2023年中考数学专项提升复习：二次函数的最值
一、单选题
1．二次函数y=x2﹣4x+5的最小值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
2．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是( )
A．有最大值2，有最小值－2.5 B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值1.5，有最小值－2.5 D．有最大值2，无最小值
3．如图，抛物线y1＝a（x+1）2﹣5与抛物线y2＝﹣a（x﹣1）2+5（a≠0）交于点A（2，4），B（m，﹣4），若无论x取任何值，y总取y1，y2中的最小值，则y的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．2 D．1
4．已知二次函数 y=x2+bx+c 的图像经过点 ( 1， 2) ，则 bc 有（ ）
A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值
5．知抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，顶点坐标为（3，﹣2），那么该抛物线有（ ）
A．最小值﹣2 B．最大值﹣2 C．最小值3 D．最大值3
6．已知二次函数 ，关于该函数在 的取值范围内，下列说法正确的是（ ）。
A．有最大值-1，有最小值-2 B．有最大值0，有最小值-1
C．有最大值7，有最小值-1 D．有最大值7，有最小值-2
7．已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（ ）
A．1或 B．- 或
C． D．1
8．当 时，二次函数 有（ ）
A．最大值-3 B．最小值-3 C．最大值-4 D．最小值-4
9．点P（a，b）在以y轴为对称轴的二次函数y＝ ＋mx＋5的图象上，则2a－b的最大值等于（ ）
A．4 B．－4 C．－4.5 D．4.5
10．关于二次函数 ，以下说法不正确的是（ ）
A．图象与y轴的交点坐标为
B．图象的对称轴为直线
C．当 时，y随x增大而减小
D．y的最大值为9
11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＜0；②当x=1时，函数有最大值．③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．④4a+2b+c＜0．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论错误的是（ ）
A．二次函数y=ax2+bx+c的最大值为4
B．常数项c为3
C．一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之和为﹣2
D．使y≤3成立的x的取值范围是x≥0
二、填空题
13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表：下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根.其中，正确结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填上）
x ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2
y 6 0 ﹣6 ﹣4 6
14．对于二次函数y=3x2+2，下列说法：①最小值为2；②图象的顶点是（3，2）；③图象与x轴没有交点；④当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中正确的是 ．
15．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为-2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则图中阴影面积为 。
16．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°.若二次函数y＝(a＋b)x ＋(a＋b)x－(a－b)的最小值为－ ，则∠A＝ .
17．设抛物线，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点，则 ；
（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ．
18．如图，在等腰中，，，点在上，点、在上（点在点下方），，点在内，四边形是平行四边形，连接，则面积的最大值为 .
三、综合题
19．已知函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
20．如图①，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 .
（1）求抛物线 的解析式；
（2）如图②，连接 ，点 是第一象限内抛物线上的动点，过点 作 于点 ， 轴交 于点 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标；
（3）如图③，若抛物线的顶点坐标为点 ，点 是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
21．如图，直线y=﹣ x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线y= x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D，点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为ts（t＞0）．
（1）求点C的坐标；
（2）当0＜t＜5时，求S的最大值；
（3）当t在何范围时，点（4， ）被正方形PQMN覆盖？请直接写出t的取值范围．
22．在一场2015亚洲杯赛B组第二轮比赛中，中国队凭借吴曦和孙可在下半场的两个进球，提前一轮小组出线。如图，足球场上守门员在 处开出一高球，球从离地面1米的 处飞出（ 在 轴上），运动员孙可在距 点6米的 处发现球在自己头的正上方达到最高点 ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数表达式．
（2）足球第一次落地点 C 距守门员多少米？（取 ）
（3）孙可要抢到足球第二个落地点 ，他应从第一次落地点 再向前跑多少米？（取 ）
23．如图，抛物线y=x2﹣3x+ 与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
（1）求直线BC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
24．某网店经市场调查，发现进价为40元的某新型文具每月的销售量y（件）与售价x（元）的相关信息如下：
售价x（元） 60 70 80 90 …
销售量y（件） 280 260 240 220 …
（1）试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数可以是 （填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”），并求这个函数关系式；
（2）当售价为多少元时，当月的销售利润最大，最大利润是多少；
（3）若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大，最大利润是多少？
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】B
10．【答案】A
11．【答案】C
12．【答案】D
13．【答案】①③④
14．【答案】①③
15．【答案】4
16．【答案】55°
17．【答案】（1）0
（2）2
18．【答案】3
19．【答案】（1）解：把（0，－3），（－6，－3）代入y＝ ，
得b＝－6，c=－3
（2）解：∵y＝ ＝ ，
又∵－4≤x≤0，
∴当x＝－3时，y有最大值为6．
（3）解：①当－3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为－3，
当x＝m时，y有最大值为 ，
∴ +(－3)＝2，
∴m＝－2或m＝－4（舍去）．
②当m≤－3时，
当x＝－3时y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为－4，
∴ =－4，
∴m＝ 或m＝ （舍去）．
综上所述，m＝－2或 ．
20．【答案】（1）解：把 、 代入 得
，解得
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：令x=0，解得y=3
∴C（0，3）
设直线AC解析式为y=mx+n，
把 ，C（0，3）代入得
解得
∴直线AC解析式为y=-x+3，
∵CO=OA
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO=45°
∵
∴∠FGE=45°
∵
∴△EFG是等腰直角三角形，
∴EF=FG，EG2=EF2+FG2=2EF2
∴S△EFG= EF×FG= EF2= EG2
∴当EG最大时， 面积的最大
设E（x， ）则G（x，-x+3）
∴EG=（ ）-（-x+3）=-（x- ）2+
∴当x= ，EG最大值为 ，故此时 最大面积为 ×（ ）2= ， ；
（3）解：如图①AD=DP时，
∵ =-（x-1）2+4
∴D（1，4）
又A（3，0）
∴AD= =DP
∴P1 ，P2
②DP=AP时
设P（1，y）
∵DP2=AP2，A（3，0）
∴（4-y）2=（3-1）2+（0-y）2
解得y=
∴P3
③当AD=AP时，设P（1，y）
∵AD2=AP2，A（3，0）
∴（2 ）2=（3-1）2+（0-y）2
解得y=-4（4舍去）
∴P4
综上，P点坐标为 或 或 或 .
21．【答案】（1）解：由题意，得 ，
解得： ，
∴C（3， ）
（2）解：∵直线y=﹣ x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，
∴y=0时，0=﹣ x+6，解得；x=8，
∴A点坐标为；（8，0），
根据题意，得AE=t，OE=8﹣t．
∴点Q的纵坐标为 （8﹣t），点P的纵坐标为﹣ （8﹣t）+6= t，
∴PQ= （8﹣t）﹣ t=10﹣2t．
当MN在AD上时，10﹣2t=t，
∴t= ．
当0＜t≤ 时，S=t（10﹣2t），即S=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣ ）2+ ，S有最大值为 ．
当 ＜t＜5时，S=（10﹣2t）2，即S=4t2﹣40t+100=4（t﹣5）2，
∵t＜5时，S随t的增大而减小，
∴t= 时，S最大值= ，
∵ ＞ ，
∴S的最大值为
（3）解：当t=5时，PQ=0，P，Q，C三点重合；
当t＜5时，知OE=4时是临界条件，即8﹣t=4
即t=4
∴点Q的纵坐标为5＞ ，
点（4， ）在正方形边界PQ上，E继续往左移动，则点（4， ）进入正方形内部，但点Q的纵坐标再减少，当Q点的纵坐标为 时，OE= ，
∴8﹣t= ，解得：t= ，
此时OE+PN= +PQ= +（10﹣2t）= ＞4满足条件，
∴4＜t＜ ，
当t＞5时，由图和条件知，则有E（t﹣8，0），PQ=2t﹣10要满足点（4， ）在正方形的内部，
则临界条件N点横坐标为4 4=PQ+OE=|2t﹣10|+|t﹣8|=3t﹣18
即t=6，此时Q点的纵坐标为：﹣ ×2+6= ＞ ．满足条件，
∴t＞6．
综上所述：4≤t≤ 或t≥6时，点（4， ）被正方形PQMN覆盖．
22．【答案】（1）解：y=－ +4
（2）解：当y=0时，x=6+ ≈13
（3）解：设y=－ 将点C坐标代入可得：
当y=0时，x=18+ ≈23 23－13=10 ∴ 孙可再向前跑10米
23．【答案】（1）∵抛物线y=x2﹣3x+ 与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，
∴令y=0，可得x= 或x= ，
∴A（ ，0），B（ ，0）；
令x=0，则y= ，
∴C点坐标为（0， ），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，
，
解得： ，
∴直线BC的解析式为：y=- x+ ；
（2）设点D的横坐标为m，则纵坐标为（m， ），
∴E点的坐标为（m， m+ ），
设DE的长度为d，
∵点D是直线BC下方抛物线上一点，
则d= m+ ﹣（m2﹣3m+ ），
整理得，d=﹣m2+ m，
∵a=﹣1＜0，
∴当m= = 时，d最大= = = ，
∴D点的坐标为（ ，- ）．
24．【答案】（1）一次函数
（2）解：设月销售利润为W，
则W＝（x﹣40）（﹣2x+400）
＝﹣2x2+480x﹣16000
＝﹣2（x﹣120）2+12800，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝120时，W取得最大值，最大值为12800元，
故当售价为120元时，当月的销售利润最大，最大利润是12800元，
（3）解：∵获利不得高于进价的80%，
∴x﹣40≤80%×40，
解得：x≤72，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＜120时，W随x的增大而减小，
∴当x＝72时，W取得最大值，最大值为8192，
答：售价定为72元时，月销售利润达到最大．
