2023年内蒙古包头市昆都仑区三校联考中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数，，，中，最小的数是( )
A. B. C. D.
2. 在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下约农村贫困人口全部脱贫．将用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 下列立体图形中，它的三视图都相同的是( )
A. B. C. D.
4. 若与是同类项，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 函数中自变量的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 关于的方程有两个实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D.
7. 某市月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
8. 如图，平行线、被直线所截，过点作于点，已知，则( )
A. B. C. D.
9. 如图，将图中的菱形纸片沿对角线剪成个直角三角形，拼成如图的四边形相邻纸片之间不重叠，无缝隙若四边形的面积为，中间空白处的四边形的面积为，直角三角形的两条直角边分别为和，则( )
A. B. C. D.
10. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
11. 下列命题中，真命题的个数有( )
如果不等式的解集为，那么
已知二次函数，当时，随的增大而减小
顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形
各边对应成比例的两个多边形相似
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
13. 因式分解：______．
14. 在一个不透明的布袋里装有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同，若先摸出个球，记下颜色后不放回，再摸出个球，则两次摸出的球恰好一红一白的概率是______．
15. 不等式组的最小整数解为______ ．
16. 如图，已知的直径垂直于弦，垂足为点，，，则的长为______ ．
17. 若关于的方程的解是正数，则的取值范围为______ ．
18. 如图，直线是矩形的一条对称轴，点在边上，将沿折叠，点恰好落在与的交点处，若，则的长为______ ．
19. 如图，矩形与反比例函数是非零常数，的图象交于点，，与反比例函数是非零常数，的图象交于点，连接，若四边形的面积为，则 ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
中国共产党的助手和后备军中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务成立一百周年之际，各中学持续开展了：青年大学习；：青年学党史；：中国梦宣传教育；：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图请根据图中提供的信息，解答下列问题：
在这次调查中，一共抽取了______ 名学生；
补全条形统计图：
若该校共有学生名，请估计参加项活动的学生数；
小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．
21. 本小题分
亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽鄂州花湖机场，于年月日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为若斜坡的坡比：，铅垂高度米点、、、在同一水平线上求：
两位市民甲、乙之间的距离；
此时飞机的高度结果保留根号
22. 本小题分
年春，新冠病毒奥密克戎变异毒株在我国多个地区传播，市场上防疫消毒用品需求量激增．某防疫消毒用品商店有两款免洗消毒洗手液销售，这两款洗手液进价和售价如下表：
款 款
进价元箱
售价元箱
该店某次用元购进这两款洗手液共箱，求两款洗手液各购进多少箱？
该店计划再次购进这两款洗手液共箱，要使这批购进的洗手液售出后利润不低于元，则进货款最低需要花费多少元？
23. 本小题分
如图，是的外接圆，为的直径，点为上一点，交的延长线于点，与交于点，连接，若．
求证：是的切线．
若，，求的半径．
24. 本小题分
如图，在矩形中，，，点、分别在、上，且，点为的中点，连接交于点．
当为的中点时，求证：；
若，求的值；
若，求的值．
25. 本小题分
如图，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为，与轴相交于点．
求抛物线的解析式和点的坐标；
若点在直线上方的抛物线上运动与点，不重合，求使面积最大时点的坐标，并求最大面积；请在图中探索
设点在轴上，点在抛物线上，要使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点的坐标．请在图中探索
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
最小的数是，
故选：．
根据实数的大小比较法则比较即可．
本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：球的三视图都是大小相同的圆，因此选项A符合题意；
圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，因此选项B不符合题意；
三棱柱主视图、左视图是长方形，俯视图为三角形，因此选项C不符合题意；
圆柱的主视图、左视图是长方形，俯视图为圆，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据球体、圆锥体、圆柱体、三棱柱的三视图进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
4.【答案】
【解析】解：由同类项的概念可知：，，
解得：，，
，
故选：．
根据同类项的定义，得到关于、的等式，然后求出、的值并计算即可得到答案．
此题考查的是同类项，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
5.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及函数自变量的取值范围，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．
根据负数没有平方根求出的范围，表示在数轴上即可．
【解答】
解：由函数，得到，
解得：，
表示在数轴上，如图所示：
故选：．
6.【答案】
【解析】解：由题意知，且．
解得且．
故选：．
根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得出且，建立关于的不等式组，求出的取值范围．
本题考查了一元二次方程根的判别式，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了条形统计图和中位数．
根据条形统计图得到各数据出现的天数，然后根据众数和中位数的定义求解．
【解答】
解：这组数据中，出现了次，出现次数最多，所以众数为，
第个数和第个数都是，所以中位数是．
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
延长，交于，根据对顶角相等得到，再依据平行线的性质得到，最后结合直角三角形的性质得结果．
本题考查了对顶角、平行线的性质等知识点，延长构造内错角是解决本题的关键．
【解答】延长，交于，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的性质，完全平方公式，掌握菱形的性质是解题的关键．
由菱形的性质可得四边形是正方形，利用勾股定理可得，中间空白处的四边形也是正方形，可得，求出数值即可求解．
【解答】
解：四边形的面积为，
，
中间空白处的四边形的面积为，
，即
解得，
，
故选D．
10.【答案】
【解析】解：由，可设，则，，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
平分，
，
，
，，
，
，
∽，
．
故选：．
设，则，，先根据平行四边形的性质得到，，，再证明得到，，所以，接着利用得到∽，然后根据利用相似比得到的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．
11.【答案】
【解析】解：如果不等式的解集为，则，
，故本小题说法是真命题；
已知二次函数，当时，随的增大而减小，本小题说法是真命题；
顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形，本小题说法是真命题；
各边对应成比例、对应角相等的两个多边形相似，故本小题说法是假命题；
故选：．
根据不等式的性质、二次函数的性质、菱形的判定定理、相似多边形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
12.【答案】
【解析】解：的对称轴为直线，
顶点坐标为，
当时，在，函数有最小值，
的最小值为，
，
；
当时，在，当时，函数有最小值，
，
解得；
综上所述：的值为或，
故选：．
分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好一红一白的结果有种，
两次摸出的球恰好一红一白的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好一红一白的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】
【解析】解：，
解得，
解得，
不等式组的解集为，
不等式组的最小整数解为，
故答案为．
先解不等式组，求出解集，再找出最小的整数解即可．
本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
16.【答案】
【解析】解：连接，
，
，
直径，
，，
，
，，
，
，
故答案为：．
连接，根据圆周角定理可得，再利用垂径定理可得，，从而可得，，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键．
17.【答案】且
【解析】解：原方程左右两边同时乘以，得：，
解得：，
原方程的解为正数且，
，
解得：且，
故答案为：且．
先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出的取值范围．
本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，熟知解分式方程的方法是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：四过形是矩形，
，
直线是矩形的一条对称轴，
设，与对称轴分别交于点、，
则，，，
是的中点，
由折叠得，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
设，与对称轴分别交于点、，说明点是的中点，则可得，进而解决问题．
本题主要考查了矩形的性质，翻折变换，含角的直角三角形的性质，确定是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：、的图象均在第一象限，
，，
点、均在反比例函数是非零常数，的图象上，
，
矩形的顶点在反比例函数是非零常数，的图象上，
，
，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质以及反比例函数系数的几何意义即可得出结论．
本题考查了矩形的性质，反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
20.【答案】
【解析】解：在这次调查中，一共抽取的学生为：名，
故答案为：；
的人数为：名，
补全条形统计图如下：
名，
答：估计参加项活动的学生为名；
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有种，
小杰和小慧参加同一项活动的概率为．
由的人数除以所占的比例即可；
求出的人数，补全条形统计图即可；
由该校共有学生乘以参加项活动的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．掌握公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
21.【答案】解：斜坡的坡比：，米，
，
米，
在中，米，
两位市民甲、乙之间的距离为米；
过点作，垂足为，
则米，，
设米，
在中，，
米，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
此时飞机的高度为米．
【解析】根据斜坡的坡比：，可得米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
过点作，垂足为，则米，，设米，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：设购进款洗手液箱，则购进款洗手液箱，由题意得：
，
解得：，
答：购进款洗手液箱，购进款洗手液箱；
设购进款洗手液箱，则购进款洗手液箱，进货款为元，
则，
由题意得：，
解得：，
，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值，最小值为，
答：进货款最低需要花费元．
【解析】设购进款洗手液箱，则购进款洗手液箱，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；
设购进款洗手液箱，则购进款洗手液箱，进货款为元，根据总花费等于两款洗衣液费用之和列出函数解析式，再根据箱洗手液售出后利润不低于元列出一元一次不等式求出的取值范围，再根据函数的性质求最值即可．
本题主要考查一次函数、二元一次方程组、一元一次不等式的应用，关键是根据数量关系列出一次函数解析式和二元一次方程组．
23.【答案】证明：连接，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
是直径，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
解：，
∽，
，，
设的半径为，
，，，
，
，
解得：，
的半径为．
【解析】根据切线的判定定理，圆周角定理解答即可；
根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可．
本题主要考查了切线的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关的定理是解答本题的关键．
24.【答案】证明：为的中点，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中
≌，
，
点为的中点，
，
，
，
；
解：，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由同理得，，
，
解得，
，
．
【解析】根据矩形的性质，利用证明≌，得，再利用点为的中点，即可证明结论；
利用∽，得，从而求出的长，再利用∽，得，求出的长，可得答案；
首先利用同角的余角相等得，则，得，可得的长，由同理可得答案．
本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出的长是解决和的关键．
25.【答案】解：将，代入，
，
解得，
，
令，则，
；
作直线，过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
，
解得，
设，则，
，
，
当时，的面积有最大值，
此时；
令，则，
解得或，
，
设，，
当为平行四边形的对角线时，，
；
当为平行四边形的对角线时，，
解得，
；
当为平行四边形的对角线时，，
解得，
；
综上所述：点坐标为或或
【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
作直线，过点作轴交于点，求出直线的解析式，设，则，可得，再求解即可；
设，，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
第1页，共1页
