2022-2023学年福建省厦门市思明区湖滨中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中，无理数是( )
A. B. C. D.
2. 在平面直角坐标系中，点在 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知点向左平移个单位得，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
4. 下列方程是二元一次方程的是( )
A. B. C. D.
5. 如图，在中，，则点到的距离是( )
A.
B.
C.
D.
6. 一个正方形的面积是，估计它的边长大小在( )
A. 与之间 B. 与之间 C. 与之间 D. 与之间
7. 方程组的解为，则，的值为( )
A. B. C. D.
8. 如图，将沿射线方向平移，使点移动到点，得到，连接，若的面积为，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
9. 甲乙两名工人生产某种机械零件，已知甲、乙每小时生产的机械零件个数比为：，且甲用小时生产的零件比乙用小时生产的零件少个，设甲、乙每小时生产的机械零件数分别为个、个，根据题意所列的方程组应为( )
A. B. C. D.
10. 如图，已知，平分，，则的度数是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 的平方根是______ ，的立方根是______ ．
12. 命题“对顶角相等”的题设是______，结论是______．
13. 如果是方程组的解，那么代数式的值为______ ．
14. 已知三角形的三个顶点坐标为，，在三角形中有一点经过平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，则的坐标为______ ．
15. 对于任意实数，，定义关于“”的一种运算如下：例如：若，且，则______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，，过作交轴于，且，分别平分，，如图，则的度数为______
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：；
解二元一次方程组：．
18. 本小题分
如图，直线与相交于点，，射线平分，求的度数．
19. 本小题分
如图所示，，，，将求的过程填写完整．
解：已知，
______
______
______ ______ ，
______
______
，
______ ．
20. 本小题分
已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的平方根．
21. 本小题分
如图，在直角坐标系中，
请写出各顶点的坐标，并求出的面积；
若把向上平移个单位，再向右平移个单位得，在图中画出图形
22. 本小题分
夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了，已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费元，调价后买上述碳酸饮料瓶和果汁饮料瓶共花费元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？
23. 本小题分
我们定义：若整式与满足：为整数，我们称与为关于的平衡整式．例如，若，我们称与为关于的平衡整式．
若与为关于的平衡整式，求的值；
若与为关于的平衡整式，与为关于的平衡整式，求的值．
24. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段进行平移，使点刚好落在轴的负半轴上，点刚好落在轴的负半轴上，，的对应点分别为，，连接交轴于点，交轴于点．
线段可以由线段经过怎样的平移得到？并写出，的坐标；
求四边形的面积；
为轴上的一动点不与点重合，请探究与的数量关系，给出结论并说明理由．
25. 本小题分
如图，已知直线射线，是射线上一动点，过点作交射线于点，连结作，交直线于点，平分．
若点，，都在点的右侧．
求的度数；
若，求的度数．
在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是无理数；
B、是有理数；
C、为有理数；
D、是有理数；
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】
解：点在第二象限，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：点向左平移个单位得，
即：，即，．
故选：．
根据坐标平移的规律，即可得出答案．
本题考查坐标平移的规律，关键是要熟练掌握左右移动改变点的横坐标，上下移动改变点的纵坐标．
4.【答案】
【解析】解：、不是二元一次方程，因为其最高次数为，且只含一个未知数；
B、是二元一次方程；
C、不是二元一次方程，因为含有个未知数；
D、不是二元一次方程，因为不是整式方程．
故选B．
根据二元一次方程的定义进行分析，即只含有两个未知数，未知数的项的次数都是的整式方程．
注意二元一次方程必须符合以下三个条件：
方程中只含有个未知数；
含未知数项的最高次数为一次；
方程是整式方程．
5.【答案】
【解析】解：点到的距离是．
故选：．
根据点到直线的距离是直线外的点与垂足间的线段的长度，可得答案．
本题考查了点到直线的距离，利用了点到直线的距离的定义．
6.【答案】
【解析】解：一个正方形的面积是，
它的边长是，
，
．
估计它的边长大小在和之间．
故选：．
先根据正方形的面积求出正方形的边长，再求出每个数的平方，即可得出答案．
本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出的取值范围．
7.【答案】
【解析】解：把代入方程组得：，
解得．
故选：．
把，代入原方程组，得到关于，的二元一次方程组即可求解．
本题考查了二次一次方程组的解，求字母系数的值时，可将方程组的解代入到原方程组中，得到关于字母系数的二元一次方程组，解这个二次一次方程组，即可求出字母系数的值．
8.【答案】
【解析】解：根据平移的性质有：，
，
故选：．
根据平移的性质有：，问题随之得解．
本题主要考查了平移的性质以及三角形的面积的知识，掌握等底同高的两个三角形面积相等，是解答本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：设甲、乙每小时生产的机械零件数分别为个、个，根据题意得，，
故选：．
设甲、乙每小时生产的机械零件数分别为个、个，由“甲、乙每小时生产的机械零件个数比为：”得；由“甲用小时生产的零件比乙用小时生产的零件少个”得，据此即可得解．
本题考查了二元一次方程组的应用，关键是理清两个相等关系列方程组．
10.【答案】
【解析】解：，，
．
平分，
，
．
故选：．
先根据平行线的性质求出的度数，再由平分求出的度数，进而可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
11.【答案】
【解析】解：的平方根是，的立方根是．
故答案为：，．
利用平方根、立方根定义计算即可求出值．
此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
12.【答案】两个角是对顶角 这两个角相等
【解析】
【分析】
本题考查的是命题的题设与结论，解答此题目只要把命题写成如果，那么的形式，便可解答．任何一个命题都可以写成如果，那么的形式，如果后面是题设，那么后面是结论．
【解答】
解：命题“对顶角相等”可写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
故命题“对顶角相等”的题设是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”．
故答案为两个角是对顶角；这两个角相等．
13.【答案】
【解析】解：把代入方程组，
可得：，
解得：，
即：，
故答案为：．
把代入方程组求出与的值，代入原式计算即可得到结果．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
14.【答案】
【解析】解：中任意一点，将平移后，点的对应点为．
应先向右移动格，再向上移动格，
，
平移后，
故答案为：．
先根据点平移后得到的平移规律，根据此规律得出点的坐标．
本题考查了坐标与图形的平移，熟知平面直角坐标系内：上加下减、左加右减的规律是解答此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：根据题中的新定义得：，
得：，
则，
故答案为：
利用题中的新定义化简已知等式列出方程组，求出方程组的解即可求出所求．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
16.【答案】
【解析】解：过点作，如图，
，
，，
，
，
，
，
，
，分别平分，，
，，
，，
，，
，
，
故答案为：．
过点作，先证明，根据，可得，即有，进而有，根据角平分线的定义可得，，根据平行的性质可得，，，问题随之得解．
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等知识，掌握平行线的性质是解答本题的关键．
17.【答案】解：原式；
，
，得：，
解得；，
将代入中，
可得：，
即：．
【解析】根据实数的混合运算，掌握相应的混合运算法则计算即可；
采用加减消元法即可求解．
本题考查了实数的混合预算，解一元二次方程的知识，掌握加减消元法是解答本题的关键．
18.【答案】解：，
，
平分，
，
直线与相交，
．
【解析】根据垂直的含义以及对顶角相等即可作答．
本题考查了垂直的定义，互为余角的定义及对顶角的性质，结合题意和图形准确找到相关角的关系是解决本题的关键．
19.【答案】两直线平行，同位角相等 已知 等量代换 内错角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行
【解析】解：已知，
两直线平行，同位角相等．
已知．
等量代换，
内错角相等，两直线平行．
两直线平行，同旁内角互补．
，
，
故答案为：两直线平行，同位角相等，已知；；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；．
根据题干给出的解答思路作答即可．
本题主要考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
20.【答案】解：，
，
又是的整数部分，是的小数部分，
，，
，
的平方根为．
故代数式的平方根．
【解析】估算，确定、的值，再代入计算即可．
本题考查无理数的估算、平方根的意义，确定、的值是解决问题的关键．
21.【答案】解：由坐标系可直接得出各顶点的坐标为：、、．
；
如图，即为所作．
【解析】由平面直角坐标系可直接得出各顶点的坐标；利用长方形的面积减去个三角形的面积即可求出的面积；
根据平移方式找到各顶点平移后的对应点，，，在顺次连接，，即可．
本题考查写出平面直角坐标系中的坐标，利用网格求三角形的面积，作图平移变换．利用数形结合的思想是解题关键．
22.【答案】解：设在调价前碳酸饮料每瓶元、果汁饮料每瓶元，根据题意得：
，
解得：．
答：调价前这种碳酸饮料每瓶的价格为元，这种果汁饮料每瓶的价格为元．
【解析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程再求解，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
先设在调价前碳酸饮料每瓶元、果汁饮料每瓶元，根据调价前买这两种饮料各一瓶共花费元，调价后买上述碳酸饮料瓶和果汁饮料瓶共花费元，列出方程组，求出解即可．
23.【答案】解：由题意得，，
解得；
由题意得，，
解得，，
则．
【解析】根据平衡整式列出方程，解一元一次方程得到答案；
根据平衡整式的概念列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查的是二元一次方程组的解法、一元一次方程的解法，掌握解二元一次方程组的一般步骤是解题的关．
24.【答案】解：点，，
又将线段进行平移，使点刚好落在轴的负半轴上，点刚好落在轴的负半轴上，
线段是由线段向左平移个单位，再向下平移个单位得到，
，．
．
连接．
，，
的中点坐标为在轴上，
．
，
轴，
同法可证，
，
，
，
同法可证，，
，，
当点在点的上方时，
，，
，
，
当点在点的下方时，．
【解析】利用平移变换的性质解决问题即可．
利用分割法确定四边形的面积即可．
分两种情形：点在点的上方，点在点的下方，分别求解即可．
本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是理解题意，学会有分割法求四边形的面积，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：，，
，
，平分，
；
，，
又，
，
，，
，
；
设，，则，
当点、在点的右侧时，
则，
，
，
解得，
；
当点、在点的左侧时，
则，
，，
，
解得，
，
，
．
【解析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数；
依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，再根据，即可得出；
设，，则，分两种情况讨论：当点、在点的右侧时，当点、在点的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．
．
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