2023年辽宁省鞍山市中考数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数的绝对值是( )
A. B. C. D.
2. 如图，是由四个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列计算中，结果正确的是( )
A. B. C. D.
4. 如图所示，，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
5. 甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击次，成绩单位：环统计如表：
甲 乙 丙 丁
平均数
方差
如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 如图，是由绕点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，一套三角板和斜边恰好重合，点与点在边两侧，连接，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，在正方形中，，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿路径运动，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿路径运动，当点与点重合时停止运动，设点的运动时间为秒，的面积为，则能反映与之间函数关系的图象大致为( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 通常人体感染的感冒病毒的直径约为纳米，纳米米，则用科学记数法表示为______ ．
10. 在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点对应点的坐标是______ ．
11. 要在规定的时间内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定时间内完成，乙单独做则要超过天才能完成，现在甲、乙两人合作天后，再由乙单独做，正好按时完成，若设规定时间为天，则依据题意可列方程为______ ．
12. 三角形的两条边长分别为和，若第三条边长为整数，则第三条边长的最大值为______ ．
13. 将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到抛物线的表达式为______ ．
14. 如图，在平行四边形中，以为圆心，适当长为半径画弧，交边于点，交边于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，画射线与边交于点；再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于，两点，作直线恰好经过点，连接，若，，则平行四边形的周长为______ ．
15. 如图，在矩形中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限内，反比例函数的图象分别与，，交于，，三点，与交于点，连接，，若，，则的值为______ ．
16. 如图，在平行四边形中，，点为边上一点，点为延长线上一点，连接，，若，，，则平行四边形的面积为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
如图，在和中，，点在边上，，求证：≌．
19. 本小题分
月日是世界读书日，某校开展了“诵读经典，传承文化”为主题的读书活动，学校对本校学生四月份阅读书籍的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量单位：本进行了统计，根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图．
读书量 本 本 本 本 本
人数 人 人 人 人 人
本次调查共抽取学生多少人？
求的值及扇形统计图中“本”部分所对应的圆心角的度数；
已知该校有名学生，请估计该校学生中四月份读书量不少于“本”的学生人数．
20. 本小题分
某同学拿出四张扑克牌，它们的牌面数字分别为，，，，其他全都相同，将这四张扑克牌背面朝上洗匀．
若随机抽取一张扑克牌，抽到数字的概率为______ ；
将这四张扑克牌背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，不放回；再从剩余的三张牌中随机抽取一张，请利用列表法或画树状图法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和小于的概率．
21. 本小题分
图是一盏可调节台灯，图为其平面示意图，固定底座与水平面垂直，为固定支撑杆，为可绕着点旋转的调节杆，若，，，，，求台灯灯体到水平面的距离结果精确到，参考数据：，，，，，
22. 本小题分
如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于，两点．
求反比例函数和一次函数的表达式；
过点作轴且，连接，求的面积．
23. 本小题分
在中，以为直径作，与交于点，连接，点为半圆中点，连接，与交于，连接，若，．
求证：为切线；
若，求的半径长．
24. 本小题分
某商场销售某品牌牛奶制品，进价为元箱，保质期为个月，按元箱销售，每月可以售出箱，该商场购进一批该品牌牛奶制品，前两个月按原价销售，从第三个月开始按原售价降低降价为整数元进行销售，第六个月时，由于临近保质期打折进行销售，经过调查发现，每箱售价每降低元，月销量增加箱．
求该款奶制品在保质期内最多可以销售多少箱含的代数式表示？
若第三个月的销售利润为元，
求与之间的函数关系式；
当为何值时，的值最大，最大值是多少？
25. 本小题分
如图，和都是等边三角形，连接，求证：．
如图，在四边形中，，，若，，求的长．
如图，在四边形中，，，，若，，求的长．
26. 本小题分
抛物线与轴交于，两点点在点在点左侧，与轴交于点，顶点为点．
如图，若点坐标为，
求抛物线的解析式；
点为线段上一点，过作轴分别与抛物线，直线交于，两点，抛物线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
已知，点的坐标为，点的坐标为，若顶点恰好在直线上，抛物线经过四个象限，且与线段有且只有一个公共点，直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为负数的绝对值等于它的相反数；
所以，的绝对值等于．
故选：．
利用绝对值的意义求解．
本题考查绝对值的含义，即：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
2.【答案】
【解析】解：该几何体的俯视图是
故选：．
根据几何体的俯视图是从几何体的上面看到的图形解答即可．
本题考查了几何体的三视图，属于基本题型，熟知几何体的俯视图是从几何体的上面看到的图形是解答本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：根据同底数幂的乘法，，那么A错误，故A不符合题意．
B.根据同底数幂的除法，，那么B正确，故B符合题意．
C.根据合并同类项法则，，那么C错误，故C不符合题意．
D.根据幂的乘方，，那么D错误，故D不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、合并同类项法则、幂的乘方解决此题．
本题主要考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法则法、同底数幂的除法法则、合并同类项法则、幂的乘方是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
根据平行线的判定可得，再利用平行线的性质可求解．
本题主要考查平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：丁的平均分最高，方差最小，最稳定，
应选丁，
故选：．
利用平均数和方差的性质即可得解，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
本题考查了方差，平均数的知识，正确理解方差，平均数的意义是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
是由绕点旋转得到的，
为旋转角，
旋转角的度数为．
故选：．
首先利用已知条件求出，然后利用旋转角的定义即可求解．
此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是正确找出旋转角．
7.【答案】
【解析】解：和是一套三角板，
，，
，
、、、四点共圆，
，
故选：．
利用对角互补证四点共圆，再利用圆周角定理求解即可．
本题考查了四点共圆和圆周角定理，掌握四点共圆的条件是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：如图所示，当点在上时，过点作于，
由题意得，，
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
；
如图所示，当点在上，点在上时，
由题意得，，
，
，
四个选项中只有选项符合题意，
故选：．
分如图所示，当点在上时，过点作于，如图所示，当点在上，点在上时，两种情况分别求出与的函数关系式即可得到答案．
本题主要考查了函数图象的识别，正方形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题考查科学记数法的表示，解题的关键是确定题目中的值．
10.【答案】或
【解析】解：点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
点的对应点的坐标是：或，即或．
故答案为：或．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或解答．
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
11.【答案】
【解析】解：设总工程量为单位“”，由题意可得，
乙两人的工作效率分别是：，，
，
故答案为：．
根据各工作量之和等于总工程量列方程即可得到答案；
本题考查分式方程解决应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系式．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得，设第三边为，，
，
，，
第三条边长为整数，
可能为：，，，，，，，，
则第三边长的最大值为．
故答案为：．
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合整数直接求解即可得到答案．
本题考查三角形三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，
向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度可得解析式：，
新抛物线的表达式为，
故答案为：．
将二次函数一般式化为顶点式，再利用平移规律即可解答．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：根据作法得：平分，垂直平分，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
平行四边形的周长为．
故答案为：．
根据作法得：平分，垂直平分，可得到，再由平行四边形的性质可得，然后结合，可得，从而得到，再由勾股定理可得，，，即可求解．
本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，尺规作图，熟练掌握平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，尺规作图的基本作法是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：连接，过作于，过作于，
连接交于，过作于，
在矩形中，
，
，
，
，
反比例函数的图象分别与，，交于，，三点，
设，，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
设，，
，
，
将代入，
，
，
∽，
，
，
，
，那么，两点重合，
，
，
解得，
，
故答案为：．
连接，过作于，过作于，连接交于，过作于，证出∽，由此解答即可．
此题考查反比例函数的几何意义，解题关键是通过相似求出各个点横纵坐标之间的数量关系，设出未知数，然后将坐标转化为三角形的边长，将已知三角形的面积用未知数表示出来，进而转化出的值．
16.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
设，则，
，
，，
和都是等腰三角形，
，
过作于，过作于，
则，，
，
，，
∽，
，即，
解得，舍去，
，
在中，，
，
，
．
故答案为：．
由得，过作于，过作于，设，则，由，，可证∽，进而得，即可解出的值，在中，根据勾股定理可求得，最后根据平行四边形的面积公式即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、平行四边形的面积公式、解分式方程等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质．
17.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】先算括号内的减法，然后再算括号外面的除法，最后代入求值．
本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则以及利用二次根式的性质进行分母有理化是解题关键．
18.【答案】证明：，
，
．
，，
，
．
，
≌．
【解析】利用同时加证出，利用和三角形内角和可证出，进而就可证出≌．
本题考查了三角形的全等判定，三角形的内角和等知识的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决此题的关键．
19.【答案】解：人，
答：本次调查共抽取学生人．
，
“本”部分所对应的圆心角的度数为：，
人，
答：该校学生中四月份读书量不少于“本”的学生人数为人．
【解析】用学生四月份阅读书籍的读书量为“本”的人数除以其所占的百分比，即可求解；
用总人数减去读书量为“本”、“本”、“本”、“本”的人数，即可求出的值；用本的人数除以总人数乘以度，即可求解；
用读书量为“本”、“本”、“本”的人数和除以，再乘以，即可求解．
本题考查数据的分析，解题的关键是掌握能够根据图中的相关数据，进行求解．
20.【答案】
【解析】解：若随机抽取一张扑克牌，抽到数字的概率为：．
故答案为：．
如图：
此事件共有种情况，且可能性相等，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和小于的有种情况，
．
直接用概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字之和小于的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题的关键是要注意此题是放回试验还是不放回试验，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：过作交于，过作交于，延长交于，
，
，
在中，，，
，
，，，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
答：到水平面的距离约为．
【解析】过作交于，过作交于，延长交于，根据，求出，根据余玄直接求出，即可得到，根据，，得到四边形为矩形，得到，从而得到，结合即可得到答案．
本题考查解直角三角形的实际应用，作出辅助线，求出相关角度是解题的关键．
22.【答案】解：的图象过，
，
，
的图象过，
，
，
图象过，两点，
，
解得，
；
过作交于，
，，且轴，
，，
在中，，
，
．
【解析】将点代入反比例函数求出解析式，代入点坐标求出，代入一次函数即可得到答案；
过作交于，求出点坐标，即可得到，结合三角形面积公式求解即可得到答案；
本题考查反比例函数与一次函数结合问题，勾股定理，解题的关键是根据交点求出两个函数解析式．
23.【答案】证明：点为半圆中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，为直径，
为切线；
解：连接．
，
，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
，
半径为．
【解析】根据等弧所对的圆周角相等得到，即，根据的等边对等角得到证明结论；
连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，即可求出，然后利用勾股定理求出半径长．
本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
24.【答案】解：由题意可得，箱，
答：该款奶制品在保质期内最多可以销售箱；
由题意可得，，
且：，，
解得：，
；
，，
当时，最大，
元，
答：当时，最大，元．
【解析】根据活动表示出各个月的销量，用六个月的数量相加即可得到答案；
根据利润等于数量乘以利润单价列等式即可得到答案；根据二次函数的性质直接求解即可得到答案．
本题考查二次函数解决销售利润问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式．
25.【答案】证明：和为等边三角形，
，，，
，
，
≌，
；
解：在延长线上取点，连接，使得，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
，
≌，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
；
解：作，在边上截得，连接，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
≌，
，
．
【解析】根据和是等边三角形得到，，，，从而得到，即可得到≌，即可得到证明；
在延长线上取点，连接，使得，根据，得到，根据，得到，，即可得到≌，根据，得到∽，即可得到答案；
作，在边上截得，连接，先证∽，再证，根据勾股定理求出，再证≌即可得到答案；
本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是作出辅助线得到相似及全等的条件．
26.【答案】解：设抛物线解析式，
抛物线过，顶点为，
，
，
，
，
．
点为线段上一点，过作轴分别与抛物线，直线交于，两点，抛物线上是否存在点，
设，，，
连接，交于，
四边形为平行四边形，
与互相平分，
为中点，为中点，
为中点，
，
，
，
为中点，
，，
，，
，
在抛物线上，
，
，
解得：，，
，．
设顶点坐标为，
顶点恰好在直线上，
，
整理得．
设点在抛物线上，
，
，
当时，，
当时或；当时；
当时，，
当时或；当时；
点的坐标为，点的坐标为，抛物线与线段有且只有一个公共点，
，
或，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，，此时抛物线与轴交点为，与线段有且只有一个公共点；
同理，当时，与线段有两个公共点；
当时，与线段有且只有一个公共点；
当时，与线段有两个公共点；
综上所述，的取值范围为或．
【解析】利用顶点式求解析式即可；
利用平行四边形对角线互相平分结合中点坐标公式求解即可；
设顶点坐标为，表示出抛物线解析式，设点在抛物线上，根据与线段有且只有一个公共点可得，列不等式计算即可．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的应用，利用二次函数解二次不等式，理解与线段有且只有一个公共点表示的意义是解题的关键．
第1页，共1页
