匀速直线运动，丙以水平速度向左做平抛运动，则（ ）
A．无论速度大小如何，甲、乙、丙三球一定会同时在Р点相遇
B．若甲、乙、丙三球同时相遇，则一定发生在P、Q中间
C．若只有甲、乙两球在水平面上相遇，此时丙球一定落在Р点左侧
D．若只有甲、丙两球在空中相遇，此时乙球一定在Р点
【答案】D
【详解】AB．甲球和丙球做平抛运动，乙球做匀速直线运动，甲球在水平方向上以的速度做匀速直线运动，所以在未落地前，甲、乙两球都在同一竖直线上，最后在地面上相遇，即甲、乙两球的相遇可以在P点，也可以在P点左面或者右面，对于平抛运动，竖直方向有水平方向有又因为甲、丙两球在同一水平线上即两球高度相同，由上述两个式子分析可知，甲、丙两球的运动时间相同，两球的水平位移关系有甲、丙两球同时相遇一定有整理有即甲、丙两球相遇一定在P点或者P点上空，综合上述分析可知，当速度适当时，三球可以在P点同时相遇，故AB错误；
C．甲、乙两球在水平面相遇，只能说明此时甲球落地，根据之前的分析可知，此时丙球也一定落地，且一定有，但因为初速度以及甲、丙两球初始高度不知，所以无法确定、以及的关系，因此，丙球可能在P点，可能在P点左侧，也可能在P点右侧，故C项错误；
D．根据之前的分析可知，甲、丙两球相遇，一定有即甲球的水平位移为三分之一甲、丙两球的水平距离，因为，甲、乙两球始终在同一竖直线上，此时乙球的位移等于甲球的水平位移，即乙球一定在P点，故D项正确。故选D。
11．2019年女排世界杯，中国女排以十一连胜夺冠，如图为排球比赛场地示意图．其长度为L，宽度s，球网高度为h．现女排队员在底线中点正上方沿水平方向发球，发球点高度为1.5h，排球做平抛运动（排球可看做质点，忽略空气阻力），重力加速度为g．则关于排球的运动下列说法正确的是（ ）
A．能过网的最小初速度为
B．能落在界内的最大位移为
C．能过网面不出界的最大初速度为
D．能落在界内的最大末速度为
【答案】D
【详解】A．排球做平抛运动，能过网的最小初速度为，此种情况下，水平位移为
竖直位移为联立解得故A错误；
BCD．排球过网而不出界的最大初速度为，此种情况下，排球落到对角线的顶点处，水平位移
竖直位移联立解得排球做平抛运动，落地时竖直分速度为
能落在界内的最大末速度为最大位移为
故BC错误，D正确。故选D。
12．如图所示，M、N是两块挡板，挡板M高m，其上边缘与挡板N的下边缘在同一水平面。从高的A点以速度水平抛出一小球（可视为质点），A点与两挡板的水平距离分别为，。若能使小球直接进入挡板M的右边区域，则小球水平抛出的初速度的大小可能是（g取，空气阻力不计）（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】要让小球落到挡板M的右边区域，下落的高度为=h-h′=5m可得
水平方向分别满足d1=v01t；d2=v02t得v0的范围为10m/s≤v0≤20m/s故选BC。
【模型方法总结】
1.平抛运动临界问题
擦网 压线 既擦网又压线
由得： 由得： 由和得：
2.平抛运动中的相遇问题
平抛与自由落体相遇 水平位移：l=vt 空中相遇：
平抛与平抛相遇 若等高（h1=h2），两球同时抛； 若不等高（h1>h2）两球不同时抛，甲球先抛； 位移关系：x1+x2=L
A球先抛； tA>tB； （3）v0A
四、类平抛问题
13．如图，某一圆柱形风筒内有沿水平方向的恒定风力，为测定风力的大小，现让一质量为的轻质小球以速率从A点沿方向进入风筒（图中未画出），小球恰好能沿直线运动到点，若测得，不计小球所受重力，下列说法正确的是（ ）
A．风力的方向由A指向
B．风力的大小为
C．小球运动到点后会返回到A点离开，速率仍为
D．若小球仍以速率从点沿方向进入风筒，则小球会从A点离开风筒
【答案】BC
【详解】
A．小球从A运动到，到点时速度刚好为零，故小球做匀减速直线运动，风力方向与初速度方向相反，由指向A，故A错误；
B．对小球，从A到O，根据动能定理有故故B正确；
C．小球到达O点时速度为零，但仍受到恒定向右的风力作用，所以会向右做匀加速直线运动，根据能量守恒，小球到达A点时速率为，接着离开风筒，故C正确；
D．若小球仍以速率从C点沿CO方向进入风筒，小球会做类平抛运动，如图，小球沿轴做匀速直线运动，若能到达A点，则，小球沿轴做匀加速直线运动，加速度位移为
小球不会从A点离开风筒，故D错误。故选BC。
14．如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长，宽，倾角，一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端点A处射出，重力加速度g取。则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动的加速度为
B．小球从B运动到A所用时间为2s
C．小球从B点水平射入时的速度为
D．若小球从B点以的速度水平向左射入，则恰能从底端A点离开斜面
【答案】C
【详解】A．依据曲线条件，初速度与合力方向垂直，且合力大小恒定，则物体做匀变速曲线运动，再根据牛顿第二定律得，物体的加速度为故A错误；
B．根据解得故B错误；
C．根据b=v0t有故C正确；
D．若小球从B点以4m/s的速度水平向左射入，因水平位移不变，则下落的时间会减小，则不能从底端A点离开斜面，故D错误；故选C。
15．如图所示，在倾角为的足够大的光滑斜面上。将小球a、b同时以相同的速率沿水平面内不同方向抛出。已知a球初速度方向垂直竖直平面PQM向外，b球初速度沿着PQ方向。则（ ）
A．若将a球的初速度大小变为之前的2倍，则a球落到斜面上时，其速度大小也将变为之前的2倍
B．a球落到斜面上时，a、b两球的位移大小不相等
C．若将b球的初速度大小变为之前的2倍，则在相同时间内，其速度大小也将变为之前的2倍
D．a球落到斜面上时，a球的速度大小是b球速度大小的2倍
【答案】AB
【详解】A．当a球落到斜面时，有解得则a球落到斜面时的速度
因为，若将a球的初速度大小变为之前的2倍。则a球落到斜面上时，其速度大小也变为之前的2倍，故A项正确；
B．由之前的分析可知a球落到斜面上用时为此时a球的位移为，b球的水平位移为沿斜面向下的位移为，b球的位移为故a、b两球的位移大小不相等，故B项正确；
C．根据所以相同时间内，其速度大小不一定变为之前的两倍，故C项错误；
D．a球落到斜面上时，a球的速度大小为此时b球的速度大小为
故D项错误。故选AB。
16．如图所示，平面直角坐标系xoy位于光滑水平面内，在x轴上有一点A。从坐标原点O开始以某一速度沿x轴正方向抛出一个物体，物体运动过程中始终受到一个沿y轴负方向的恒力F。经过一段时间，物体恰好运动到B点，且AB两点的连线和x轴垂直（图中物体的运动轨迹没有画出）。则下列说法正确的是（ ）
A．物体的运动轨迹是抛物线的一部分
B．物体的运动轨迹是双曲线的部分
C．物体的运动轨迹是圆周的一部分
D．物体运动到点的速度方向不可能沿着AB方向
【答案】AD
【详解】ABC．因为恒力与初速度垂直，则物体做类平抛运动，所以物体的运动轨迹是抛物线的一部分，A正确，BC错误；
D．物体沿初速度方向做匀速直线运动，运动到点时沿x轴方向速度不等于零，所以物体在B点的速度方向不可能沿着AB方向，D正确。
故选AD。
【模型方法总结】
1.类平抛运动的受力特点:
物体所受的合外力为恒力,且与初速度的方向垂直。
2.类平抛运动的运动特点:
在初速度v0方向上做匀速直线运动,在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动,加速度a=。
3.类平抛运动的求解方法:
(1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立,互不影响,且与合运动具有等时性。
(2)特殊分解法:对于有些问题,可以过抛出点建立适当的直角坐标系,将加速度a分解为ax、ay,初速度v0分解为vx、vy,然后分别在x、y方向列方程求解。
五、斜抛运动的特点与基本规律
17．篮球比赛时超远距离三分投篮会点燃全场观众的激情。若某运动员在比赛时，以角将篮球斜向上抛出，篮球以与水平面成角从篮框中心准确入框（已知）。若抛出时篮球离篮框中心的水平距离为7.8m，不计空气阻力，篮球可视为质点。则抛出时篮球与篮框中心的高度差为（ ）
A．0.865m B．0.925 m C．0.975 m D．1.025 m
【答案】C
【详解】根据题意水平方向竖直方向且解得 ，则故选C。
18．如图所示是某同学跳远的频闪图，该同学身高180cm，起跳点为O点。图中辅助标线方格横竖长度比为2∶1，请你估算他起跳时的初速度最接近的值是（ ）
A．4m/s B．5m/s C．6m/s D．7m/s
【答案】D
【详解】从图中可知，人的高度约占三格竖直线，所以一格竖直线的长度约为
则一格水平线的长度约为从起跳到最高点过程，重心在竖直方向运动了约2格，根据逆向思维有，解得，水平方向运动了约2格，则有解得起跳时的初速度为故选D。
19．如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则（ ）
A．B的飞行时间比A的长
B．两物体在最高点时速度相同
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的大
【答案】CD
【详解】A．两球都做斜抛运动，竖直方向的分运动是竖直上抛运动，根据运动的对称性可知，两球上升和下落的时间相等，而下落过程，由知下落时间相等，则两球运动的时间相等。故A错误。
BC．根据对称性性可知从抛出到落地的时间相同，达到最高点的速度等于水平方向的速度，根据x=vxt
可知B在最高点的速度比A在最高点的大。故B错误C正确。
D．根据速度的合成可知，B的初速度大于A球的初速度，运动过程中两球的机械能都守恒，则知B在落地时的速度比A在落地时的大。故D正确。故选CD。
20．如图所示，小球以v0=10m/s的瞬时速度从水平地面斜向右上方抛出，速度方向与水平方向的夹角是53°，不计空气阻力，下列说法正确的是（取g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）（ ）
A．小球到达最高点时的瞬时速度为零
B．小球离地面的最大高度是3.2m
C．小球在空中的运动时间是0.8s
D．保持小球速度大小不变，改变速度方向，小球的水平分位移（射程）的最大值是10m
【答案】BD
【详解】A．小球做斜上抛运动，有；当小球到达最高点时，竖直方向的速度减为零，小球的速度为水平方向速度，大小为6m/s，故A错误；
B．小球离地面的最大高度为故B正确；
C．小球在空中运动的时间为故C错误；
D．保持小球速度大小不变，改变速度方向，设初速度与水平方向的夹角为θ，则有；
小球的水平分位移为由此可知，当sin2θ=1，即θ=45°时，小球的水平位移达到最大故D正确。故选BD。
【模型方法总结】
处理方法 水平竖直正交分解 化曲为直 最高点一分为二变平抛运动 逆向处理 将初速度和重力加速度 沿斜面和垂直斜面分解
基本规律 水平速度： 竖直速度： 最高点： 最高点：速度水平 垂直斜面： 沿着斜面： 最高点：
