2022-2023学年浙江省杭州市余杭区七年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在下列方程中，是二元一次方程的为（ ）
A．2x﹣6＝y B．y﹣1＝5 C．yz＝8 D．
2．（3分）随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为（ ）
A．6.5×107 B．6.5×10﹣6 C．6.5×10﹣8 D．6.5×10﹣7
3．（3分）如图，下列各角中，与∠1是同位角的是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2 x4＝x6 B．（x2）4＝x6
C．x3+x3＝2x6 D．（﹣2x）3＝﹣6x3
5．（3分）如图，下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠D+∠BAD＝180° B．∠1＝∠2
C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠DCE
6．（3分）已知二元一次方程2x﹣3y＝4，用含x的代数式表示y，正确的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
7．（3分）已知（x+1）（x﹣3）＝x2+ax﹣3，则a的值是（ ）
A．a＝3 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝﹣2
8．（3分）如图，AB∥CD，含30°的直角三角板的直角顶点在直线CD上，若∠ABE＝36°，则∠EDC的度数为（ ）
A．24° B．30° C．36° D．45°
9．（3分）请阅读以下“预防近视”知识卡
读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线BC与水平线BA的夹角∠ABC）40度． 在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在30度至45度．
已知如图，桌面和水平面平行，CD与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度∠BCD不可能为以下哪个角度（ ）
A．74° B．78° C．84° D．88°
10．（3分）某药店以同样的价格卖出同样的口罩和酒精，以下是4天的记录：第1天，卖出13包口罩和7瓶酒精，收入222元；第2天，卖出18包口罩和11瓶酒精，收入327元；第3天，卖出7包口罩和11瓶酒精，收入228元；第4天，卖出23包口罩和20瓶酒精，收入468元，聪明的小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（ ）
A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）请写出关于x，y的二元一次方程x﹣y＝2的一个解： ．
12．（4分）如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，已知EC＝2，BF＝10，则平移的距离为 ．
13．（4分）若x2﹣mx+9是一个完全平方式，则常数m的值是 ．
14．（4分）已知2m+n﹣3＝0，则4m×2n的值是 ．
15．（4分）如图，ABCD为一长条形纸带，AD∥BC，将ABCD沿EF折叠，C，D两点分别与C'，D'对应，若∠1比∠2大36°，则∠1的度数为 ．
16．（4分）如图，在长方形ABCD中放入边长为8的正方形AEGF和边长为4的正方形NHCM，S1、S2、S3表示对应阴影部分的面积，若S2＝4S1﹣3S3，且AD、AB的长为整数，则S2的值是 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（8分）计算：
（1）（﹣3）2+（）﹣3﹣20220；
（2）4a2b3÷（﹣2ab2）．
18．（6分）解方程组：．
19．（6分）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2+2b2，其中a＝﹣3，b＝．
20．（8分）如图，三角形ABC中任意一点P（x，y）经平移后对应点为P（x﹣2，y+3），A（0，2），B（4，0），C（﹣1，﹣1），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1．
（1）写出A1，B1，C1三点的坐标，并画出三角形A1B1C1；
（2）求三角形ABC的面积；
（3）已知点P在y轴上，且三角形PAB的面积等于三角形ABC的面积，求P点坐标．
21．（8分）如图，AD∥EC．
（1）若∠C＝40°，AB平分∠DAC，求∠DAB的度数．
（2）若AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，试说明AE∥BF的理由．
22．（8分）请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．x2+6x+5＝x2+2 x 3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4，
∵（x+3）2≥0，
∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．
请悢据上述方法，解答下列问题：
（Ⅰ）x2+5x﹣1＝（x+a）2+b，则ab的值是 ．
（Ⅱ）求证：无论x取何值，代数式的值都是正数；
（Ⅲ）若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．
23．（10分）【感知】已知：如图①，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．
将下列证明过程补充完整：
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠ （角平分线的定义），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ （等量代换），
∴AB∥CD（ ）．
【探究】已知：如图②，点E在AB上，且CE平分∠ACD，AB∥CD．求证：∠1＝∠2．
【应用】如图③，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠ABC：∠BAE＝4：5，直接写出∠E的度数．
24．（12分）已知：如图长方体的长、宽、高分别为a，b，c.，s2＝ab+bc+ca，．则称“s1，s2，s3为长方体的特征数”．我们发现长方体的特征数具有如下关系：．
（1）请你检验说明这个等式的正确性．
（2）若a＝2022，b＝2023，c＝2024，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值吗？
（3）若，，s1＝2．求长方体的特征数s2的值．
2022-2023学年浙江省杭州市余杭区七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A．该方程是二元一次方程，故符合题意；
B．该方程是一元一次方程，故不符合题意；
C．该方程符合二元二次方程的定义，故不符合题意；
D．该方程不是整式方程，故不符合题意．
故选：A．
2． 解：0.00000065＝6.5×10﹣7．
故选：D．
3． 解：由图可得，与∠1构成同位角的是∠5，
故选：D．
4． 解：A、x2 x4＝x6，故A符合题意；
B、（x2）4＝x8，故B不符合题意；
C、x3+x3＝2x3，故C不符合题意；
D、（﹣2x）3＝﹣8x3，故D不符合题意；
故选：A．
5． 解：根据∠D+∠BAD＝180°，可得AB∥CD；
根据∠1＝∠2，可得AB∥CD；
根据∠3＝∠4，可得BC∥AD，得不到AB∥CD；
根据∠B＝∠DCE，可得AB∥CD．
故选：C．
6． 解：2x﹣3y＝4，
3y＝2x﹣4，
解得y＝．
故选：D．
7． 解：（x+1）（x﹣3）
＝x2﹣2x﹣3．
∵（x+1）（x﹣3）＝x2+ax﹣3，
∴a＝﹣2．
故选：D．
8． 解：如图，过点E作EG∥CD，
∵AB∥CD，∠ABE＝36°，
∴AB∥EG，
∴∠ABE＝∠BEG＝36°，
∴∠DEG＝∠DEB﹣∠BEG＝60°﹣36°＝24°，
∵EG∥CD，
∴∠EDC＝∠DEG＝24°．
故选：A．
9． 解：由题意得AB∥CD，∠ABC＝40°，30°＜∠EDC＜45°，
∴∠BCF＝∠ABC＝40°，
过C作CF∥AB，
∴CF∥ED，
∴∠DCF＝∠EDC，
∴30°＜∠DCF＜45°，
∴30°+40°＜∠DCF+∠BCF＜45°+40°，
∴70°＜∠BCD＜85°．
故选：D．
10． 解：设牙刷的单价为x元，酒精的单价为y元，
当第1天、第2天的记录无误时，依题意得：
，解得：，
∴7x+11y＝7×9+11×15＝228（元），23x+20y＝23×9+20×15＝507（元）．
又∵507≠468，
∴第4天的记录有误．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11． 解：令x＝0，则0﹣y＝2，
∴y＝﹣2，
∴关于x，y的二元一次方程x﹣y＝2的一个解为．
故答案为：．
12． 解：由平移的性质可知：BE＝CF，
∵EC＝2，BF＝10，
∴BE+CF＝10﹣2＝8，
∴BE＝CF＝4，
则平移的距离为4，
故答案为：4．
13． 解：∵x2﹣mx+9是一个完全平方式，
∴mx＝±2×3x，
解得：m＝±6．
故答案为：±6．
14． 解：∵2m+n﹣3＝0，
∴2m+n＝3，
∴4m×2n＝22m×2n＝22m+n＝23＝8，
故答案为：8．
15． 解：∵∠1比∠2大36°，
∴设∠2＝x，则∠1＝x+36°，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠DEF，
∵将ABCD沿EF折叠，C，D两点分别与C'，D'对应，
∴∠DEF＝∠D′EF，
∴∠DEF+∠D′EF+∠2＝180°，
∴2∠1+∠2＝180°，即2（x+36°）+x＝180°，解得x＝36°，
∴∠1＝x+36°＝36°+36°＝72°．
故答案为：72°．
16． 解：设AD＝x，AB＝y，则S1＝（y﹣8）（x﹣4），S2＝（8+4﹣x）（8+4﹣y），S3＝（x﹣8）（y﹣4），
∵S2＝4S1﹣3S3，
∴（8+4﹣x）（8+4﹣y）＝4（y﹣8）（x﹣4）﹣3（x﹣8）（y﹣4），
整理得：5y﹣2x＝28，
∴y＝．
又∵x，y均为整数，且8＜x＜12，8＜y＜12，
∴，
∴S2＝（8+4﹣x）（8+4﹣y）＝（8+4﹣11）×（8+4﹣10）＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17． 解：（1）原式＝9+8﹣1
＝16；
（2）原式＝﹣2ab．
18． 解：，
①×2+②，得11x＝11，
解得：x＝1，
把x＝1代入①，得4﹣y＝2，
解得：y＝2，
所以方程组的解是．
19． 解：原式＝a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2+2b2＝2ab，
当a＝﹣3，b＝时，原式＝﹣3．
20． 解：（1）由题意得，△ABC是向左平移2个单位，向上平移3个单位得到的△A1B1C1，
∵A（0，2），B（4，0），C（﹣1，﹣1），
∴A1（﹣2，5），B1（2，3），C1（﹣3，2）．
如图，△A1B1C1即为所求．
（2）△ABC的面积为5×3﹣﹣﹣＝7．
（3）设点P的坐标为（0，y），
∴△PAB的面积为＝2|y﹣2|，
∵△PAB的面积等于△ABC的面积，
∴2|y﹣2|＝7，
解得y＝或﹣．
∴点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．
21． 解：（1）∵AD∥EC，
∴∠C+∠DAC＝180°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝140°，
∵AB平分∠DAC，
∴∠DAB＝DAC＝70°；
（2）理由是：∵AD∥EC，
∴∠DAB＝∠ABC，
∵AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，
∴∠EAB＝，∠ABF＝C，
∴∠EAB＝∠ABF，
∴AE∥BF．
22． （1）解：x2+5x﹣1
＝（x+2.5）2﹣7.25
＝（x+a）2+b，
则a＝2.5，b＝﹣7.25，
则ab＝2.5×（﹣7.25）＝﹣18.125；
故答案为：﹣18.125；
（2）证明：∵（x+）2≥0，
∴x2+2x+7
＝x2+2x+（）2+1
＝（x+）2+1≥1＞0，
故无论x取何值，代数式的值都是正数；
（3）解：2x2+kx+7
＝2（x2+x+）+7﹣
＝2（x+）2+7﹣，
∵代数式的最小值为2，
∴7﹣＝2，
解得：k＝±2．
故k的值是±2．
23． 【感知】解：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠DCE（角平分线的定义），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠DCE（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：DCE；DCE；内错角相等，两直线平行；
【探究】证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠2＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠DCE，
∴∠1＝∠2；
【应用】∵BE平分∠DBC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AE∥BC，
∴∠ABC+∠BAE＝180°，∠E＝∠CBE，
∵∠ABC：∠BAE＝4：5，
∴∠ABC＝80°，
∴∠CBE＝40°，
∴∠E＝∠CBE＝40°．
24． 解：（1）s1﹣s2＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca
＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca）
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]
＝s3；
（2）由s1﹣s2＝s3可知，
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]
＝[（﹣1）2+（﹣1）2+22]
＝3；
（3）∵，，
∴c﹣a＝，
∴s1﹣s2＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝[（）2+（）2+（）2]＝，
∵s1＝2，
∴s2＝2﹣＝．
