仁寿一中北校区高二下学期五月月考
理科数学能力测试
本试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.
2023.05.25
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只
有一项是符合题目要求的
1.知命题P:“xeN',(宁)<3”，则P为(
A.
xN,(分23
B.层N,(分>3
C.3k,EN,”>3
D.eN',(5)23
2.从数字1,2,3,4,5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的
概率是()
2
8.
3.一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的办法抽取一个样本，
每名运动员被抽到的概案都是
,则男运动员应抽收多少人()
A.12
B.14
C.16
D.18
4.利用计算机在区间(0,1)上产生随机数a,则不等式1n(3a-1)<0成立的概率是()
A背
5.若-2是题数f(x)=(x2+-l)e(aeR)的极值点，则f(x)的极小值点为()
A.5e2
B.1
C.-e
D.-2
6.甲、乙两名同学多加一项射击比赛游戏，其中任何-人每射击次击中目标得2分，未
击中目标得0分.若甲，乙两人射击的命中率分别为和P,且甲、乙两人各射击一次
5
得分之和为2的概率为9
.假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为(）
0
4
B.
D.4
7.已知函数f(x)=
则y=f(x)的图象大致为()
x-Inx-1
路，在以，
8.执行右图中的程疗作图，若输入的a、五分别为
始
输入，b/
35、28,则翰出的4=()
A.1
B.7
C.14
D.28
/翰出a
9.甲乙“人争令场闹棋比舞的冠军，若比赛采用
结荣
空两胜”制，p在每局比赛中获鞋的概率均为
0=4-可
b=b-a
且各局比奔结采相互独立，则在甲获阁冠车的情况下，比赛进行了三局的将率为〔)
10.在高二()班进行的演讲比赛巾，共有5位选手参知，其中3位女生，2位男生.如
果2位男生不能连实出场，月女生甲不能排在第一个，那么出场通字的排法种数数()
A.24
B.36
C.48
D.60
11.设函数f(x)是定义在R上的男函数，f(x)为其分数.当x>0时，(x)+fx)>0,
且f()=0,则不等式f(x)>0的解袋为()
A,(x,-10U0,+)
B.(-0,-10U0,0
c.(-1,0)U0,)
D.(-1.0U1+o)
12.已知f(x)=lx+1-r有两个芝点，为，且x<2,则下列命题正谁的个数是()
①0
③xx3>1:
@%->。1:
A.个
B.2个
C,个
D.4个
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位翼上.
13.在1+x2+x的展开式中，x3的系数为·（用数字作答）.
14.规察下列各式：
C四=4°：Cg+C=4:Cg+C+Cg=42:C9+C+C号+C=4:…，
照此规律，当neN时，C1+C2n-+C,+…+C=一一
15.在某项测量中，测辰结果5服从正态分布W1,c2(G>0),若5在0,1)内的概率为数学（理科）参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B C A B C A B B D A C
二、填空题
13. 120 14．4n
－1 15. 0.8 16.（﹣∞，3]
三、解答题
5 a 35
17. 解：（Ⅰ）由频率分布表得： ，解得 a=20，b=0.35，……………2分
0.05 0.20 b
由频率分布表可得随机抽取一考生恰为优秀生的概率为：P=0.25+0.15=0.4．………4分
（Ⅱ）按成绩分层抽样抽取 20人时，优秀生应抽取 20×0.4=8人．………………6分
（Ⅲ）8人中，成绩在[80，90）的有：20×0.25=5 人，成绩在[90，100]的有：20×0.15=3
2
人，从 8个人中选 2个人，结果共有 n=C8 =28 种选法，……………………………8分
其中至少有一人成绩在[90，100]的情况有两种：
可能有 1人成绩在[90，100]，也可能有 2人成绩在[90，100]，所以共有 5×3+3=18种，
18 9
∴至少一人的成绩在[90，100]的概率P ．………………………………10分
28 14
r r 1 r r 5 r 3
18. 解：（Ⅰ）Tr 1 C5(2x)5 ( ) ( 1) 2 C5x5 r ．
x 2
3 1
5 r 0 4 4 1
10
令 ，则 r=4，∴展开式中含 的项为：T4 1( 1) 2 C5 x ，
2 x x
1
展开式中含 的项的系数为 10．…………………………………………………………6分
x
0 1
（Ⅱ）由题意可知：M C5 C5 C
2
5 16 ，N (1 a)
6
6
因为 4M=N，即 (1 a) 64 ，∴a=1或a 3．（少一个答案扣 2分）……………12分
1
19. 解：（Ⅰ）由数据可得： x (1 2 3 4 5 6 7) 4 ， ……………………2分
7
1
y (28 30 35 41 49 56 62) 43，………………………………………4分
7
7 7
2
xi yi 1372 ， xi 140 ， ……………………………………………………6分
i 1 i 1
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n
xi yi n x y
b i 1
1372 1204
6，所以a y b x 43 4 6 19
n
x2 2
140 -112
i n x
i 1
故 y关于 x的线性回归方程为 y 6x 19 ．……………………………………………8分
（Ⅱ）（ⅰ）当车流量为 8万辆时，即 x=8时， y 6 8 19 67 ．．
故车流量为 8万辆时，PM2.5的浓度为 67微克/立方米．……………………………10分
（ⅱ）根据题意信息得：6x+19≤100，即 x≤13.5，
故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在 13万辆以内．……12分
20. 解：（I）由以上统计数据填写下面 2×2 列联表，如下；
年龄不低于 45岁的人 年龄低于45岁的人 合计
赞成 10 27 37
不赞成 10 3 13
合计 20 30 50
n(ad bc)22 50 (10 3 10 27)
2
根据公式计算K 9.98 6.635 ，
(a b)(a d )(a c)(b d ) 37 13 20 30
所以有 99%的把握认为年龄 45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异；………3分
（Ⅱ）根据题意，X的所有可能取值为 0，1，2，3，…………………………………4分
C2 C2
则P(X 0) 3 4
3 6 9
，
C25 C
2
5 10 10 50
C1 C1 C2 C
2
C1 C1 6 6 3 4 12
P(X 1) 3 2 4 3 1 4 ，
C25 C
2 C2 25 5 C5 10 10 10 10 25
C2 C0 C2 C12 3 4 2 C
1 C1 1
P(X 2) 3 4
C1 1 6 6 4 3 ，
C2 C25 5 C
2
5 C
2
5 10 10 10 10 10
C2 C0 C1 C1 1 4 1
P(X 3) 2 3 4 1 ；………………………………………8分
C25 C
2
5 10 10 25
随机变量 X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 9 12 3 1
50 25 10 25
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……………………………………………………………………………………………10分
9 12 3 1 30 6
所以 X的数学期望为EX 0 1 2 3 ……………12分
50 25 10 25 25 5
2
21. 解：（I）当a 2时， f (x) 2ln x x2 2x， f (x) 2x a ，
x
则 f (1) 2 2 a 2 . ∴a 2．
2 2(1 x)(1 x)
（II）法一：由题意得， g(x) 2ln x x2 m，则 g (x) 2x .
x x
1
∵ x [ ,e]，∴令 g (x) 0，得 x 1.
e
1
当 x 1时，g (x) 0 ， g(x) 单调递增；当1 x e时，g (x) 0 ，g(x) 单调递减．
e
1
故 g(x) 在[ ,e]上有最大值 g(1) m 1 .
e
1 1 1 1 1
又 g( ) m 2 2，g(e) m 2 e2，g(e) g( ) 4 e 0，则 g(e) g( )，
e e2 e e2 e
1
∴ g(x) 在[ ,e]上有最小值 g(e) m 2 e2，
e
g(1) m 1 0
1
g(x) 在 [ ,e] 上 有 两 个 不 同 的 零 点 的 条 件 是 1 1 ， 解 得
e g( ) m 2 0e e2
1
1 m 2 ，
e2
1
∴实数 m 的取值范围是 (1,2 ] .
e2
22.【详解】(1) f x 的定义域为 0, .
ln x
由 f x a，得a 在 x 0, 恒成立，
x
ln x
转化为a ( )max
x
ln x 1 ln x
令 g(x) ，则 g (x) ，
x x2
ln x
∴ g(x) 在 0,e 单调递增，在 e, 单调递减，
x
1 1
∴ g x 的最大值为 g(e) ，∴ a .
e e
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1
∴ a的取值范围是[ , ) .
e
1
(2)设 g x f x ，则 g x ln x 1 2ax ， g (x) 2a， x 0 .
x
①当 a<0时， g x 0恒成立， g x 在 0, 单调递增，
又 g 1 1 2a 0 ， g(e2a 1) 2a 1 1 2ae2a 1 2a(1 e2a 1) 0
所以 g x 存在唯一零点 x1 0,1 .
当 x 0, x1 时， f x g x 0，
当 x x1,1 时， f x g x 0 .
所以 f x 存在唯一的极小值点 x0 x1 .
1
②当a 0时， g x ln x 1， g x 在 0, 单调递增， g( ) 0 ，
e
1
所以 g x 在 0, 有唯一零点 .
e
1
当 x (0, ) 时， f x g x 0，
e
1
当 x ( ,1) 时， f x g x 0 .
e
1
所以 f x 存在唯一的极小值点 x0 .
e
1
③当a 0时，令 g x 0，得 x (0, ) ；
2a
1
令 g x 0，得 x ( , )，
2a
1 1
∴ g x 在 (0, ) 单调递增，在 ( , )单调递减，
2a 2a
1
所以 g x 的最大值为 g( ) ln(2a)
2a
1 1 1
④当0 a 时， g( ) 0 ， g 1 1 2a 0 ， g( ) 0，
2 e 2a
1 2 1 2
g( ) 2ln a 1 2(1 ) 1 1 0
a2 a a a
1 1
1 1 1
(或用 g(ea ) 2aea 0 )
a
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由函数零点存在定理知：
g x 在区间 0,1 ， 1, 分别有一个零点x x 2， 3
当 x 0, x2 时， f x g x 0；
当 x x 2 , x3 时， f x g x 0 ；
所以 f x 存在唯一的极小值点 x0 x2 ，极大值点 x3 .
1 1
⑤当a 时， g 0， f (x) g(x) 0
2 2a
所以 f x 在 0, 单调递减，无极值点.
1
由①②④可知，a 取值范围为 , ，
2
当 x 0, x0 时， f x 0；
所以 f x 在 0, x0 单调递减， x0 ,1 单调递增.
所以 f x0 f (1) 0 .
由 f x0 ln x0 1 2ax0 0，得 ln x0 2ax0 1
2
所以 f (x0) x0 ln x0 ax0 a
x0(2ax0 1) ax
2
0 a
ax20 a x0 的.
f (x0) (2a 1) ax
2
0 a x0 1
(x0 1) a(x0 1) 1 ，
1
因为 x0 (0,1) ， a , ，
2
1
所以 x0 1 0，a x0 1 1 2 1 0
2
所以 f x0 (2a 1) 0 ，即 f x0 2a 1；
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所以2a 1 f x0 0 .
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