人教A版（2019）选择性必修第三册《第六章 计数原理》单元测试2
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取个数，则选取的个数之和为偶数的概率为
A. B. C. D.
2.（5分）某社区服务站将名志愿者分到个不同的社区参加活动，要求每个社区至少人，不同的分配方案有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.（5分）如果的展开式中各项系数的和为，则展开式中项的系数为
A. B. C. D.
4.（5分）敦煌石窟具有丰富的历史、艺术、科技和社会价值，某研究所有名研究员一直在探索如何用数字化技术手段展现敦煌文化，其中人为资深专家．现有关部门决定从这名研究员中随机选出人，负责后期制作工作，则至少选出位资深专家的概率为
A. B. C. D.
5.（5分）在，，，，…，中任取个数，，，且满足，，，共有多少种不同的方法
A. B. C. D.
6.（5分）河南省级高中学业水平考试在年月日至日共考试三天，需考语文、数学、英语、物理、化学、生物、政治、历史、地理九门学科，若语文、数学、英语必须安排在下午，每天上午安排其余的六门学科，且每天上午先后考两门， 下午考一门，问有多少种安排考试顺序的方法
A. B. C. D.
7.（5分）某学校需要把包含甲、乙、丙在内的名教育专家安排到高一、高二、高三三个年级去听课，每个年级安排名专家，已知甲必须安排到高一年级，乙和丙不能安排到同一年级，则安排方案的种数有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.（5分）某学校组织高一和高二两个年级的同学，开展“学雷锋敬老爱老”志愿服务活动，利用暑期到敬老院进行打扫卫生、表演文艺节目、倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动．现有来自高一年级的名同学，其中男生名、女生名；高二年级的名同学，其中男生名、女生名．现从这名同学中随机选择名打扫卫生，则选出的名同学中恰有名男生，且这名男生来自同一个年级的概率是
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知，则下列选项正确的有
A. B.
C. D.
10.（5分）年月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，某医院派出甲、乙、丙、丁名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是
A. 所有不同分派方案共种
B. 若每家企业至少分派名医生，则所有不同分派方案共种
C. 若每家企业至少分派名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共种
D. 若企业最多派名医生，则所有不同分派方案共种
11.（5分）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是
A. 如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有种
B. 最左端只能排甲或乙，则不同的排法共有种
C. 甲乙不相邻的排法种数为种
D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种
12.（5分）若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两项都是正数的概率为，则
A. B.
C. D.
13.（5分）已知，则
A. 的值为 B. 的值为
C. 的值为 D. 的值为
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）的展开式的常数项是 ______ 用数字作答
15.（5分）甲和乙等名志愿者参加进博会四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少人，且甲和乙不在同一个岗位服务，则共有___________种不同的参加方法结果用数值表示
16.（5分）已知，则的值为_______.
17.（5分）如图，现有种不同颜色给图中个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有 ______种不同涂色方法；若要求种颜色都用上且任意两个相邻区域不同色，共有 ______种不同涂色方法．用数字作答
18.（5分）我国古代人民采用“刻痕计数”，即在木头兽骨和石块上留下刻痕来记录数字．若某部落规定一条刻痕代表数字，则两条刻痕代表数字 ______，三条刻痕代表数字 ______.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知函数，其中，
若，，求的值；
若，，求的最大值；
20.（12分）已知在的展开式中所有奇数项的二项式系数的和为
求的值；
求展开式中所有项的系数之和.
21.（12分）直线，，将圆分成，，，四个区域，如图用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？
22.（12分）已知，其中，，是常数，计算：
；
；
；
．
23.（12分）已知等式．
求的展开式中含的项的系数，并化简：
证明：．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
本题，考查古典概型，考查计数原理的应用，属于基础题．利用组合数计算出所有取法数，列举出所有满足其和为偶数的情况，然后求概率即可.
解；根据题意，四个阴数即个偶数：、、、，五个阳数即即奇数：、、、、
若从四个阴数和五个阳数中随机选取个不同的数，共有种取法.
从中任选个，使选出的个数和为偶数，有种情况，
①选出的个数都是偶数，有种选法，
②选出的个数是个奇数和偶个数，有种选法，
一共有种选法，
若从四个阴数和五个阳数中随机选取个不同的数，其和为偶数的概率是
故选
2.【答案】D;
【解析】解：若个社区的志愿者人数分别为，，，此时不同的分配方案有种，
若个社区的志愿者人数分别为，，，此时不同的分配方案有种，
综上：不同的分配方案有种．
故选：
先分类，分为个社区的志愿者人数分别为，，或，，，再求出两种情况下的不同分配方案，注意部分平均分组问题．
此题主要考查排列组合计数问题，排列组合的实际应用等知识，属于基础题．
3.【答案】D;
【解析】
该题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是中档题．
展开式中令求得各项系数和，得的值；再利用通项公式求得展开式中含、的系数，即可求得对应展开式中项的系数．
解：展开式中，
令得展开式中各项系数的和为，解得；
，
又的展开式通项公式为，
由，解得，
展开式中含的系数为；
令，解得，
展开式中含的系数为；
展开式中项的系数为．
故选D．
4.【答案】A;
【解析】
此题主要考查组合与组合数公式、古典概型的计算与应用，属于基础题.
求出基本事件数，再求出至少有人为资深专家的基本事件个数，利用古典概型的概率公式计算即可
解：从这名研究员中随机选出人，基本事件总数，
至少有人为资深专家的基本事件个数，
所以所求的概率为
故选
5.【答案】B;
【解析】【分析 】
此题主要考查计数问题，考查列举法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
用列举法，由题意，，，，，再分类列举，即可得到结论．
解：用列举法：
由题意，，，，
、当，时，
时，可以取，，，，，这个数中的一个；
时，可以取，，，，这个数中的一个；
时，可以取，，，这个数中的一个；
时，可以取，，这个数中的一个；
时，，
共有种情况；
当，时，同理可求有种情况，
当，时，同理可求有种情况，
当，时，同理可求有种情况，
当，时，同理可求有种情况，
以上共有种情况；
、当时，同理可求有种情况，
、当时，同理可求有种情况，
、当时，同理可求有种情况，
、当时，同理可求有种情况，
综上，共有情况．
故选
6.【答案】D;
【解析】解：根据题意，分步进行分析：
、首先分析上午的安排情况：需要将物理、化学、生物、政治、历史、地理六科安排在个上午，
有种分组情况，
、再将语文、数学、英语安排在三个下午，可以将这三科进行全排列，对应三个下午，有种情况，
则一共有种安排考试顺序的方法；
故选：．
根据题意，分步进行分析：、首先分析上午的安排情况：需要将物理、化学、生物、政治、历史、地理六科安排在个上午；、再将语文、数学、英语安排在三个下午；分别求出每一步的安排方法数目，由分步计数原理计算可得答案．
该题考查排列、组合的综合运用，涉及分步计数原理的应用；解答的关键是依据题意，确定分步分析的思路．
7.【答案】A;
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
甲和乙丙中人在高一，
此时高一的安排方法有种，高二的选法有种，则此时有种安排分法，
甲和其他三人中的人在高一，
则乙丙三人分别在高二、高三，有种情况，将其他三人全排列，安排到三个年级，有种安排方法，
则此时有种安排方法；
故有种安排方法；
故选：．
分种情况讨论：甲和乙丙中人在高一，甲和其他三人中的人在高一，分别求出每种情况下的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．
该题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．
8.【答案】D;
【解析】
此题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．
所有的选法共有种，其中，选出的名同学中恰有名男生，且这名男生来自同一个年级的选法有种，由此求该事件的概率．
解：从这名同学中随机选择名，所有的选法共有种，
设“选出的名同学中恰有名男生，且这名男生来自同一个年级”为事件，
则事件包含的基本事件个数为，
所以
故选
9.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查二项式定理的应用，属于中档题.
根据题意，分析所给代数式的特点，通过对赋值，求展开式的系数和，可得结论．
解：…，
令，可得，故错误；
，故正确；
令，可得…①，故错误；
令，可得… ②，
①②得，故正确，
故选：
10.【答案】BC;
【解析】解：甲、乙、丙、丁名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，所有不同分派方案共种，因此不正确；
B.每家企业至少分派名医生，则所有不同分派方案共种，因此正确；
C.每家企业至少分派名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案分为两种情况：一种方法是企业除了甲以外，另外分配一人有种；另一种方法是企业只分配了甲，则有种；因此共有种，正确；
D.企业最多派名医生，则所有不同分派方案共有：种，不正确．
故选：
A.由题意可得所有不同分派方案共种，即可判断出正误；
B.每家企业至少分派名医生，可得所有不同分派方案共，即可判断出正误；
C.每家企业至少分派名医生，且医生甲必须到企业，可得所有不同分派方案分为两种情况：一种方法是企业除了甲以外，另外分配一人有种；另一种方法是企业只分配了甲，可得有种；即可判断出正误；
D.企业最多派名医生，则所有不同分派方案共有：种，即可判断出正误．
此题主要考查了排列与组合的应用、分类讨论方法，考查了推理能力，属于中档题．
11.【答案】CD;
【解析】
此题主要考查排列组合中的排序问题，常见类型有：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空排；定序问题缩倍法插空法；定位问题优先法，属于基础题.
捆绑法解决，判断，先最左端，然后安排其它位置，分步骤解决，判断，丙，丁，戊全排列，从产生的个空位选个安排甲乙即可，判断，人全排列，除去甲乙丙重复的，即可判断
解：甲，乙必须相邻，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有种，故错.
B.最左端只能排甲或乙，则不同的排法共有种，故不正确.
C.甲乙不相邻的排法种数为种，故正确.
D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故正确.
故选：
12.【答案】AB;
【解析】
此题主要考查数列和概率的综合应用，属于较难题.
利用数列的通项公式和古典概型，结合组合数公式对选项逐个判断即可.解：，，，，正确；
前项中有个正数，个负数，
所以，正确；
前项中有个正数，个负数.
所以，错误；
所以，错误.
故选
13.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查二项式定理的应用，考查特定项的系数求解，属于基础题目.
利用特值法与二项展开式的通项公式进行求解即可.
解：令可得，故正确；
，故正确；
令可得，
，故正确；
令可得，
，故错误.
故选
14.【答案】-20;
【解析】解：，
令，得
故展开式的常数项为
故答案为
利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数为求得常数项．
二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
15.【答案】;
【解析】先求出没有条件限制的种数，再求出甲乙两人在同一岗位的分配方法，利用间接法，问题得以解决．
此题主要考查了排列组合中的分配问题，关键是如何分组，属于中档题．
解：由题意得，有且只有人分在一组，然后平均分到个不同的岗位，则有种不同的分配方案．
甲乙两人在同一岗位的分配方法有种
故甲、乙两人不在同一个岗位服务的分配方法有种．
故答案为：
16.【答案】;
【解析】
此题主要考查了排列数公式，根据进行求解即可，属于基础题.
解：，则，
又，
，
，
故答案为
17.【答案】144 96;略;
【解析】解：任意两个相邻区域不同色，区域有种选法，区域有种选法，区域有种选法，区域可选剩下的一种和区域，所选的颜色，有种选法，区域从区域剩下的种颜色中选，有种选法，共有种；
区域有种选法，区域有种选法，区域有种选法，区域从区域，所选的颜色中选，有种选法，区域可选剩下的一种和区域，所选被区域选剩下的一种，有种选法，共有种．
故答案为：；
根据任意两个相邻区域不同色，先涂区域有种选法，区域有种选法，区域有种选法，区域可选剩下的一种和区域
，所选的颜色，区域从区域剩下的种颜色中选即可．
根据种颜色都用上且任意两个相邻区域不同色，先涂区域有种选法，区域有种选法，区域有种选法，区域从区域，所选的颜色中选，区域可选剩下的一种和区域，所选的被区域选剩下的一种即可．
此题主要考查分类计数原理，还考查了运算求解的能力，属于中档题．
18.【答案】2 3;略;
【解析】解：由题意可知，某部落规定一条刻痕代表数字，则两条刻痕代表数字，三条刻痕代表数字．
故答案为：，
根据已知条件，结合记录数字的规律，即可求解．
此题主要考查了计数原理的实际应用，属于基础题．
19.【答案】解：，时，
，
令得，
…，
令得，
，
可得；
，
则，解得，
不妨设中…最大，
则，即，
所以，则或，
因此，的最大值为;
【解析】此题主要考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
分别令，，利用二项展开式展开求和，将两式相加可得出…；
先由求出，设中最大，由，求出的值后，可求出的最大值；
20.【答案】解：由题意知： 即，得；
设令，
得即展开式中所有项的系数之和为;
【解析】此题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．
依题意得，由二项式系数和，求得的值先运用二项式定理将展开，再令，即可得到答案.
21.【答案】解：由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：
第一类，用4种颜色涂色，有A54种方法；
第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有C53种；
在涂的过程中，选对顶的两部分涂同色，
另两部分涂异色有C21种选法；3种颜色涂上去有A33种涂法．
共C53 C21 A33种涂法；
第三类，用两种颜色涂色．选颜色有C52种选法；
对顶的两部分各涂一色有A22种涂法．共C52 A22种涂法．
∴共有涂色方法A54+C53 C21 A33+C52 A22=260种．;
【解析】
由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：第一类，用种颜色涂色，第二类，用种颜色涂色，第三类，用两种颜色涂色．分别写出三种不同情况下的结果，相加得到结果．
本题以实际问题为载体，考查计数原理的运用，关键搞清是分类，还是分步．
22.【答案】解：在中，
令，可得
在中，
令，可得，
把、相加并除以，
求得
即的展开式中的系数，
．
把、相乘可得，
．;
【解析】这道题主要考查二项式定理的应用，在二项展开式中，通过给变量赋值，求得某些项的系数和，是一种简单有效的方法，属于基础题．
在所给的二项展开式中，令，即可求得的值．
在所给的二项展开式中，令，结合第问，即可求得的值．
即的展开式中的系数，再利用通项公式求得 的值．
根据平方差公式，把、得到的等式相乘可得，计算可得结果．
23.【答案】解：的展开式中含的项的系数为，
由
可知，的展开式中含的项的系数为．
所以．
证明：当时，．
所以．
由知，即，
所以．;
【解析】该题考查了二项式定理的性质、组合数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．
的展开式中含的项的系数为，由可知，的展开式中含的项的系数为即可证明．
当时，即可证明．
