2023年陕西省西安市西咸新区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 十二生肖是我国悠久的民俗文化，下列生肖汉字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 已知，则的余角是( )
A. B. C. D.
4. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
5. 一次函数与一次函数为常数，且的图象关于直线对称，与的值分别是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6. 如图，四边形是正方形，点在上，连接，于点，，且，则正方形的边长为( )
A. B. C. D.
7. 如图，是的直径，，连接，，，作交于点，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8. 已知抛物线是常数，经过点，，当时，与其对应的函数值有下列结论：
；
关于的方程有两个不等的实数根；
．
其中，正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. 分解因式： ______ ．
10. 如图，在中，，垂直平分交于点，交于点，若，且的周长为，则的长为______ ．
11. 中国古代数学家刘徽在九章算术中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法，如图所示，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，分割后拼接成矩形，若，，则的面积是______ ．
12. 已知点和在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是______ ．
13. 如图，在菱形中，，，为中点，为上一点，连接，且，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. 本小题分
计算：．
15. 本小题分
求不等式的最大整数解．
16. 本小题分
解方程：．
17. 本小题分
如图，在中，，为内一点，请利用无刻度直尺和圆规过点作直线分别交，于，两点，且使得保留作图痕迹，不写作法
18. 本小题分
如图，在矩形中，点、分别在边、上，连接，．
如果______ ，那么≌；请你填上能使结论成立的一个条件
证明你的结论．
19. 本小题分
如图， 在平面直角坐标系中，点、分别在轴和轴负半轴上，，点的坐标为，求点的坐标．
20. 本小题分
宁宁一家人准备五一假期去西安游玩，因时间紧张，所以他们打算在兵马佣、大唐芙蓉园、华清池、曲江海洋馆四个景区中随机选取一个作为这次旅游的打卡地宁宁更倾向于去华清池，妹妹想去曲江海洋馆，为了公平起见，爸爸计划通过转转盘来决定去哪个景区游玩他准备了两个可以自由转动的转盘甲，乙，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，在转盘甲每个扇形上分别标上数字，，，，在转盘乙每个扇形上分别标上数字，，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为时，宁宁获胜；数字之和为时，妹妹获胜，其他情况视为平局如果指针恰好指在分隔线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止．
用画树状图或列表法求妹妹获胜的概率；
这个游戏规则对双方公平吗？请判断并说明理由．
21. 本小题分
某建筑中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美如图，小明为了估算该建筑的高度，在它的正东方向找到一楼房，高为，在它们之间的地面上的点三点共线处测得楼顶，该建筑顶端的仰角分别是和，在楼顶处测得该建筑顶端的仰角为，，，请你帮小明计算该建筑的高度参考数据：，结果保留根号
22. 本小题分
朗朗晴空、徐徐清风，民生之要、百姓之盼，某市深入贯彻生态文明思想，着力推动生态环境质量持续好转，努力绘就美丽中国画卷市政府为了改善市内河流水质，市环保部门欲购买台污水处理设备，现有，两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表，设购买型号设备台，购买这两种型号的设备共台所需资金为万元．
型 型
价格万元台
每台设备处理污水量吨月
求与之间的函数关系式；
若政府规定每月要求处理污水量不低于吨，为了节约资金，请你为环保部门设计一种最省钱的购买方案．
23. 本小题分
月日是第三十一届“世界水日”，月日至日是第三十六届“中国水周”，我国确定纪念年“世界水日”“中国水周”主题为“强化依法治水，携手共护母亲河”某校在“世界水日”“中国水周”期间，为倡导学生节约用水，进一步增强学生惜水护水意识，举办了“节约用水常识”竞赛活动，并随机抽取了名学生的竞赛成绩单位：分成绩取整数，总分为分作为一个样本，并对这些数据进行了整理和分析过程如下：
【数据整理】
将收集的个数据按，，，，五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图说明：，，，，，其中表示成绩；
其中组的成绩为：，，，，，，，，．
【数据分析】
平均数 中位数 众数
请根据以上信息，解答下列问题：
填空： ______ ，并补全频数分布直方图；
求数据分析的表中的值；每组的平均数取组中值，如：的组中值为，结果保留整数
若此次竞赛成绩在等级的学生为“优秀”，请你估计全校名学生中，此次竞赛成绩为“优秀”的学生人数．
24. 本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，点在上，且，接，与的延长线相交于点，过点作于点．
求证：为的切线；
若，的半径为，求的长．
25. 本小题分
抛物线与轴，轴分别交于，两点．
求，的值；
记抛物线的对称轴与轴的交点为，为轴上点右侧一点，为抛物线上一点，若是以为斜边的直角三角形且与相似点与点为对应顶点，求点的坐标．
26. 本小题分
问题提出
如图，是的外接圆，，，则半径长等于______ ；
问题探究
如图，在矩形中，，若在边上存在一点，使得，求矩形面积的最大值；
问题解决
如图，是一个矩形广场，其中，足够长，为了方便居民生活，促进经济发展，街道计划在矩形内部修建一个面积尽量大的交易市场，其中，分别在边，上，且在具体施工中安全联防小组要求在上找到一点可与端点重合，使得，以便安装摄像头对市场进行安全监管，请问满足上面要求的市场是否存在，若存在请求出市场面积的最大值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】
【解析】解：，，选项中的生肖汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的生肖汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】
【解析】解：，
的余角为：．
故选：．
利用余角的定义计算．
本题考查了余角的计算，解题的关键是掌握余角的定义．
4.【答案】
【解析】解：
，
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方法则，能熟记幂的乘方与积的乘方法则是解此题的关键，，．
5.【答案】
【解析】解：由直线可知，直线经过点，，
关于直线对称的点，横坐标的和为，纵坐标相同，
点，，关于直线对称的点分别为，，
将，代入，得，
解得，
故选：．
先在直线上任意取两点，，然后根据关于直线对称的点，横坐标的和为，纵坐标相同求出这两点的对应点的坐标，然后代入计算即可求出、的值．
本题考查了一次函数图象与几何变换，根据点的对称规律求解直线的变化是此类题目常用的方法．
6.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
于点，，
，，
故选A．
根据正方形的性质和余角关系得出，进而利用含角的直角三角形的性质解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和含角的直角三角形的性质解答．
7.【答案】
【解析】解：过点作于，
则，
，
，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选B．
过点作于，由垂径定理得，，又，得到，，是等边三角形，由得到，求出，从而求出的长，得到的长．
本题考查了垂径定理，勾股定理，合理添加辅助线构造直角三角形，利用好特殊角是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：抛物线是常数，经过点，，
，，
，
当时，与其对应的函数值．
，
，解得：，
，
，，故正确；
，，
，即，
，
，
，
关于的方程有两个不等的实数根，故正确；
，，
，
，
，
．
故正确；
故选：．
当时，，由点得，由时，与其对应的函数值可得，进而得出；
将，代入方程，根据根的判别式即可判断；
将，代入，求解后即可判断．
本题考查二次函数图象上点的特征，一元二次方程根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
，提取公因式
完全平方公式
先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后可以利用完全平方公式继续进行二次分解，分解因式一定要彻底．
10.【答案】
【解析】解：垂直平分，
，
的周长为，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由线段垂直平分线的性质，得到，推出，求出的长，得到的长，即可求出的长．
本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质定理得到，求出的长．
11.【答案】．
【解析】解：由题意，，，，
，
，
的边上的高为，
，
故答案为：．
根据图形的拼剪，求出以及边上的高即可解决问题．
本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息．
12.【答案】
【解析】解：当时，，
图象在第二、四象限，
，
．
故答案为：．
根据当时，，可知图象在第二、四象限，据此求解即可．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是关键．
13.【答案】
【解析】解：连接、，
四边形是菱形，，，
，，，
，
是等边三角形，
为中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接、，由菱形的性质得，，则，所以是等边三角形，则，所以，则，再证明，则，根据勾股定理得，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
14.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用立方根的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
15.【答案】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项得：．
解得，
则最大的整数解是：．
【解析】首先去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化成即可求得不等式的解集，然后确定最大的整数解．
考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
16.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17.【答案】解：如图，为所作．
【解析】连接，再作交于点，直线交于点，然后证明，则．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
18.【答案】答案不唯一
【解析】解：添加，那么≌；
故答案为：答案不唯一；
证明：四边形是矩形，
，，
在和中，
，
≌．
由全等三角形的判定可求解；
由“”可证≌．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
19.【答案】解：，
点，点，
点的坐标为，
，，
，，
点．
【解析】由平行四边形的性质可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
20.【答案】解：根据题意，画出树状图如下：
由图可知，一共有种等可能的情况，和为有种情况，
妹妹获胜；
公平．
理由如下：
由中树状图可知，一共有种等可能的情况，和为有种情况，
宁宁获胜，
宁宁获胜妹妹获胜，
这个游戏规则对双方公平．
【解析】用列表法或画树状图列出所有可能结果，找出其中和为的结果数，再利用概率公式求出妹妹获胜的概率即可；
利用中的结果，求出宁宁获胜的概率，再与妹妹获胜的概率比较即可知道游戏是否公平．
本题考查游戏的公平性，解答需要掌握列表法或树状图法求概率，解题的关键在于理解游戏的公平就是双方获胜的概率相同．
21.【答案】解：过作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，
由题意得：，，，
，，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
该建筑的高度为．
【解析】过作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，根据题意可得：，，，从而可得，，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：根据题意，得，
与之间的函数关系式为；
根据题意，得，
解得，
，，
随着增大而增大，
当时，取得最小值，
此时购买型号设备台，型号设备台，
答：购买型号设备台，型号设备台时最省钱．
【解析】根据型号总费用型号总费用等于总费用求解即可；
根据政府规定每月要求处理污水量不低于吨，可得一元一次不等式，求出的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可确定最省钱的购买方案．
本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：中位数应为数据由小到大排列的第，个数据的平均数，
分数较低的，，组共有个，
组的成绩为：，，，，，，，，．
第，个数据为：，，
，
D.中学生数为：，
补全频数分布直方图如下：
分，
的值约为；
人，
答：估计此次竞赛成绩为“优秀”的学生约为人．
利用频数分布直方图和组数据，根据中位数的定义解答即可；
先算出组中学生数，再补全频数分布直方图即可；
用每组组中值乘以该组数据个数，求出它们的和，再除以，即可求出平均数的值；
将等级所占比乘以，即可估计此次竞赛成绩为“优秀”的学生人数．
本题考查频数分布直方图，平均数，中位数，众数，组中值，能从统计图中获取有用信息，理解相关概念的意义是解题的关键．
24.【答案】证明：连接，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
为的切线；
解：是的直径，
，
，
，
，
，，
∽，
，即，
解得，
即的长为．
【解析】连接，如图，根据圆周角定理，利用得到，再证明，则可判断，然后根据平行线的性质得到，从而根据切线的判定方法得到结论；
先利用圆周角定理得，则利用勾股定理可计算出，再证明∽，然后利用相似比可计算出的长．
本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
25.【答案】解：由题意得：，解得：，
即，；
由知，抛物线的表达式为：，
由抛物线的表达式知，其对称轴为，设点，
过点作轴的平行线交抛物线的对称轴于点，交过点和轴的平行线于点，
连接，在中，，
是以为斜边的直角三角形且与相似点与点为对应顶点，
则，即：：，
，
，
，
，
，
∽，
则，
，
解得：或不合题意的值已舍去，
即点的坐标为：或
【解析】由待定系数法即可求解；
证明∽，得到，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似、解直角三角形等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
26.【答案】
【解析】解：连接并延长交于点，连接，如图，
则为的直径，
，
，，
．
在中，
，
，
半径长等于．
故答案为：；
过点作于点，如图，
则矩形面积为．
在边上存在一点，使得，
点在以为直径的圆与的交点处．
若使矩形面积最大，取得最大值即可．
以为直径的圆与相切于点时，取得最大值为该圆的半径为，
矩形面积的最大值为；
存在满足要求的市场，理由：
在边上点的右侧取一点，使，连接，以为直径作圆，的中点为，交于点，如图，
，，
，．
．
存在满足要求的市场．
过点作于点，
，
四边形为矩形，
，．
，
，
设，则，
四边形为梯形，
，
，
随的增大而增大，
取得最大值是，四边形的面积最大．
点在上，
点与点重合时，取得最大值为，
市场面积的最大值为．
综上，满足上面要求的市场存在，市场面积的最大值为．
连接并延长交于点，连接，利用圆周角定理可得，，利用直角三角形的边角关系定理即可求得圆的直径，则结论可得；
利用的圆周角所对的弦为直径，可得点在以为直径的圆与的交点处；过点作于点，则矩形面积为，则取得最大值矩形面积最大；利用圆的有关性质可得以为直径的圆与相切于点时，取得最大值为该圆的半径为，则结论可求；
在边上点的右侧取一点，使，连接，以为直径作圆，的中点为，交于点，利用圆周角定理可得点为所求的点．过点作于点，设，则，利用梯形的面积公式求得四边形的面积为，利用一次函数的性质可知：取得最大值是，四边形的面积最大，由于点在上，则点与点重合时，取得最大值为，结论可求．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质直角三角形的边角关系定理，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，梯形的性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
第1页，共1页
