人教A版（2019）选择性必修第二册《4.3 等比数列》提升训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知数列中，，且，则数列的前项和为
A. B. C. D.
2.（5分）某超市去年的销售额为万元，计划在今后年内每年比上一年增长，从今年起年内这家超市的总销售额为万元．
A. B.
C. D.
3.（5分）若实数，，成等比数列，则函数的图象与轴交点的个数为
A. 个 B. 个 C. 个 D. 不能确定
4.（5分）已知数列为单调递增的等差数列，且，若，，成等比数列，则
A. B. C. D.
5.（5分）已知等比数列的前项和，则
A. B. C. D.
6.（5分）在正项等比数列中，，，记数列的前项和、前项积分别为，，若，则的最大值为
A. B. C. D.
7.（5分）已知等比数列各项均为正数，公比为，满足，，，则
A. B. C. D.
8.（5分）等比数列中，，，，则
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）若无穷数列满足：，当，时，其中，…，表示，，…，中的最大项，下列结论正确的是
A. 若数列是常数列，则
B. 若数列是公差的等差数列，则
C. 若数列是公比为的等比数列，则
D. 若存在正整数，对任意，都有，则是数列的最大项.
10.（5分）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是
A. B. 数列是公差为的等差数列
C. 数列的前项和的最大值为 D. 数列是等比数列
11.（5分）设数列的前项和为，若，则下列说法中正确的有
A. 存在，，使得是等差数列
B. 存在，，使得是等比数列
C. 对任意，，都有一定是等差数列或等比数列
D. 存在，，使得既不是等差数列也不是等比数列
12.（5分）已知等差数列的首项为，公差，前项和为，则下列结论成立的有
A. 数列的前项和为
B. 若，，成等比数列，则
C. 若，则的最小值为
D. 若，则的最小值为
13.（5分）若正项等比数列满足，，则下列选项正确的为
A. 若…，则
B. 数列的通项
C. 数列的前项和
D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知等比数列中，，公比，则通项公式______ ．
15.（5分）已知所有项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则公比__________．
16.（5分）设是等比数列的前项和，，，，且对任意正整数恒成立，则的取值范围是______．
17.（5分）已知等比数列的前项和为，公比，若且，则__________.
18.（5分）已知等比数列的首项，公比为，其前项和为记为，则函数的解析式为______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知为公差不为零的等差数列，其前项和为，且，，，成等比数列．
求与；
设，若…恒成立，求实数的取值范围．
20.（12分）已知公差不为的等差数列的首项为，且，，成等比数列．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ令，设数列的前项和为，证明：．
21.（12分）已知数列的首项，，，，，．
证明：数列是等比数列；
求数列的前项和．
22.（12分）已知一列非零向量满足：，．
写出数列的通项公式；
求出向量与的夹角，并将中所有与平行的向量取出来，按原来的顺序排成一列，组成新的数列，，为坐标原点，求点列的坐标；
令，求的极限点位置．注：若点坐标为，，则称点为点列的极限点．
23.（12分）在单调递增数列中，，，且，，成等差数列，，，成等比数列，，，，…．
分别计算，和，的值；
求数列的通项公式将用表示；
设数列的前项和为，证明：，
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】
此题主要考查数列的求和，属于基础题.
利用分组转化为等差数列的求和.
解：由，可知数列中奇数项和偶数项分别构成公差为的等差数列，
所以数列的前项和为：
，
故选
2.【答案】D;
【解析】解：每一年的销售额形成等比数列满足，，，，
可得：．
从今年起年内这家超市的总销售额．
每一年的销售额形成等比数列满足，，，，再利用求和公式即可得出．
该题考查了等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3.【答案】B;
【解析】解：由，，成等比数列，得到，且，
令
则，
所以函数的图象与轴的交点个数是个．
故选：．
根据，及为等比数列，得到，且，然后表示出此二次函数的根的判别式，判断出根的判别式的符号即可得到二次函数与轴交点的个数．
这道题主要考查了等比数列的性质，灵活运用根的判别式的符号判断二次函数与轴的交点个数，属于基础题．
4.【答案】D;
【解析】【试题解析】
此题主要考查等差数列的通项公式和等比数列的性质，属于基础题.
设等差数列的公差为，，运用等差数列的通项公式和等比中项性质，解方程可得公差，进而求解.
解：设等差数列的公差为，，
可得，，，
由，，成等比数列，
得，
解得或舍去，
故选
5.【答案】C;
【解析】解：等比数列的前项和，
，
，
，
，，成等比数列，
，
解得．
故选：．
等比数列的前项和，分别求出，，，由，，成等比数列，求出的值．
该题考查实数值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】B;
【解析】解：在正项等比数列中，，，
，
解得，
记数列的前项和、前项积分别为，，
，
，
当时，，，成立，
当时，，，成立，
当时，，，不成立，
故的最大值为．
故选：．
利用等比数列通项公式列方程求出，由此能求出满足条件的的最大值．
此题主要考查等比数列中满足前项和与前积的数量关系的项数的最大值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】D;
【解析】
根据等比数列的性质可得，求出，，即可求出公比的平方．
该题考查了等比数列的性质和等比数列的通项公式，属于基础题．
解：，，等比数列各项均为正数，满足
解得，，
，
故选：
8.【答案】A;
【解析】解：由，，，
可得，
解方程可得
故选：
运用等比数列的求和公式，代入数据计算即可得到
此题主要考查等比数列的求和公式的运用．考查运算能力，属于基础题．
9.【答案】ABCD;
【解析】
此题主要考查数列新定义问题，考查等差数列和等比数列的综合应用，属于综合题．
由常数列，结合新定义可得，可判断；由等差数列的定义和单调性，可判断；由等比数列的定义可判断；假设是数列的最大项，得到可判断
解：若数列是常数列，由…，，
可得…，，则，故正确；
B.若数列是公差的等差数列，由…，，
若，可得数列递减，可得…，成立；若，则…，，则是常数列，这与数列是等差数列矛盾，所以不成立综上，，故正确；
C.若数列是公比为的等比数列，若可得数列为非零常数列，不成立；
由，可得舍去 或，即有，，则数列递增，又由…，，可得，可得，则，故正确；
，若存在正整数，对任意，都有，假设在，，，，中最大，则在，，，，中也是最大，因为，，所以，故是数列的最大值，故正确．
故选
10.【答案】AD;
【解析】解：，，
，，又公比为整数，
解得，故A正确；
，，
由，
得数列是公差为的等差数列，故B错误；
数列是首项为，公比为的等比数列，其前项和为，故C错误；
，，
由，得数列是公比为的等比数列，故D正确．
故选：．
由，，结合公比为整数解得，，求出，，然后逐一核对四个选项得答案．
此题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及前项和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】ABD;
【解析】解：，当时，
两式作差得：
当时，，数列是等比数列，对；
当且时，，可得：，，
数列既不是等差也不是等比数列，对；
当时，，满足此式，正确；
通过对的判断可知显然错；
故选：
把换成写出新的等式，原等式与新等式作差可解决此题．
此题主要考查等差等比数列、作差法，考查数学运算能力，属于中档题．
12.【答案】AB;
【解析】
此题主要考查等差数列的性质，考查裂项求和，等比中项，和基本不等式求最值，考查分析推理能力，属于中档题.
由已知可得：，，，则数列为等差数列通过公式即可求得前项和通过等比中项可验证选项因为 ，通过裂项求和可求得由等差数列的性质可知，利用基本不等式可验证选项错误.
解：由已知可得：，，
，则数列为等差数列，
则前项和为，所以正确
成等比数列，则，
即，解得，故正确
因为，
所以，
解得，故的最小值为，故选项错误
由等差数列的性质可知，
所以
，
当且仅当时，即时取等号，
因为，，
所以不成立，故选项错误.
故选
13.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查了等比数列的通项公式、等比数列的性质和等比数列的求和，属于中档题.
根据题意，直接求出等比数列通项公式，再逐一判定即可得出结论.
解：由若正项等比数列满足，，设公比为，
则，所以舍负，
所以数列各项为，，，，，，，，，，……，
所以若…，则，故正确；
数列的通项，故错误；
数列的前项和，故正确；
由等比数列的性质可知，故错误，
故选
14.【答案】-4n;
【解析】解：等比数列中，，公比，
通项公式；
故答案为：
把已知数据代入等比数列的通项公式即可．
该题考查等比数列的通项公式，属基础题．
15.【答案】4;
【解析】
该题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用等比数列的求和公式即可得出．
解：由题意得，，又，
，
解得或舍，
．
故答案为：．
16.【答案】[8，+∞）;
【解析】解：设等比数列的公比为，
则，
又，
，解得或舍去，
．
对任意正整数恒成立，
的取值范围是．
故答案为：．
由已知求得等比数列的公比，写出等比数列的前项和，可得等比数列的前项和公式结合已知条件，结合对任意正整数恒成立，可得的取值范围．
此题主要考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前项和，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题．
17.【答案】-21;
【解析】，，，解得，或舍去故答案为.
18.【答案】;
【解析】解：当时，，函数．
当时，，函数．
当时，，函数．
综上可得：．
故答案为：．
当时，，可得函数当时，，可得函数当时，同理可得．
该题考查了等比数列的通项公式及其前项和公式性质、极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：设等差数列的公差为，
则由可得，得，①
又，，成等比数列，且，，，
所以，整理得，
因为，所以，②
联立①②，解得，，
所以，；
证明：由得 ，
所以…，
又，因为，且当趋近于时，的值无限接近于，
又…恒成立，
所以;
【解析】此题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查了裂项相消法求和，属于中档题．
设等差数列的首项为，公差为，由题意列方程组求得首项和公差，则数列的通项公式和前项和可求；
将等差数列的前项和，代入，利用裂项相消求和，结合不等式的性质求得的取值范围，根据不等式恒成立思想求得的取值范围.
20.【答案】解：设等差数列的公差为，
，，成等比数列，
，，
化为：，，解得，
．
证明：
，
数列的前项和为
．;
【解析】该题考查了等差数列的通项公式与等比数列的性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
设等差数列的公差为，又，，成等比数列，可得，再利用等差数列的通项公式即可得出．
由，利用“裂项求和”方法即可得出．
21.【答案】Ⅰ证明：，
，
．
又，，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
Ⅱ解：由Ⅰ知，即，
．
设，
则
得，
．
又，
数列的前项和．;
【解析】该题考查等比数列的证明，考查数列求和，考查错位相减法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
Ⅰ由，可得，即可证明数列是等比数列；
Ⅱ分组，再利用错位相减法即可求出数列的前项和．
22.【答案】（1）证明：=，
因为，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以数列的通项公式：=．
（2）因为，
所以 a n → . a n - 1 → | a n → || a n - 1 → | = 1 2 | a n - 1 → | 2 | a n → || a a 1 → | =，
由（1）可知：，
所以，
又因为，
所以向量与向量的夹角为，
又4＜，＞=π，
所以与是共线向量，且当k为奇数时方向相反，当k为偶数时方向相同．
因此与向量共线的向量为．
所以
因为是等比数列，
所以．
设，则，=0；
所以点列{Bn}坐标为．
（3）因为是等比数列，．
由（2）可知，
同理可得，
，
，
所以，
易知：，
故的极限点位置为．;
【解析】
利用向量模长坐标公式统一用和表示，找到对应比例关系即可
利用向量数量积的坐标表示的到数量积，再利用数量积的一般公式反解出夹角余弦值，进而得到夹角，
找到平行向量所具有的特征，表示出新数列的坐标即可
利用中得到的公式，将进行拆分运算，再合并即可发现规律．
熟练找到题目中隐藏的规律性内容是解这道题的关键，剩余内容就是计算，也考查了思维能力与运算能力，属于难题．
23.【答案】解：（1）由已知，得=3，=6，，=8．（2分）
（2），，，；，，，．
∴猜想，，n∈N*，（4分）
以下用数学归纳法证明之．
①当n=1时，==1，，猜想成立；
②假设n=k（k≥1，k∈N*）时，猜想成立，即，，
那么，．
∴n=k+1时，猜想也成立．
由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n∈N*，猜想成立．（6分）
∴当n为奇数时，；
当n为偶数时，．
即数列{}的通项公式为．（9分）
（3）由（2），
得．
以下用数学归纳法证明，n∈N*．
①当n=1时，；
当n=2时，．
∴n=1，2时，不等式成立．（11分）
②假设n=k（k≥2）时，不等式成立，即，
那么，当k为奇数时，
=；
当k为偶数时，
=．
∴n=k+1时，不等式也成立．
由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n∈N*，不等式成立．（14分）;
【解析】
由，，且，，成等差数列，，，成等比数列递推可得，，，
由猜想出通项公式，再用数学归纳法证明，要注意递推的严密性，
由求得，用数学归纳法证明
此题主要考查等差数列、等比数列、递推数列的有关概念，考查归纳推理、数学归纳法、分类讨论、不等式的放缩等重要数学思想方法，并对学生的创新意识、推理论证能力、运算求解能力进行了考查．
