2023年河南省三门峡市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的倒数是( )
A. B. C. D.
2. 如图是六个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图为( )
A.
B.
C.
D.
3. 年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”作为本次冬奥会北京主赛区标志性场馆、也是唯一新建的冰上竞赛场馆，实现了绿色、智能、可持续据测算，“冰丝带”安装的千瓦屋顶光伏电站，每年可输出超万度清洁电力，相当于减排二氧化碳万吨，发出的电全部用于场馆日常用电将数据万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，只添加一个条件，不能判断≌的是( )
A.
B.
C.
D.
5. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 一元二次方程的根的情况( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 只有一个实数根
7. 某次射击比赛，甲队员的成绩如图所示，根据此统计图，下列结论中错误的是( )
A. 这组成绩的中位数是环 B. 这组成绩的平均成绩是环
C. 这组成绩的最低成绩是环 D. 这组成绩的众数是环
8. 如图，图是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图所示的数学图形已知垂直地面上的直线于点，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升即始终平行于在该运动过程中，当时，的度数是( )
A. B. C. D.
9. 过直线外一点作直线的垂线下列尺规作图错误的是( )
A. B.
C. D.
10. 在数学“综合与实践”活动课上，小红同学用正方形纸片制作成图所示的七巧板，并拼成图的“奔跑者”形象已知图中正方形纸片的边长为，图中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即，之间的距离是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 写出一个图象位于第一、三象限的反比例函数的表达式：______．
12. 已知点在第二象限，则的取值范围是______ ．
13. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐小文将它们背面朝上放在桌面上邮票背面完全相同，让小乐从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是______ ．
14. 如图，为半圆的直径，，将半圆沿直线向右平移使圆心与点重合得到半圆，与相交于点，则图中阴影部分的面积是______ ．
15. 如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点，分别在边，上，点，的对应点分别为点，，且点在矩形内部，的延长线交边于点，交边于点，，当点为的三等分点时，的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：；
化简：．
17. 本小题分
教育部在大中小学劳动教育指导纲要试行中明确要求：初中生每周课外生活和家庭生活中，劳动时间不少于小时某中学为了解学生课外生活和家庭生活劳动时间的情况，对该校学生进行了随机抽样调查，并将调查结果制成不完整的统计图表，如图：
平均每周劳动时间的频数统计表：
劳动时间小时 频数
平均每周劳动时间的扇形统计图．
请根据图表信息，回答下列问题：
参加此次调查的总人数是______ 人，频数统计表中 ______ ；
在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数是______ ；
若该校有名学生，请估计该校平均每周劳动时间符合教育部要求的人数有多少？
请对该校学生的劳动时间进行评价，并提出一条合理化建议．
18. 本小题分
宝轮寺塔，位于河南省三门峡市陕州风景区宝轮寺塔始建于隋文帝仁寿元年年，故称仁寿建塔为供奉舍利由尼姑道秀主持建筑，塔体为木塔金大定十七年年，僧人智秀重建宝轮寺塔砖塔因其塔内回声类似蛤蟆的叫声，俗称“蛤蟆塔”某数学兴趣小组为了测量宝轮寺塔的高度，小组成员张扬同学用无人机航拍进行测量如图，无人机在处测得宝轮寺塔顶端的俯角为，从点朝塔顶的方向水平前进米到达处，测得宝轮寺塔顶端的俯角为已知无人机的飞行高度为米，求宝轮寺塔的高度结果保留整数，参考数据：，，，
19. 本小题分
已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
求一次函数的解析式，并在图中画出这个一次函数的图象；
根据函数图象，直接写出不等式的解集；
若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积．
20. 本小题分
麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排，两种型号的收割机进行小麦收割作业已知一台型收割机比一台型收割机平均每天多收割公顷小麦，一台型收割机收割公顷小麦所用的时间与一台型收割机收割公顷小麦所用的时间相同．
一台型收割机和一台型收割机平均每天各收脚小麦多少公顷？
已知型收割机收费是元公顷，型收割机收费是元公顷该农场安排两种型号的收割机共台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于公顷的小麦收割任务，安排多少台型收割机才能花费最少？最少是多少元？
21. 本小题分
阅读与思考
如表是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
年月日星期日晴
过圆外一点作圆的切线
我学习了圆的有关定理，知道“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，并学会了如何用尺规过圆上一点作圆的切线，那么能否用尺规过圆外一点作出圆的切线呢？经过反复思考，我想出了两种作法具体如下已知点是外的一点：
作法一如图：
连接，作线段的垂直平分线，交于点；
以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点；
作直线，则直线是的切线．
证明：如图，连接，．
由作图可知，
，依据
在中，，
．
．
．
是的半径，
直线是的切线．
作法二如图：
连接，交于点，过点作的垂线；
以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点；
连接，交于点；
作直线，则直线是的切线．
证明：
任务：
“作法一”中的“依据”是指 ．
请写出“作法二”的证明过程．
22. 本小题分
如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心水平距离处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面．
建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；
场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心请通过计算说明小丽判断的正确性；
在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规在的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？
23. 本小题分
【感知】如图，中，，，则的度数为______ ；
【探究】如图，四边形是一张边长为的正方形纸片，，分别为，的中点，沿过点的折痕将纸片翻折，使点落在上的点处，折痕交于点，试求的度数和的长；
【拓展】若矩形纸片按图所示的方式折叠，，两点恰好重合于对角线的中点如图，当时，请直接写出的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查的是倒数的定义，乘积是的两数互为倒数．
根据倒数的定义解答即可．
【解答】
解：的倒数是．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：该图是原几何体的主视图，故不符合题意；
B.该图不是原几何体的视图，故不符合题意；
C.该图是原几何体的俯视图，故不符合题意；
D.该图是原几何体的左视图，故符合题意．
故选：．
根据三视图的定义逐项分析即可．
本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．
3.【答案】
【解析】解：万，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4.【答案】
【解析】解：，
，
A、，，≌能判断≌，不符合题意；
B、，利用可以判断≌，不选项符合题意；
C、，不能判断≌，符合题意；
D、，能判断≌，不符合题意．
故选：．
先证明，再根据三角形全等的判定方法做出选择即可．
本题考查三角形全等的判定，根据、、、、判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：．与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B.，正确，符合题意；
C.，原计算错误，不符合题意；
D.，原计算错误，不符合题意．
故选：．
根据合并同类二次根式，分式的除法，幂的乘方，单项式与单项式乘法的运算法则逐项分析即可．
本题考查了二次根式的加减法，涉及到分式的除法，幂的乘方与积的乘方，单项式与单项式乘法的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
，，，
．
原方程有两个不相等的实数根．
故答案选：．
先将一元二次方程化为一般式，然后根据即可求解．
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式对应的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不等实根；当时，方程有两个相等实根；当时，方程没有实根．
7.【答案】
【解析】解：、按从小到大排序为：，，，，，，，，，，中位数为环，选项说法错误，符合题意；
B、平均成绩：，选项说法正确，符合题意；
C、由统计图得，最低成绩是环，选项说法正确，不符合题意；
D、由统计图得，出现了次，出现的次数最多，这组成绩的众数是环，选项说法正确，不符合题意；
故选：．
根据统计图可求出中位数，即可判断选项A，根据统计图即可判断选项C，根据统计图可求出平均成绩，即可判断选项B，根据所给数据即可判断选项D．
本题考查了平均数，众数，中位数，解题的关键是理解题意掌握平均数，众数和中位数的计算方法．
8.【答案】
【解析】解：如图所示，过点作，
，
，
，，
，即，
，，
，
故选：．
如图所示，过点作，利用平行线的性质得到，，进而求出，，则．
本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：选项A，连接，，，，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
，故此选项不符合题意；
选项B，连接，，，，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
，故此选项不符合题意；
选项C，无法证明，故此选项符合题意；
选项D，连接，，，，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
，故此选项不符合题意；
故选：．
根据作图痕迹结合线段垂直平分线的判定进行分析判断．
本题考查尺规作图，准确识图，掌握线段垂直平分线的判定定理是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：如图中，过点作于，过点作于．
由图可知，，都是等腰直角三角形，，，，与之间的距离为，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
与之间的距离，
故选：．
如图中，过点作于，过点作于由图可求出，，，与之间的距离为，由∽可求出，进而可求出与之间的距离．
本题考查七巧板，正方形的性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题．
11.【答案】答案不唯一
【解析】解；设反比例函数表达式为，
图象位于第一、三象限，
，
可写解析式为，
故答案为：答案不唯一
首先设反比例函数表达式为，再根据图象位于第一、三象限，可得，再写一个大于的反比例函数解析式即可．
此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数，，反比例函数图象在一、三象限；，反比例函数图象在二、四象限内．
12.【答案】
【解析】解：点在第二象限，
故答案为：．
根据直角坐标系的性质，通过列一元一次不等式组并求解，即可得到答案．
本题考查了直角坐标系、一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握象限、一元一次不等式组的性质，从而完成求解．
13.【答案】
【解析】解：设立春用表示，立夏用表示，秋分用表示，大寒用表示，画树状图如下，
由图可得，一共有种等可能性的结果，
其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有种，
小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是，
故答案为：．
根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
14.【答案】
【解析】解：连接，，作于点，
由题意可知，，
是等边三角形，
，，
，
．
故答案为：．
连接，，作于点，先证明是等边三角形，根据勾股定理求出的长，然后根据求解即可．
本题考查了平移的性质，不规则图形的面积计算，勾股定理，等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解答本题的关键．
15.【答案】或
【解析】解：当时，，
将矩形纸片折叠，折痕为，
，，，，，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
过点作于点，则，
设，
则，
，
，
，
，
解得：，
；
当时，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
故答案为：或．
根据点为三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明，得到，证明∽，求出的长，过点作于点，则，设，根据勾股定理列方程求出即可．
本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，考查了分类讨论的思想，根据勾股定理列方程求解是解题的关键．
16.【答案】解：原式
；
原式．
【解析】先根据负整数指数幂，立方根的性质，特殊角锐角三角函数值，零指数幂化简，再计算，即可求解；
先计算括号内的，再计算除法，即可求解．
本题主要考查了负整数指数幂，立方根的性质，特殊角锐角三角函数值，零指数幂，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：人，，
所以，参加此次调查的总人数是人，频数统计表中．
故答案为：，；
在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：；
人．
答：该校平均每周劳动时间符合教育部要求的人数约有人；
该校超过一半的学生没有达到教育部在大中小学劳动教育指导纲要试行中规定的劳动时间，建议学校增设特色劳动课程，加强家校联系，每周给学生布置合适的劳动作业，提高劳动时间等．答案不唯一，合理即可．
利用组人数除以其所占百分比即可求得参加此次调查的总人数；利用抽样调查总人数减去、、组人数即可；
利用乘以组人数与此次调查的总人数的比值即可获得答案；
利用该校总人数乘以参与调查的学生中劳动时间不少于小时的学生占调查总人数的比值即可；
根据调查结果对该校学生的劳动时间进行评价，并提出合理化建议．
本题主要考查了频数统计表、扇形统计图、利用样本估计整体等知识，结合频数统计表和扇形统计图获得所需信息是解题关键．
18.【答案】解：作，交的延长线于点，作于点，
四边形为矩形．
．
同理，可得，
在中，，
．
在中，
，，
．
解之，得．
米．
答：宝轮寺塔的高度约为米．
【解析】作，交的延长线于点，作于点，则，，在中，根据可求出，进而可求出宝轮寺塔的高度．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
19.【答案】解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
，，
解得，，
，，
将点，代入一次函数，可得，
解得，
该一次函数解析式为；
一次函数图象如下图所示：
结合中函数图象，
可得或；
点是点关于轴的对称点，，
点的坐标为，如下图，
，边上的高为，
．
【解析】首先确定点、坐标，再利用待定系数求得一次函数解析式即可；
结合中函数图象，即可获得答案；
根据对称求出点的坐标，再利用点、、的坐标求出的高和底，即可求出面积．
本题主要考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与反比例函数综合问题、关于坐标轴对称点等知识，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．
20.【答案】解：设一台型收割机平均每天收割小麦公顷，则一台型收割机平均每天收割小麦公顷，
由题意，得，
解之，得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
．
答：一台型收割机平均每天收割小麦公顷，一台型收割机平均每天收割小麦公顷．
设安排台型收割机，则需要安排台型收割机，
由题意，得．
解之，得．
设总费用为元，由题意，得．
，
随的增大而增大．
当时，有最小值．
元．
答：安排台型收割机才能花费最少，最少费用是元．
【解析】设一台型收割机平均每天收割小麦公顷，则一台型收割机平均每天收割小麦公顷，根据一台型收割机收割公顷小麦所用的时间与一台型收割机收割公顷小麦所用的时间相同列出方程求解即可；
设安排台型收割机，则需要安排台型收割机，根据每天完成不少于公顷的小麦收割任务，求出的取值范围；设总费用为元，根据题意列出关于的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
本题主要考查了一次函数的实际应用，分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的方程，函数关系式和不等式是解题的关键．
21.【答案】同一个三角形中，等边对等角
【解析】解：根据题意可得，“作法一”中的“依据”是指，同一个三角形中，等边对等角，
故答案为：同一个三角形中，等边对等角；
由作法可得，，，
在和中，
，
≌，
，
，
而是的半径，
直线是的切线．
根据题意和等边对等角的性质求解即可；
由作法可得到，，然后证明≌，得到，从而得到，由切线的判定定理得出结论．
此题考查了作图应用与设计作图，切线的判定定理，全等三角形的性质和判定，等边对等角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
22.【答案】解：抛物线顶点坐标为，
设抛物线的解析式为．
把代入，得．
；
把代入抛物线解析式，
得．
，
此球不能投中，小丽的判断是正确的．
当时，，
解之，得或．
，
．
答：张亮应在李明前面米范围内处跳起拦截才能盖帽成功．
【解析】由题意可知，抛物线的顶点坐标为，求出手时的坐标为，设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可；
求得当时的函数值，与比较即可说明小丽判断的正确性；
将代入函数的解析式求得的值，进而得出答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：感知：
中，，，
，
；
故答案为：；
探究：正方形边长为，，分别为，的中点，
．
沿过点的折痕将纸片翻折，使点落在上的点处，
，
，
，
．
沿折叠落在处，
，，
．
，，
，
．
，
，
，
则．
拓展：．
折叠后，两点恰好重合于一点，
，
，
，
．
，
在中，，
则．
，
，
，
．
同理，可得．
．
感知：由特殊角的三角函数值即可求解；
探究：由折叠的性质可知，，，利用折叠性质就可求的度数；在中，根据勾股定理可求出，，通过角的计算，可得出，即可求解；
拓展：利用折叠的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形进行求解即可．
本题考查了含度的直角三角形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定及性质等知识，掌握正方形、矩形折叠的性质是解决本题的关键．
第1页，共1页
