2023年四川省南充市高坪区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若，则( )
A. B. C. D.
2. 如图，是由个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 小林根据体操比赛中七位评委所给的分数制作出了如下表格，若去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是( )
平均数 众数 中位数 方差
分 分 分
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
5. 如图，点，，是上的三点，四边形是平行四边形，交于点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
6. 九章算术记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等交易其一，金轻十三两问金、银一枚各重几何？”大意是：现有一袋黄金枚，一袋白银枚，这两袋的总重量恰好相等若两袋中交换枚黄金与白银，则原装黄金的袋子比装白银的袋子总重量轻了两，问黄金和白银一枚各重几两？若设黄金，白银一枚各重，两，根据题意可列方程组为( )
A. B.
C. D.
7. 根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在以下；如果血乳酸浓度降到以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系关于运动员高强度运动后，下列说法错误的是( )
A. 运动后时，采用慢跑放松与静坐休息体内血乳酸浓度相同
B. 运动后内，静坐休息可使体内血乳酸浓度一直处于下降状态
C. 慢跑可基本消除疲劳
D. 为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑方式来放松
8. 综合与实践课上，李老师让同学们以矩形纸片的折叠为主题开展数学活动如图，将矩形纸片对折，折痕为，再把点折叠在折痕上，其对应点为，折痕为，连接，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
9. 已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
10. 关于的二次函数，下列三个结论：对称轴直线为；点，均在该抛物线上，若，，则；若抛物线与轴只有一个交点，当时，则或其中正确结论为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 已知，则的值为______ ．
12. 中国动车组二等座车厢座位编号采用座位模式，即每排都有，，，，五个座位，其中和是靠窗的座位，和是靠过道位子，是三人座中间位子某天，李老师计划从南充坐动车前往成都出差学习，他在铁路平台上购买二等座动车票，若购票时系统随机为每位乘客分配座位，则他的座位是靠窗的概率是______ ．
13. 如图，正五边形中，将半径绕点逆时针旋转得，连接，，，则的度数为______ ．
14. 研究发现，近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例函数关系，李阳佩戴的度近视镜片的焦距为米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，验光测得现在镜片焦距为米，则李阳的近视眼镜度数可以调整为______ 度
15. 已知关于，的二元一次方程组的解都为非负数，若，则的最大值为______ ．
16. 如图，在菱形中，线段在对角线上运动，，，下列四个结论：；当时，；当为等腰三角形时，；周长的最小值为其中正确结论的序号是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
如图，点，，，在同一直线上，，，求证：．
19. 本小题分
为深入学习贯彻党的二十大精神，某校团委组织开展了“学习二十大奋进新征程”党史知识竞赛，团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩分为，，，四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如图不完整的条形和扇形统计图请根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次调查的样本容量是______ ，圆心角 ______ 度；
已知该中学共有名学生，估计此次竞赛该校获等级的学生人数为多少人？
若在这次竞赛中有甲，乙，丙，丁四人成绩均为满分，现从中随机抽取人代表学校参加县级比赛请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到甲，乙两人同时参赛的概率．
20. 本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
求实数的取值范围；
若，满足，求的值．
21. 本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点．
求一次函数和反比例函数的解析式；
若点关于原点的对称点为，求的面积．
22. 本小题分
如图，为的直径，为延长线上一点，为上一点，．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
23. 本小题分
某商店出售一款成本价每件元的商品，据市场调查反映，该商品的日销售量件与销售单价元之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表：
销售单价元
日销售量件
求关于的函数关系式；
每件商品售价多少元时才能使每天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？
若该商店每天需要支付房租等其它费用共元，为保证支付后剩余的利润每天不低于元，请求该商品销售单价的取值范围备注：销售利润销售单价成本单价销售量
24. 本小题分
如图，在边长为的正方形中，点是对角线上一动点，过点作交于点，连接．
求证：；
当点在上运动时，的大小是否变化？若不变，请你求出的度数；若变化，请你说明理由；
当时，求的长度．
25. 本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
若点是第一象限内抛物线上的一点，与交于点，且，求点的坐标；
如图，已知点，抛物线上是否存在点，使锐角满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，得
，
故选：．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2.【答案】
【解析】解：根据题意可知俯视图有两行，第一行有个正方形，第行有个正方形，居中间．
所以俯视图是．
故选：．
从上面观察几何体得出平面图形判断即可．
本题主要考查了几何体的三视图，掌握俯视图的观察方向是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：由题意可得，，计算错误，故A不符合题意；
，计算错误，故B不符合题意；
，计算错误，故C不符合题意；
，计算正确，故D符合题意；
故选：．
根据根式的性质及同底数幂乘除法法则直接逐个判断即可得到答案．
本题考查了根式的性质及同底数幂乘除法法则，掌握，，是关键．
4.【答案】
【解析】解：由题意可得，
若去掉一个最高分和一个最低分，如果最高分与最低分平均数等于原数据的平均数可以则平均数不变，如果不等平均数就会改变，故A不符合题意，如果众数是最高或最低分去掉也有可能发生改变，故B不符合题意，而中位数是数据排列的最中间的数或最中间两个的平均数不会改变，故C符合题意，方差也会随着平均数改变而改变，故D不符合题意，
故选：．
根据平均数、中位数、众数、方差定义直接逐个判断即可得到答案；
本题考查平均数、中位数、众数、方差定义，解题的关键是熟练掌握几个数的求法．
5.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：．
根据四边形是平行四边形得到，结合即可得到是等边三角形，根据即可得到，最后根据圆周角定理即可得到答案．
本题考查等边三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质，圆周角定理，根据题意得到是等边三角形是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
故选：．
根据题意找到等量关系列方程组即可得到答案；
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是根据题意找到等量关系式．
7.【答案】
【解析】解：运动后时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同，正确，不符合题意；
B.运动后内静坐休息，可使体内血乳酸浓度一直处于下降状态，错误，符合题意；
C.慢跑，血乳酸浓度在可基本消除疲劳，正确，不符合题意；
D.运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，正确，不符合题意．
故选：．
根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．
本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
8.【答案】
【解析】解：矩形纸片对折，折痕为，，，
，，，，
由折叠可得：，
，
，
．
故选：．
先证明，，，，，可得，，再利用正切的定义求解即可．
本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，求解锐角的正切，熟记轴对称的性质是解本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：
，
故选：．
先将展开得到，再利用完全平方公式即可得到，再整体代入即可作答．
本题主要考查了多项式乘多项式、求代数式的值以及完全平方公式．注意计算多项式乘多项式时不要漏项，漏字母．将展开式的多项式利用完全平方公式配成平方式，是解答本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：对称轴，故正确；
，
当时，即时，点，均在对称轴左侧，随的增大而减小，
，
；
当时，即时，点，分别在对称轴左右两侧，
，
，，故；综上可知：若，则或，故错误；
由题意得，则，故，故，
若，即，则，
当时，有，解得，此时无解；
当时，有，得，故时；
当时，有，解得，故；
综上可知若，则有或，故正确；
故选：．
根据公式即可判断，根据二次函数的增减性分类讨论即可判断，根据只有一个交点，结合一元二次方程当时有两个相等的解直接求解即可判断，即可得答案；
本题考查二次函数的性质及二次函数与一次函数的关系，一元二次方程的关系，不等式的关系，解题的关键熟练掌握二次函数的性质．
11.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
由，可得，再计算分式的加法运算，再代入即可．
本题考查的是分式化简的求值，熟记运算法则是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：动车上二等座车厢每排都有，，，，五个座位，其中和是靠窗的座位，
小刘的座位是靠窗的概率为 ，
故答案为：．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：根据题意可知，．
，
．
在等腰三角形中，．
故答案为：．
先求出圆心角的度数，进而求出，再根据等腰三角形的底角，求出答案．
本题主要考查了正多边形和圆，旋转的性质，等腰三角形的性质等，确定各角之间的数量关系是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：设函数为，将度近视镜片的焦距为米代入得，、，
解得：，
，
将代入求解可得，，
故答案为：；
设函数为，将度近视镜片的焦距为米代入求出，再将米代入求解即可得到答案；
本题考查待定系数法求解析式及函数值，解题的关键是根据题意找点代入．
15.【答案】
【解析】解：，
解得：，
二元一次方程组的解都为非负数，
，
解得：．
，随的增大而增大，
当时，，
故答案为：．
先求出方程组的解，再由二元一次方程组的解都为非负数，可得关于的不等式组，确定的取值范围，再由一次函数的增减性求解即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组及一次函数的基本性质，掌握解二元一次方程组，解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，，
，故正确；
当时，则，
，
同理可得，
，
，
，故正确；
当时，则，
又，，
≌，
；
在菱形中，连接，交于点，则，
在中，，，，
，
当时，则点与点重合，此时，，即此时，故错误；
连接，将沿方向平移得，连接，，，
根据菱形的轴对称得，由平移的性质得，
，
，
当、、三点共线时，最小，即最小，
当时，周长有最小值．
，，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
周长的最小值为：故正确；
故答案为：
根据菱形的性质即可判定；当时，则，求出，利用三角形外角的性质求出，得到即可判断；易证当时，则点与点重合，此时即可判断；连接，将沿方向平移得，连接，，，根据菱形的轴对称得，由平移的性质得，进而得到当、、三点共线时，最小，即最小，则当时，周长有最小值，利用勾股定理求出即可判断．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判断等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
17.【答案】解：原式
；
【解析】根据零指数幂，特殊角三角函数，负指数幂及去绝对值直接求解即可得到答案；
本题主要考查零指数幂，特殊角三角函数，负指数幂及去绝对值，解题的关键是熟练掌握，．
18.【答案】证明：，
，即，
，
，
在和中，
，，，
≌，
．
【解析】根据等式的性质可得，再利用平行线的性质可得，从而利用证明≌，然后利用全等三角形的性质即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：由组信息可得：本次调查的样本容量是，
圆心角，
故答案为：，；
该中学共有名学生，估计此次竞赛该校获等级的学生人数有人
答：估计此次竞赛该校获等级的学生约人．
列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 乙甲 丙甲 丁甲
乙 甲乙 丙乙 丁乙
丙 甲丙 乙丙 丁丙
丁 甲丁 乙丁 丙丁
任选人参加县级比赛共有种等可能的结果，其中选中甲、乙人共有种，故甲，乙二人同时参加县级比赛的概率为：；
由组人数与占比可得样本容量，由组占的百分比乘以可得圆心角的大小；
由总人数乘以组的占比即可得到答案；
利用列表的方法得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可．
本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，样本容量，扇形某部分的圆心角的大小，利用样本估计总体，利用画树状图或列表的方法求解概率，掌握以上基础知识是解本题的关键．
20.【答案】解：，
原方程有两个实数根，
，
解得：；
故原方程有两个实数根时，．
根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，
当时，据题意可得，
解得，
则，
，
当时，据题意可得，
解得，
，
应舍去，
综上可知：的值为．
【解析】根据原方程有两个实数根，，可得，从而可得答案；
根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，再分两种情况讨论即可．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟记概念并灵活运用是解本题的关键．
21.【答案】解：把代入得：
，
反比例函数的解析为：．
点在反比例函数的图象上，
，
，
把，代入得
，
解得．
一次函数的解析式为：．
关于原点的对称点为，
．
和到轴的距离是．
在直线上，且在轴上，
，
．
，
．
【解析】将代入确定的值，即可求出反比例函数解析式；再根据反比例函数解析式求出点坐标，通过待定系数法即可求出一次函数解析式．
先求出直线与轴交点的点坐标，再利用面积分割法即可求出面积．
本题主要考查了用待定系数法求解一次函数和反比例函数，以及一次函数的应用，难易适中．求解过程中是否能用面积分割法求解三角形的面积是解题的关键．
22.【答案】解：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
过点作于，
在中，，
设，则，，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，，
，
在中，，
，
得：负值舍去，
，
即的半径为．
【解析】连结，根据为的直径，可得，根据等边对等角可得，即有，通过等量代换可得，问题得解；
过点作于，在中，根据，设，则，，即有，证明∽，即有，可得，，，在中，，可得，取正数解，得：，即可解决问题．
本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，合理添加辅助线，掌握切线的判定方法，是解答本题的关键．
23.【答案】解：设，，据题意可得：
，
解得，
；
设每天销售利润为元，则，
，
当时，；
故每件商品售价元时才能使每天的销售利润最大，最大销售利润是元；
设除去支出后每天的利润为元，则，
当时，有：，
整理得：，
解得：，，
，
对称轴为：，
当时，不低于元，
故除去支出后每天的利润不低于元，销售单价为不低于元，不超过元．
【解析】设，利用待定系数法代入求解即可；
设每天销售利润为元，列出函数关系式，然后化为顶点式即可得出结果；
设除去支出后每天的利润为元，列出函数关系式求解即可．
题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式求解是解题关键．
24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，又，
≌，
；
解：结论：的大小不会变化，理由如下：
当点在边上时
设的中点为，连接，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
点，，，四点在以为直径的同一圆上，
，
当点在边延长线上时，
同理可得：，则，
故的大小不会变化，；
过点作于点
，
，
，
，
又，
，又，
∽，
，而，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
．
【解析】先证明，，结合公共边可得结论；
当点在边上时设的中点为，连接，，证明，可得点，，，四点在以为直径的同一圆上 则，当点在边延长线上时，同理可得：，则；
过点作于点，结合，证明∽，可得，而，证明，由，再建立方程求解即可．
本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的确定，圆周角定理的应用，灵活的运用以上知识解题是关键．
25.【答案】解：把，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
过点作交于点，
当时，有，
解得，，
，
设直线的解析式为：，
代入，得：，
解得，
直线的解析式为：，
设点的横坐标为，则，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
解得：，，
点的坐标为或；
存在点，使，
当在上方时，过点作交于，过作轴于，
则，
，，
，
又，
∽，
，
，
，，
，
，
设直线的解析式为：，
代入，得：，
解得：，
直线的解析式为：，
联立，
解得：或不合题意，舍去，
此时点的坐标为；
当在下方时，过点作交于，过作轴于，
同理可得，点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
【解析】利用待定系数法求解即可；
过点作交于点，求出点坐标和直线的解析式，设点的横坐标为，可得，，求出，证明∽利用相似三角形的性质列出比例式求出的值即可；
分情况讨论：当在上方时，过点作交于，过作轴于，证明∽，利用相似三角形的性质求出，，进而可得点的坐标，然后求出直线的解析式，联立抛物线和直线的解析式即可求出此时点的坐标；当在下方时，同理求解即可．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数等知识，能够根据题意作出合适的辅助线，利用数形结合的思想是解题的关键．
第1页，共1页
