2023年浙江省宁波市部分学校中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，最小的数是( )
A. B. C. D.
2. 我国研究人员利用中国天眼对致密星系群“斯蒂芬五重星系”及周围天区的氢原子气体进行成像观测，发现了个尺度大约为万光年的巨大原子气体系统，尺度比银河系大倍长度单位光年是指光在真空中传播一年所经过的距离，大约为千米，将数用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 下列几何体中，主视图为矩形的是( )
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
5. 某县举行朗诵比赛，将朗诵技巧、表现技巧、创新亮点三个方面分别按，，的比例计入总分小华各项得分如表所示，则小华的最终得分为( )
评分内容 朗诵技巧 表现技巧 创新亮点
得分 分 分 分
A. 分 B. 分 C. 分 D. 分
6. 使有意义的的取值，在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 如图，若菱形的周长，则菱形的一边的中点到对角线交点的距离为( )
A.
B.
C.
D.
8. 九章算术中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两问牛、羊各直金几何？”意思是现在有头牛、只羊，共值两银子；头牛、只羊，共值两银子每头牛、每只羊各值多少两银子？设头牛值两银子，只羊值两银子，则可列方程组为( )
A. B. C. D.
9. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，则不等式的解是( )
A.
B. 或
C. 或
D.
10. 两张全等的矩形非正方形纸片先后按如图呈轴对称方式，按如图呈中心对称方式放置在同一个正方形中，若知道图形与图形的面积差，则一定能求出( )
A. 图形与的面积差 B. 图形与的周长差
C. 图形与的面积和 D. 图形与的周长和
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11. 的绝对值等于______ ．
12. 分解因式：________．
13. 一个不透明的袋子里装有个黄球和个白球，它们除颜色外其余都相同从袋子中随机摸出一个球是白球的概率为______ ．
14. 如图，以为直径的与相切于点，交于点若，则的度数为______ ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，且，点的坐标为反比例函数的图象交于点，交于点若为的中点，则 ______ ．
16. 如图，在正方形中，点在边上，连接，的平分线与边交于点，与的延长线交于点设．
若，，求线段的长为______；
连接，若，则的值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：；
解不等式组．
18. 本小题分
如图，在的网格中，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺按要求在网格中作图．
在图中画出线段，点在上，使得：：；
在图中画出的重心．
19. 本小题分
在欧几里得的几何原本中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连结，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根．
用含，的代数式表示的长．
图中哪条线段的长是一元二次方程的一个正根？请说明理由．
20. 本小题分
已知：一次函数的图象与抛物线为常数的一个交点为．
求，的值．
直接写出当时，的取值范围．
若将抛物线为常数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，且平移后的抛物线的顶点落在直线上，求关于的函数表达式．
21. 本小题分
某校计划更换校服款式，为了调研学生对，两款校服的满意度，随机抽取了名学生试穿两款校服，对舒适性、性价比和时尚性进行评分满分均为分，并按照：：的比例计算综合评分将数据评分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息．
，两款校服各项评分的平均数统计表
款式 舒适性评分平均数 性价比评分平均数 时尚性评分平均数 综合评分平均数
分 分 分
分 分 分 分
不同评分对应的满意度统计表
评分分
满意度 不满意 基本满意 满意 非常满意
款校服时尚性评分在这一组的是：分，分，分，分，分．
请根据上述信息，解答下列问题：
款校服综合评分平均数是否达到“非常满意”：______ 填“是”或“否”．
款校服时尚性满意度达到“非常满意”的人数为______ ．
款校服时尚性评分的中位数为______ 分
记款校服时尚性评分高于其平均数的人数为，款校服时尚性评分高于其平均数的人数为，比
较，的大小，并说明理由．
22. 本小题分
某电商平台甲、乙、丙三个直播间的促销活动如下表所示：
直播间 活动方案
甲 全场六折
乙 “满送”如：购买元商品，赠元购物券；购买元商品，赠元购物券
丙 “满减”如：购买元商品，只需付元；购买元商品，只需付元
请根据上述信息，解答下列问题：
甲、乙两个直播间同时出售一款标价为元的破壁机和标价为多元的空气炸锅，小明妈妈想买这两件厨房用品，小明通过计算发现在甲直播间同时购买这两件商品与在乙直播间先买破壁机再买空气作锅所花的钱是相同的，求空气炸锅的标价．
小明研究了丙直播间的活动方案，发现实际售价元可以看成标价元的函数，并绘制了如图所示的部分函数图象请写出当时，关于的函数表达式，并在图中画出这个函数的图象．
在甲、丙两个直播间标价均为元的商品，当的取值范围是多少时，到甲直播间购买更合算？
23. 本小题分
如图，在四边形中，，，是边上一点，线段的垂直平分线分别交，于点，，连结，．
求证：．
如图，连结交于点若，求证：．
如图，已知，若，，求的长．
24. 本小题分
如图，，是的两条弦，且于点．
若，求证：．
如图，连结，，，若，
判断与具有怎样的数量关系，并说明理由．
在上存在点，满足，是的中点，连结若，，求的半径．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
所给的各数中，最小的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
B、圆柱的主视图是矩形，符合题意；
C、四棱锥的主视图是三角形，不合题意；
D、球的主视图是圆，不符合题意．
故选：．
根据主视图是从物体正面看所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．
本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
4.【答案】
【解析】解：、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意．
故选：．
先根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方，以及合并同类项得方法计算，再判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法法则，幂的乘方，掌握计算方法是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：小华的最终得分为分，
故选：．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
6.【答案】
【解析】解：使有意义，
则，
解得：，
在数轴上表示为：
．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是负数，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，连接，
四边形是周长为的菱形，
，，
点为的中点，
，
故选：．
根据菱形的性质和直角三角形斜边上中线的性质可得答案．
本题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握其性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：头牛、只羊，共值两银子，
；
头牛、只羊，共值两银子，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
根据“头牛、只羊，共值两银子；头牛、只羊，共值两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，
不等式的解集是或．
故选：．
一次函数落在与反比例函数的图象下方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：设矩形较长的一边为，较短的一边为，正方形的边长为，
图形的面积，
图形的面积，
图形与图形的面积差，
图形的面积，
图形的面积，
图形与图形的面积差，
故A选项不符合题意；
图形与图形的面积和，
故C选项不符合题意；
图形的周长，
图形的周长，
图形与图形的周长和，
故D选项不符合题意；
图形与图形的周长差，
又图形与图形的面积差，为已知，即为已知，
故B选项符合题意，
故选：．
根据题意设矩形较长的一边为，较短的一边为，正方形的边长为，先用字母表示出图形、的面积，根据题意得到为已知，再用字母分别表示出图形、、、、、的周长，进行计算即可得出正确的选项．
本题考查整式混合运算的应用，矩形的性质、全等图形和正方形的性质，解题的关键是根据用字母根据矩形和正方形的性质表示出各条线段．
11.【答案】
【解析】解：的绝对值等于．
故答案为：．
直接利用绝对值的性质得出答案．
此题主要考查了实数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
提取公因式，整理即可．
本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．
13.【答案】
【解析】解：从袋子中随机摸出一个球共有种等可能结果，其中是白球的有种结果，
所以从袋子中随机摸出一个球是白球的概率为，
故答案为：．
从袋子中随机摸出一个球共有种等可能结果，其中是白球的有种结果，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式进行求解是解决本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：以为直径的与相切于点，
，
，
．
为直径，
，
，
．
故答案为：．
利用圆的切线的性质定理，利用圆周角定理得到，利用同角的余角相等即可得出结论．
本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：点的坐标为，
，
为等腰直角三角形，且，
，
直线为，
为的中点，
，
反比例函数的图象交于点，交于点，
，
反比例函数为，
由，解得或，
，
．
故答案为：．
由等腰直角三角形的性质得到，直线为，进一步求得点，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，与直线的解析式联立，解方程组求得点的坐标，从而求得．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，求得交点的坐标是解题的关键．
16.【答案】
．
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
又平分，
，
，
，
，
点为的中点，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
由得，，又，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
，
，，
设，则，，
，，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
故答案为：．
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据，，可以得到、的长，然后根据正方形的性质，可以得到的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到的长，从而可以得到线段的长；
然后根据题目中的条件，可以得到，，根据全等三角形的性质、相似三角形的性质可以得到和的比值，从而可以得到的值．
17.【答案】解：原式
；
由得：，
由得：，
不等式组的解集为．
【解析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了平方差公式，完全平方公式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握公式及不等式组的解法是解本题的关键．
18.【答案】解：如图中，点即为所求；
如图中，点即为所求．
【解析】取格点，连接交于点，连接即可；
作直线，交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：，，，
，
；
线段的长是一元二次方程的一个正根，理由如下：
设，则，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，
线段的长是一元二次方程的一个正根．
【解析】由勾股定理求出的长，即可得出结论；
设，则，由勾股定理得出方程，即可得出结论．
此题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及数学常识，弄清题意是解本题的关键．
20.【答案】解：由题意得：，
解得：，
所以：，；
一次函数的图象与抛物线的图象在同一坐标系中，如图所示：
解得：或，
，
由图象得；当时，或；
，
的顶点为，
由题意得：，
．
【解析】根据待定系数法求解；
先求交点坐标，再根据图象求解；
根据平移的规律求解．
本题考查了函数与不等式的关系，数形结合思想是解题的关键．
21.【答案】是 人
【解析】解：校服综合评分平均数为：，
“非常满意”是，
达到“非常满意”，
故答案为：是；
校服时尚性满意度达到“非常满意”的人数为：人，
故答案为：人；
由题意得，校服时尚性评分中，不满意人数：人，基本满意人数：人，满意人数：人，非常满意人数：人，
中位数是和位的中位数，是中的前两位，即，
故答案为：；
，
理由如下：校服时尚性评分的平均数为，达到满意水平，
由扇形图可知，人中对校服时尚性评分达到满意和非常满意是人数是人，
，
校服时尚性评分时尚性评分平均数为，小于中位数，
，
．
求出校服综合评分平均数，根据题意比较大小，得出结论；
根据扇形图计算；
根据中位数的概念解答即可；
根据校服时尚性评分的平均数为，校服时尚性评分时尚性评分平均数为，分别求出、，证明结论．
本题考查的是中位数、平均数，扇形图，掌握中位数的概念、正确获取扇形图的信息是解题的关键．
22.【答案】解：设这种空气炸锅的标价为元，
根据题意得：，
解得，
答：这种空气炸锅的标价为元；
根据题意得：，
图象如图所示：
当时，甲直播间购买需花费元，
乙直播间需花费元，
，
在甲直播间购买更划算；
当时，甲直播间购买需花费元，
乙直播间需花费元，
当时，解得，
当时，到甲直播间购买更划算，当时，甲、乙直播间购买花费一样多；当时，到乙直播间购买更划算．
当时，到甲直播间购买更划算．
【解析】设这种空气炸锅标价是元，根据在甲直播间同时购买破壁机和空气炸锅与在乙直播间先买破壁机再买空气炸锅所花费的钱数是相同的，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
根据题意列出函数解析式，再画出函数图象；
分和讨论即可．
本题考查了一次函数、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出函数解析式和一元一次方程是解题的关键．
23.【答案】证明：如图，连接，
，，，
≌，
，
又，，
≌，
，
垂直平分，
，
；
证明：≌，，
∽，
∽，
，
即，
又≌，
，
为的平分线，
点到、的距离相等，
，
；
解：如图，过点作于，
，
设，，
则，，
，，
，
，
，
，
，
．
【解析】连接，利用证明≌，得，再利用证明≌，得，最后利用线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论；
利用∽，得，再根据角平分线定理和的面积比可得，即可证明结论；
过点作于，根据，设，，则，，表示出，从而得出的长，再根据，从而得出的值，进而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，熟练运用三角函数表示线段的长是解题的关键．
24.【答案】证明：如图，
连接，，
，，
，，
∽，
，
，
；
解：如图，
，理由如下：
作于，作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，
连接，交于，连接，作，交于，
，
，
，
，
，
∽，四边形是平行四边形，
，，，
由得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
由，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
圆的半径为．
【解析】连接，证明∽，由相似三角形的性质得出，进一步得出结论；
作于，作于，可推出平分，可推出，，进而，进一步得出结果；
连接，交于，连接，作，交于，可推出∽，四边形是平行四边形，从而，，，进而得出的长，可推出，设，则，由，列出，从而求得的值，则求出及的长，由比例线段可求出，进一步得出结果．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关性质，圆的有关计算，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造平行四边形、等腰三角形及相似三角形．
第1页，共1页
