2023年湖北省随州市广水市中考数学适应性试卷（4月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的倒数是( )
A. B. C. D.
2. 在这四个文字中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 如图，直线，的顶点在直线上，，若，，则( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 通过抖音等自媒体的宣传，重庆某火锅店生意日渐兴隆，今年月日均接待顾客人，月日均接待顾客人，设该店日均接待顾客的月平均增长率为，根据题意下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 如图所示，在中，，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是( )
A.
B.
C.
D.
7. 济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用小时，调进物资小时后开始调出物资调进物资与调出物资的速度均保持不变储运部库存物资吨与时间小时之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
8. 如图，在半径为，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，交弦于点，则图中阴影部分的面积是( )
A.
B.
C.
D.
9. 已知最近的一届世界运动会、亚运会、奥运会分别于年、年、年举办，若这三项运动会都是每四年举办一次，则这三项运动会均不在下列哪一年举办( )
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
10. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，点的坐标为，顶点为，对称轴与轴交于点，则下列结论：，，，当时，在线段上一定存在点，使得为等腰直角三角形，其中正确的结论的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式： ．
12. 舷号的“山东舰”是我国自主设计生产的航空母舰，满载排水量，把数用科学记数法表示为______ ．
13. 一组数据、、、、的平均数是，这组数据的中位数是______ ．
14. 如图，四边形是的内接四边形，对角线是的直径，，，则的半径长为 ．
15. 如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数的图象交于点，，连接，，若的面积为，则 ．
16. 如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，则 ______ ，若正方形的边长为，则点在射线上运动时，的最小值是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了米跑步测试按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．
根据给出的信息，补全两幅统计图
该校九年级有名男生，请估计成绩达到良好及以上等级的有多少名
某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会米比赛预赛分别为、、三组进行，选手由抽签确定分组甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少
四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
先化简，再求值：求代数式的值，其中．
19. 本小题分
如图，已知，，．
求证：；
求证：．
20. 本小题分
如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点处的求救者后，又发现点正上方点处还有一名求救者，在消防车上点处测得点和点的仰角分别为和，点距地面米，为救出点处的求救者，云梯需要持续上升的高度为米，求点距地面多少米？
21. 本小题分
如图所示，是以为直径的上一点，过点作于点，过点作的切线交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，的半径为，求的长．
22. 本小题分
“美丽乡村”建设全面改善了农村环境面貌，吸引大量返乡人员在家兴创业，某村结合本村优势成立了合作社，计划投资开展水产养殖和草莓种植，根据市场调查与预测，水产养殖的利润与投资量成正比例关系，如图所示；草莓种植的利润与投资量成二次函数关系，如图所示注：利润与投资量的单位都是万元．
直接写出利润与关于投资量的函数关系式；
如果该村合作社以万元资金投入水产养殖和草莓种植，至少获得多少利润？能获取的最大利润是多少？
在的基础上要保证获利不低于万元，该村合作社至多应投资水产养殖多少万元？
23. 本小题分
【问题情境】
古希腊著名数学家欧几里得在几何原本提出了射影定理，又称“欧几里得定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．
其符号语言是：如图，在中，，，垂足为，则：，，；请你证明定理中的结论．
【结论运用】
如图，正方形的边长为，点是对角线、的交点，点在上，过点作，垂足为，连接，
求证：∽；
若，求的长．
24. 本小题分
如图，抛物线交轴于点，，其中点，交轴于点，对称轴交轴于点．
求抛物线的解析式；
作点关于点的对称点，顺次连接，，，，判断四边形的形状，并说明理由；
在该抛物线的对称轴上是否存在点，使与相似？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为．
所以的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义，乘积是的两个数互为倒数解答即可．
本题主要考查倒数的定义，解决本题的关键是熟记乘积是的两个数互为倒数．
2.【答案】
【解析】解：、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
．
故选C．
根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意；
故选：．
A、去括号合并同类项；
B、根据积的乘方，把积的每一个因式分别乘方再把所的幂相乘计算．
C、根据同底数幂的除法法则计算；
D、根据完全平方公式计算．
本题考查整式加减、同底数幂的除法、完全平方公式、积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：设该店日均接待顾客的月平均增长率为，
可列方程为：．
故选：．
根据题意，找出等量关系：月日均接待顾客数月日均接待顾客数，即可列出方程．
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程．
6.【答案】
【解析】解：根据尺规作图的痕迹可知是的角平分线，，
，，，
在和中，
，
≌，
，
是直角三角形，
，
，
，但不一定平分，
不一定等于，
不一定等于，
故选：．
根据尺规作图的痕迹可知是的角平分线，，依据这两个条件逐项判断即可．
本题考查了作图基本作图，熟练掌握角平分线和垂线的尺规作图是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】解：
解法一：调进物资共用小时，且速度保持不变，则小时的时候已经调进结束，且共调进物资吨；货物还剩吨，说明在小时内，调出物资吨，可得调出物资的速度为吨时，则剩下吨用时：小时，故共用时间小时．
解法二：由图中可以看出，小时调进物资吨，调进物资共用小时，说明物资一共有吨；小时后，调进物资和调出物资同时进行，小时时，物资调进完毕，仓库还剩吨，说明调出速度为：吨，需要时间为：时，由此即可求出答案．
物资一共有吨，调出速度为：吨，需要时间为：时
这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是：小时．
故选：．
依题意，根据函数图象可知，调进物资共用小时，且速度保持不变，则小时的时候已经调进结束，且共调进物资吨．在个小时内调出物资吨，可计算出调出物资的速度以及剩下吨的用时．
此题考查学生的推理能力，关键是应算出调出物资需要的时间，再加上前面调进时的小时即可．需注意调进需小时，但小时后调进物资和调出物资同时进行．
8.【答案】
【解析】解：在中，，
是半圆的直径，
，
在等腰中，垂直平分，，
为半圆的中点，
．
故选：．
已知为直径，则，在等腰直角三角形中，垂直平分，，为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形的面积与的面积之差．
本题主要考查扇形面积的计算，在解答此题时要注意不规则图形面积的求法．
9.【答案】
【解析】解：最近的一届世界运动会、亚运会、奥运会分别于年、年、年举办，
这三项运动会，一定不会在的年份举行，
令，得，
令，得，
令，得，
令，得，
为整数，
在年，这三项运动会都不会举行，
故选：．
根据题意，可知这三项运动会，一定不会在的年份举行，然后令等于各个选项中的数据，然后求出的值，即可得到这三项运动会均不在下列哪一年举办．
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出这三项运动会均不在哪一年举办．
10.【答案】
【解析】解：抛物线的图象开口向上，与轴交于点在的负半轴上，
，，
其对称轴在轴右侧，
，
，
，故结论正确；
点的坐标为，
，
，故结论正确；
根据题意，抛物线与轴交点为，且，
点，
和是方程的两个根，
，，即，
，故结论正确；
，
，
是对称轴，点在线段上，
，
当为等腰直角三角形时，，
，
，
，
，即，
或，
或舍去，
当时，在线段上一定存在点，使得为等腰直角三角形，故结论正确．
故选：．
由抛物线的图象开口向上，与轴交于点在的负半轴上，可判断、，对称轴在轴右侧，可判断，故，结论正确；由点的坐标为，可知，即，故结论正确；根据题意确定点，结合点，可知和是方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系即可计算，故结论正确；求出，，再推出，即，从而判断结论正确．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与轴交点以及二次函数图形问题等知识，解题关键是掌握二次函数图象的性质以及二次函数与方程的关系．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式即可．
本题考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．
12.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
13.【答案】
【解析】解：数据、、、、的平均数是，
，
解得：，
则这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，
则中位数为．
故答案为：．
根据平均数和中位数的概念求解．
本题考查了中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
利用圆周角定理得到，，则可判断为等腰直角三角形，所以，从而得到的半径长．
【解答】
解：是的直径，
，
，
为等腰直角三角形，
，
的半径长为．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
，
又，，，，
，，
，
故答案为：．
由的面积为，可求出的面积为，进而求出的面积为，再根据反比例函数系数的几何意义可求出，，进而得出答案．
本题考查反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图所示，延长交的延长线于点，
点是的中点，
，
四边形是正方形，
，
，，
≌，
，
又，
，
绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，，
，
，
，
；
如图所示，连接，过点作于，
，
点在直线上运动，
当时，有最小值，最小值为的长度，
，，
，即有最小值为，
故答案为：，．
如图所示，延长交的延长线于点，由“”可证≌，可得，由直角三角形的性质可得，由三角形内角和定理可求，可得，即可求出；如图所示，连接，过点作于，由，知点在直线上运动，即得当时，有最小值为的长度，而，即有最小值为．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：调查的总人数为人，
所以合格等级的人数为人，
合格等级人数所占的百分比；优秀等级人数所占的百分比；
统计图为：
，
答：估计成绩达到良好及以上等级的有名；
画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中甲、乙两人恰好分在同一组的结果数为，
所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率．
【解析】本题考查了列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数，再从中选出符合事件的结果数，然后利用概率公式计算事件的概率．也考查了统计图．
先利用良好等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出合格等级的人数，然后分别计算出合格等级人数所占的百分比和优秀等级人数所占的百分比后补全两个统计图；
用乘以良好与优秀两个等级的百分比的和可估计成绩达到良好及以上等级的人数；
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出甲、乙两人恰好分在同一组的结果数，然后根据概率公式求解．
18.【答案】解：原式
，
，
，
原式
．
【解析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，最后把已知代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19.【答案】证明：，，
，垂直的定义，
等量代换，
同位角相等，两直线平行；
，
两直线平行，同位角相等，
又已知，
等量代换，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补．
【解析】根据垂直得出，根据平行线的判定得出；
根据平行线的性质得出，由得出，根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质即可得解．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
20.【答案】解：过点作，垂足为，
由题意，知，，米，米．
在中，
，
，
，
在中，
，
，
，即，
米，
米，
答：点距地面约米．
【解析】过点作，垂足为，构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的边角关系求解．
本题考查了解直角三角形的仰角问题，题目难度较小，解决本题的关键是构造直角三角形，利用三角形的边角间关系．
21.【答案】证明：如图所示，连接，
，
，
又，
垂直平分，
，
，
，
，
，即，
与相切，且是的直径，
，
．
又是的半径，
是的切线．
解：是的切线，
，
，，
∽，
，
，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
，
解得：或舍去，
．
【解析】连接，根据垂径定理，说明垂直平分，得出，利用等边对等角说明，根据，说明，即可证明，然后根据切线的性质得出，即可证明结论；
先证明∽，利用相似三角形的性质得出与的关系：，设，则，，在中，利用勾股定理可得出的值，继而也可得出得长．
本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，垂径定理，添加辅助线，根据题意证明∽得出，是小题解题的关键．
22.【答案】解：设，
把代入中得：；
把代入中得：，解得；
设投入水产养殖的资金为万元，则投入草莓种植的资金为万元，总利润为万元，
由题意得，，
，，
当时，最小，最小值为，
至少获得万元的利润；
当时，，当时，，
，
当时，最大，最大为，
能获取的最大利润是万元；
当时，则，
解得或舍去，
要保证获利不低于万元，则，
投入水产养殖的资金至多为万元．
【解析】利用待定系数法求解即可；
设投入水产养殖的资金为万元，则投入草莓种植的资金为万元，总利润为万元，列出关于的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；
求出当时，的值，再根据二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式和求二次函数解析式，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
23.【答案】证明：如图，，
，
而，
∽，
：：，
；
证明：如图，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
即 ，而，
∽；
解：在中，，，
，
；
在中，，
∽，
，即：，
．
【解析】本题为三角形相似综合题，涉及到勾股定理运用、正方形的基本知识等，难点在于找到相似的三角形，此类题目通常难度较大．
证明∽，即可求解；
根据射影定理得，，即，结合，即可证明；
先根据正方形的性质和勾股定理求出各边长，再利用∽列出比例式，即可求解．
24.【答案】解：抛物线对称轴交轴于点，且，
，
又，
，
解得，
抛物线的解析式为：；
四边形为矩形，理由如下：
点是的中点，也为的中点，
四边形是平行四边形，
又，，，
，
，
四边形是矩形；
由题知，抛物线的对称轴为直线，
过点作轴于点，
点和点关于点对称，
，，，
，
又，，，，，且点在对称轴上，
，
即，
当时，∽，
即，
解得，
则或，
当时，∽，
即，
解得，
则或，
综上，符合条件的点坐标为或或或．
【解析】根据对称轴上的点坐标得出点坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
根据对角线互相平分得出四变形是平行四边形，再利用勾股定理证其中一个角是直角即可得出四边形是矩形；
过点作轴于，得出点坐标，分别求出，，，，分情况利用线段比例关系求出的长度，即可确定点的坐标．
本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
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