2021-2023年浙江省高考物理模拟试题分类——专题7机械能守恒定律 计算题
一．试题（共22小题）
1．（2022 温州二模）我国选手谷爱凌在北京冬奥会自由式滑雪好U形场地技巧决赛中夺得金牌。如图所示，某比赛用U形池场地长度L＝160m、宽度d＝20m、深度h＝7.25m，两边竖直雪道与池底平面雪道通过圆弧雪道连接组成，横截面像“U”字形状，池底雪道平面与水平面夹角为θ＝20°。为测试赛道，将一质量m＝1kg的小滑块从U形池的顶端A点以初速度v0m/s滑入；滑块从B点第一次冲去U形池，冲出B点的速度vB＝10m/s，与竖直方向夹角为α （α未知），再从C点重新落回U形池（C点图中未画出）。已知A、B两点间直线距离为25m，不计滑块所受的空气阻力，sin20°＝0.34，cos20°＝0.94，tan20°＝0.36。
（1）A点至B点过程中，求小滑块克服雪道阻力所做的功Wf；
（2）忽略雪道对滑块的阻力，若滑块从池底平面雪道离开，求滑块离开时速度v的大小；
（3）若保持vB大小不变，调整速度vB与竖直方向的夹角为α0时，滑块从冲出B点至重新落回U形池的时间最长，求tanα0。
2．（2022 宁波二模）如图所示，在竖直平面内，某一游戏轨道由直轨道AB、光滑圆弧细管道BCD和光滑圆弧轨道DE平滑连接组成，两段圆弧半径相等R＝0.5m，B、D等高，图中θ角均为37°，AB与圆弧相切，AM水平。直轨道AB上方有与AB相平行的匀强电场E＝108N/C，且电场只分布在AB之间。直轨道AB底端装有弹射系统（弹簧长度很短，长度和质量不计，可以认为滑块从A点射出），具有初始弹性势能EP＝2.5J，某次弹射系统将尺寸略小于管道内径的带正电的滑块弹出，冲上直轨道AB，直轨道AB上铺有特殊材料，使滑块与轨道AB间的动摩擦因数μ大小可调。滑块进入光滑圆轨道后，最后能在E点与弹性挡板相互作用后以等速率弹回。已知滑块的质量为m＝0.1kg，带电量为q＝+8.0×10﹣9C，B点的高度h＝1.8m，整个过程中滑块可视为质点，所带电量保持不变，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）若调节AB间的特殊材料，使其变为光滑，求滑块在最高点C点时对轨道的作用力；
（2）现调节AB间的动摩擦因数μ，求滑块首次到达E点时的速率vE与μ之间的关系式；
（3）若滑块与弹性挡板相碰后最终能静止在轨道AB的中点，求动摩擦因数μ。
3．（2023 镇海区校级模拟）如图所示，在水平直轨道上竖直放置一半径R＝1m的圆形光滑轨道和细管弯成两个半圆组成的反“S”形光滑轨道，其半径r＝0.05m。两轨道最低点B、D相距L1＝4m，B、D间铺设特殊材料，其动摩擦因数μ1＝0.2+0.2x（x表示DB上一点到B的距离）。一个质量为1kg可视为质点的小球P从倾角θ＝37°、动摩擦因数μ3＝0.8的斜面上以初动能Ek0滑下，经A点无能量损失进入长度L2＝3m、动摩擦因数为μ2＝0.2的AB直轨道，然后冲上圆形轨道。小球P释放点到水平轨道的高度h＝3m，圆形轨道最低点B处入、出口靠近且相互错开，不计空气阻力。提示：可以用F﹣x图像下的“面积”代表力F做的功。
（1）若小球P恰好通过圆形轨道最高点C，求小球在B点对轨道的压力大小；
（2）调整释放初动能Ek0，使小球P离开反“S”形轨道最高点E后第一次落到水平直轨道上离E点的水平位移大小s＝1m，求初动能Ek0的大小；
（3）调整释放初动能Ek0，要使小球P整个运动过程中不脱离轨道，且不停在水平轨道AB段上，求Ek0的取值范围。
4．（2023 温州模拟）2022年10月，某学校举办校运动会，在铅球比赛场地上放置了一个铅球回收架，以便于回收选手投出的铅球。图1所示是铅球回收架的最后一段轨道，可简化为如图2所示的ABCDE轨道，其中AB、BC、CD轨道均为直轨道且平滑连接，长度分别为LAB＝1.0m、LBC＝1.6m、LCD＝0.6m，与水平方向的夹角分别为θ1＝37°、θ2＝15°、θ3＝37°。一质量m＝4kg的铅球，从A点以某一速度冲上AB轨道，运动到B点时速度恰好为0，然后经过BC轨道冲上CD轨道。若铅球在AB、CD轨道运动时所受的轨道阻力恒为Ff1＝8N，在BC轨道运动时所受的轨道阻力恒为Ff2＝9.6N，不计其它阻力，铅球大小可忽略。（取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，sin15°＝0.26，cos15°＝0.96），求铅球
（1）冲上AB轨道时的初速度大小vA；
（2）运动到轨道C点时的速度大小vc；
（3）从轨道A点到在CD轨道上速度第一次减为零时所用的总时间t总。
5．（2023 浙江模拟）某闯关项目的简化图如图所示，距离水平地面高为h＝1.8m的平台上，A点左侧为光滑平台，一根弹簧左端与固定挡板连接，自然长度时右端不超过A点，一个可以看作质点的滑块靠着弹簧右端（不拴连），滑块质量为m＝1kg。平台AB段长为L1＝2.0m，与滑块的动摩擦因数为μ1＝0.1。B点右侧设置长为L2＝1.5m的水平传送带，传送带与滑块的动摩擦因数为μ2，传送带的右端设置半径为R＝0.9m的半圆弧光滑轨道，CD为竖直直径的上下两端，C点与传送带末端的空隙很小，但是可以让滑块通过。传送带一且启动，顺转（即让传送带顺时针方向转动）和逆转的速度都为v＝4m/s，在B点的左侧附近设置传送带启动按钮，按钮有两个，一个为顺转，一个为逆转。闯关开始前传送带处于关闭状态。闯关时，选手首先向左推滑块压缩弹簧，使弹簧具有一定的初始弹性势能EP，然后释放滑块，在滑块进入传送带前，选手必须按照实时情况按下顺转按钮或逆转按钮。闯关规则为：如果滑块最终能始终沿着轨道到达水平地面，则闯关成功；如果滑块最终退回到A点左侧，则可以再次闯关（既不失败，也没有成功）；如果滑块最终停在AB段上，或者向右出传送带后摔落在CD段则游戏失败（来不及按下按钮也视为失败，本题假设选手都按了按钮）。g取10m/s2。
（1）设备调试时，关闭传送带，测得当弹簧的初始弹性势能为EP＝5.0J时，滑块恰好滑到传送带的右端停止，求传送带与滑块的动摩擦因数μ2的大小；
（2）某选手压缩弹簧使其具有EP＝4.5J的初始弹性势能，请通过计算说明本次闯关选手（按下任何一个按钮的可能性都会有）是否可能会失败；
（3）求选手按下任意一个按钮都能闯关成功的初始弹簧弹性势能EP取值范围。
6．（2022 宁波模拟）如图所示，一游戏装置由安装在水平台面上的高度h可调的斜轨道AB、竖直圆轨道（在最低点E分别与水平轨道AE和EG相连）、细圆管道GHIJ（HI和IJ为两段四分之一圆弧）和与J相切的水平直轨道JK组成。可认为所有轨道均处在同一竖直平面内，连接处均平滑。已知，滑块质量为m＝30g且可视为质点，竖直圆轨道半径为r＝0.45m小圆弧管道HI和大圆弧管道IJ的半径之比为1：4，L1＝1.5m不变，L2＝0.5m，滑块与AB、EG及JK间摩擦因数均为μ＝0.5，其他轨道均光滑，不计空气阻力，忽略管道内外半径差异。现调节h＝2m，滑块从B点由静止释放后，贴着轨道恰好能滑上水平直轨道JK，求：
（1）大圆弧管道IJ的半径R；
（2）滑块经过竖直圆轨道与圆心O等高的P点时对轨道的压力F1与运动到圆弧管道最低点H时对轨道的压力F2大小之比；
（3）若在水平轨道JK上某一位置固定一弹性挡板，当滑块与之发生弹性碰撞后能以原速率返回，若第一次返回时滑块不脱轨就算游戏闯关成功。调节斜轨道的高度为h＝3m，仍让滑块从B点由静止滑下，问弹性挡板与J的间距L满足什么条件时游戏能闯关成功。
7．（2021 瓯海区校级模拟）如图所示，在高h1＝30m的水平平台上有一质量m＝1kg的小物块（可视为质点），它在F＝20N的水平外力作用下从离平台右端l＝5m处由静止开始向右做直线运动，物块与平台间的动摩擦因数μ0＝0.2，作用一段距离x后撤去力F，物块又滑行一段距离后从平台右端水平抛出，物块抛出后，恰好能从光滑圆弧形轨道BC的B点沿切线方向进入圆弧形轨道。B点的高度h2＝15m，圆弧轨道的圆心O与平台等高，轨道最低点C的切线水平，并与地面上长度L＝70m的水平粗糙轨道CD平滑连接；小物块沿轨道BCD运动并与右边墙壁发生碰撞，取g＝10m/s2。
（1）求水平外力F的作用的距离x；
（2）若小物块与墙壁只发生一次碰撞，碰后物块的速度等大反向、反向运动过程中物块没有冲出B点，最后停在轨道CD上的P点（P点没画出），设小物块与轨道CD之间的动摩擦因数为μ，求μ的取值范围。
8．（2023 嘉兴一模）如图所示，某游乐场游乐装置由竖直面内轨道BCDE组成，左侧为半径R＝0.8m的光滑圆弧轨道BC，轨道上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角α，下端点C与粗糙水平轨道CD相切，DE为倾角θ＝37°的粗糙倾斜轨道，一轻质弹簧上端固定在E点处的挡板上。现有质量为m＝0.1kg的小滑块P（视为质点）从空中的A点以v0＝2m/s的初速度水平向左抛出，经过s后恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道运动到C点之后继续沿水平轨道CD滑动，经过D点后沿倾斜轨道向上运动至F点（图中未标出），弹簧恰好压缩至最短，已知CD＝DF＝1m，滑块与轨道CD、DE间的动摩擦因数为μ＝0.1，各轨道均平滑连接，不计其余阻力，sin37°＝0.6。求：
（1）BO连线与水平方向的夹角α的大小；
（2）小滑块P到达与O点等高的O'点时对轨道的压力；
（3）弹簧的弹性势能的最大值；
（4）试判断滑块返回时能否从B点离开，若能，求出飞出时对B点的压力大小；若不能，判断滑块最后位于何处。
9．（2023 浙江模拟）如图所示，半径R＝2.45m的竖直光滑圆弧轨道AB，其底端右侧是一个凹槽，凹槽右端连接一个半径r＝0.40m的光滑圆轨道，轨道固定在竖直平面内，D与圆心连线与竖直方向成θ＝37°角。一质量为m＝1kg的滑板Q放置在凹槽内水平面上，其上表面刚好与B点和C点水平等高。开始时滑板静置在紧靠凹槽左端处，此时滑板右端与凹槽右端的距离d＝0.60m。一质量也为m的小物块P（可视为质点）从A点由静止滑下，当物块滑至滑板右端时滑板恰好到达凹槽右端，撞击后滑板立即停止运动。已知物块与滑板间的动摩擦因数μ＝0.75，其余接触面的摩擦均可忽略不计，取重力加速度g＝10m/s2。
（1）求滑块滑至B点时对B点的压力；
（2）求滑板的长度l；
（3）请通过计算说明滑块滑上CD轨道后能否从D点飞出？
10．（2022 杭州二模）公交站点1与站点2之间的道路由水平路面AB段、CD段及倾角为15°的斜坡BC段组成，斜坡足够长。一辆公交车额定功率为210kW，载人后总质量为8000kg。该车在AB段以54km/h的速率匀速行驶，此过程该车的实际功率为额定功率的一半。该车到达C点时的速率为21.6km/h，此后在大小恒为1.4×104N的牵引力作用下运动，直到速度达到54km/h时关闭发动机自由滑行，结果该车正好停在了D点（站点2）。若在整个行驶过程中，公交车的实际功率不超过额定功率，它在每一个路段的运动都可看成直线运动，它受到的由地面、空气等产生的阻力F1大小不变。已知sin15°＝0.26，求：
（1）F1的大小；
（2）公交车上坡过程中能够保持匀速行驶的最大速率；
（3）C点与D点之间的距离。
11．（2021 浙江模拟）有一弹射打板游戏装置，其结构如图所示，半径R＝0.4m的竖直光滑圆弧轨道BC固定在水平底座CD上，轨道的上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角θ＝30°，C、D两点间的距离L＝1.2m；D点与弹射装置相连，弹射装置的弹性势能Ep＝2.0J。装置的上方有一高h＝0.4m可水平移动的竖直挡板，挡板的下端点A与BC轨道有一定间距。在某次游戏中，一质量m0＝0.1kg的弹射物（可视为质点）从弹射器弹出，经DC沿圆弧轨道从B点抛出，恰好从A点贴近挡板水平飞出，已知弹射物与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，不计空气阻力，g取10m/s2求：
（1）弹射物经过圆弧轨道上C点时对轨道的压力；
（2）弹射物经过圆弧轨道上B点时的速度vB的大小：
（3）挡板的下端点A与轨道最高点B的高度差：，
（4）现减小弹射物的质量，并且要求弹射物与挡板垂直相碰，试写出挡板水平距离×（A与B点的水平间距）与弹射物的质量m的函数关系。
12．（2022 浙江模拟）如图所示，质量均为m＝4kg的两个小物块A、B（均可视为质点）放置在水平地面上，竖直平面内半径R＝0.4m的光滑半圆形轨道与水平地面相切于C，弹簧左端固定。移动物块A压缩弹簧到某一位置（弹簧在弹性限度内），由静止释放物块A，物块A离开弹簧后与物块B碰撞并粘在一起以共同速度v＝5m/s向右运动，运动过程中经过一段长为s，动摩擦因数μ＝0.2的水平面后，冲上圆轨道，除s段外的其他水平面摩擦力不计。求：（g取10m/s2）
（1）若s＝1m，两物块刚过C点时对轨道的压力大小；
（2）若两物块能冲上圆形轨道，且不脱离圆形轨道，s应满足什么条件。
13．（2021 岱山县校级模拟）如图所示，水平放置的轻质弹簧原长为2L，一端与质量m1＝2kg的物块P接触但不连接，另一端固定在A点，光滑水平轨道AB长度为5L.长度为L0＝2.5m的水平传送带分别与B端和水平光滑轨道CD平滑连接，物块P与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，传送带始终以v＝2m/s的速率顺时针匀速转动.质量为m2＝6kg小车放在光滑水平轨道上，位于CD右侧，小车左端与CD段平滑连接，小车的水平面长度L1＝0.5m，右侧是一段半径R＝0.5m的四分之一光滑圆弧，物块P与小车水平上表面的动摩擦因数μ1＝0.1.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度L，然后放开，P开始沿轨道运动，冲上传送带后开始做减速运动，到达传送带右端时速度恰好与传送带速度大小相等.重力加速度大小g＝10m/s2.求：
（1）弹簧压缩至长度L时储存的弹性势能Ep；
（2）物块P在小车圆弧上上升的最大高度H；
（3）要使物块P既可以冲上圆弧又不会从小车上掉下来，小车水平面长度的取值范围。
14．（2021 金华模拟）如图所示，竖直放置的半径为R＝0.2m的螺旋圆形轨道BGEF与水平直轨道MB和BC平滑连接，倾角为θ＝30°的斜面CD在C处与直轨道BC平滑连接。水平传送带MN以v0＝4m/s的速度顺时针方向运动，传送带与水平地面的高度差为h＝0.8m，MN间的距离为LMN＝3.0m，小滑块P与传送带和BC段轨道间的摩擦因数μ＝0.2，轨道其他部分均光滑。直轨道BC长LBC＝1m，小滑块P质量为m＝1kg。
（1）若滑块P第一次到达圆轨道圆心O等高的F点时，对轨道的压力刚好为零，求滑块P从斜面静止下滑处与BC轨道高度差H；
（2）若滑块P从斜面高度差H＝1.0m处静止下滑，求滑块从N点平抛后到落地过程的水平位移；
（3）滑块P在运动过程中能二次经过圆轨道最高点E点，求滑块P从斜面静止下滑的高度差H范围。
15．（2022 浙江模拟）某游乐场的滑梯可以简化为如图所示竖直面内的ABCD轨道，AB为长L＝6m、倾角α＝37°的斜轨，BC为水平轨道，CD为半径R＝15m、圆心角β＝37°的圆弧，轨道AB段粗糙其余各段均光滑。一小孩（可视为质点）从A点以初速度v0＝2m/s下滑，沿轨道运动到D点时的速度恰好为零（不计经过B点时的能量损失）。已知该小孩的质量m＝30kg，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：
（1）该小孩第一次经过圆弧C点时，对圆弧轨道的压力FN；
（2）该小孩在轨道AB上第一次从A下滑到B的时间t；
（3）若将AB段轨道改为圆弧形状（图中虚线部分，轨道材质不变），试定性说明题设条件下小孩在轨道上游玩时是否会冲出D点而发生危险？
16．（2022 绍兴二模）如图甲所示为北京首钢滑雪大跳台，模型简化如图乙所示，AB 和EF是长为L1＝50m的倾斜滑到，倾角为θ＝37°，CD是长为L2＝30m 的水平滑道，倾斜滑道AB、EF和水平滑道CD之间分别用一圆弧轨道连接，圆弧轨道半径为R＝10m，圆心角为θ＝37°，FG为结束区。一质量为m＝90kg的运动员从A点静止滑下沿滑道ABCD运动，从D点沿水平方向滑离轨道后，完成空翻、回转等技术动作，落到倾斜轨道，最后停在结束区。为简化运动，运动员可视为质点，不计空气阻力。
（1）运动员刚好从D点沿水平方向滑离轨道，求运动员在D点的速度；
（2）在（1）情形下，求从开始运动到完成表演落到倾斜轨道过程中摩擦阻力做的功；
（3）运动员可以在滑道ABCD滑行过程中利用滑雪杖支撑前进，获取一定的能量ΔE，要使运动员安全停留在结束区，落到倾斜轨道上的动能不能超过15250J，求ΔE大小应满足的条件。
17．（2021 浙江模拟）简谐运动是一种常见且重要的运动形式。它是质量为m的物体在受到形如F＝﹣kx的回复力作用下，物体的位移x与时间t遵循x＝Asinωt变化规律的运动，其中角频率ω（k为常数，A为振幅，T为周期）。弹簧振子的运动就是其典型代表。
如图所示，一竖直光滑的管内有一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定于地面，上端与一质量为m的小球A相连，小球A静止时所在位置为O，另一质量也为m的小球B从距A为H的P点由静止开始下落，与A发生瞬间碰撞后一起开始向下做简谐运动。两球均可视为质点，在运动过程中，弹簧的形变在弹性限度内，当其形变量为x时，弹性势能为Epkx2，已知H，重力加速度为g。求：
（1）B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度；
（2）小球A被碰后向下运动离O点的最大距离。
（3）小球A从O点开始向下运动到第一次返回O点所用的时间。
18．（2021 宁波二模）如图所示是一弹射游戏装置，由安装在水平台面上的固定弹射器、竖直圆轨道（在最低点A、C分别与水平轨道OA和CD相连）、倾斜长轨道DE组成。游戏时滑块从O点弹出后，经过圆轨道并滑上倾斜长轨道DE，若滑块从长轨道DE滑下则反向进入圆轨道，从圆轨道滑出，进入AO轨道并压缩弹射器的弹簧，随后能再次弹出（无能量损失）算游戏成功。已知圆轨道半径为R，轨道DE的倾角θ＝37°，滑块质量为m，滑块与轨道DE之间的动摩擦因数μ＝0.5，其余都光滑，各轨道之间平滑连接；滑块可视为质点，弹射时从静止释放且弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能，忽略空气阻力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度为g。
（1）若滑块第一次进入圆轨道，恰好能过最高点B，求滑块能滑上斜轨道的最大距离；
（2）若某次游戏弹射释放的弹性势能为Ep＝5mgR，求滑块在斜轨道上通过的总路程；
（3）要使游戏成功（即滑块能返回弹射器、且只能返回一次），并要求滑块始终不脱离轨道，求弹射时弹性势能可能的范围。
19．（2023 杭州二模）如图所示，某游戏装置由光滑平台、轨道AB、竖直圆管道BCDEC（管道口径远小于管道半径）、水平轨道CF、光滑直轨道FG平滑连接组成，B、C、C′为切点，A、F连接处小圆弧长度不计，A点上方挡片可使小滑块无能量损失地进入轨道AB。圆管道半径R＝0.2m，管道中，内侧粗糙，外侧光滑。小滑块与轨道AB、CF的动摩擦因数均为μ＝0.5，AB轨道长度l＝0.4m，倾角θ＝37°，CF长度L＝2m，FG高度差h＝0.8m，平台左侧固定一轻质弹簧，第一次压缩弹簧后释放小滑块，恰好可以运动到与管道圆心等高的D点，第二次压缩弹簧使弹性势能为0.36J时释放小滑块，小滑块运动到圆管道最高处E的速度为vE＝1m/s，已知小滑块质量m＝0.1kg可视为质点，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力。求；
（1）第一次释放小滑块，小滑块首次到圆管上的C点时受到弹力大小；
（2）第二次释放小滑块，小滑块从C点运动到E点的过程，圆管道对滑块的摩擦力做的功；
（3）若第三次压缩弹簧使弹性势能为Ep时释放小滑块，要求小滑块在圆管道内运动时不受到摩擦力且全程不脱轨，最终停在C′F上。写出小滑块C′F上运动的总路程s与Ep之间的关系式，并指出Ep的取值范围。
20．（2021 浙江二模）如图1是组合玩具实物图，该玩具主要配件有小车、弹射器、三连环、滑跃板及部分直线轨道等。如图2为该玩具的轨道结构示意图，其中三连环是三个半径不同圆轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ组成，且轨道连接但不重叠。其圆心分别为O1、O2、O3，半径分别为R1＝20cm、R2＝15cm、R3＝10cm，OA、AC为光滑水平轨道，滑跃板CD为足够长的粗糙倾斜轨道，轨道与水平面夹角θ可调（0≤θ＜90o）。某次游戏中弹射器将小车自O点以一定初速度弹出，小车先后通过圆轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ后冲上滑跃板。小车可视为质点，其质量m＝0.1kg，与滑跃板CD间动摩擦因数μ，其它阻力均不计，轨道各部分平滑连接，g取10m/s2。
（1）求小车通过圆轨道Ⅰ最高点B的最小速度vB；
（2）改变弹射器对小车的冲量，小车均能通过三连环，求小车通过圆轨道Ⅲ最低点A时受到轨道的支持力与弹射器对小车冲量的关系；
（3）若小车恰好能够通过三连环，为确保小车整个运动过程均不脱离轨道，分析滑跃板CD与水平面间夹角θ的取值范围。（可用三角函数表示）
21．（2023 浙江模拟）如图为某游戏装置的示意图。AB、CD均为四分之一圆弧，E为圆弧DEG的最高点，各圆弧轨道与直轨道相接处均相切。GH与水平夹角为θ＝37°，底端H有一弹簧，A、O1、O2、D、O3、H在同一水平直线上。一质量为0.01kg的小钢球（其直径稍小于圆管内径，可视作质点）从距A点高为h处的O点静止释放，从A点沿切线进入轨道，B处有一装置，小钢球向右能无能量损失的通过，向左则不能通过且小钢球被吸在B点。若小钢球能够运动到H点，则被等速反弹。各圆轨道半径均为R＝0.6m，BC长L＝2m，水平直轨道BC和GH的动摩擦因数μ＝0.5，其余轨道均光滑，小钢球通过各圆弧轨道与直轨道相接处均无能量损失。某次游戏时，小钢球从O点出发恰能第一次通过圆弧的最高点E。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2）求：
（1）小钢球第一次经过C点时的速度大小vC；
（2）小钢球第一次经过圆弧轨道最低点B时对轨道的压力大小FB（保留两位小数）；
（3）若改变小钢球的释放高度h，求出小钢球在斜面轨道上运动的总路程s与h的函数关系。
22．（2022 浙江模拟）如图所示，倾斜轨道AB与水平直轨道BCDOMN在B处平滑连接，C、D间安装着水平传送带，C、D为两轮切点，间距L＝6m，皮带轮半径r＝0.1m；Q处安装着半径R＝1m的竖直光滑圆轨道，在底部O处微微错开；N处安装着竖直弹性挡板。质量m＝0.1kg的小滑块由A点以初速度v0＝6m/s滑下，经传送带和圆轨道后与挡板相撞，撞后原速率弹回。滑块与传送带间的动摩擦因数μ1＝0.2，与MN间的动摩擦因数为μ2＝0.4，其余轨道均光滑。已知A点离地面高度h＝1.5m，MN段的长度s＝4.5m，g＝10m/s2，滑块视为质点，空气阻力不计。
（1）若传送带静止，求滑块经过与圆心O等高的P点时对轨道的压力；
（2）若皮带轮以角速度ω1＝20rad/s逆时针匀速转动，在滑块经过传送带的过程中，求滑块损失的机械能；
（3）若皮带轮以角速度ω2＝90rad/s顺时针匀速转动，求滑块最后静止时离M点的距离；
（4）在皮带轮顺时针匀速转动的情况下，求滑块在MN段内滑行的总路程x与角速度ω的关系式
2021-2023年浙江省高考物理模拟试题分类——专题7机械能守恒定律 计算题
参考答案与试题解析
一．试题（共22小题）
1．（2022 温州二模）我国选手谷爱凌在北京冬奥会自由式滑雪好U形场地技巧决赛中夺得金牌。如图所示，某比赛用U形池场地长度L＝160m、宽度d＝20m、深度h＝7.25m，两边竖直雪道与池底平面雪道通过圆弧雪道连接组成，横截面像“U”字形状，池底雪道平面与水平面夹角为θ＝20°。为测试赛道，将一质量m＝1kg的小滑块从U形池的顶端A点以初速度v0m/s滑入；滑块从B点第一次冲去U形池，冲出B点的速度vB＝10m/s，与竖直方向夹角为α （α未知），再从C点重新落回U形池（C点图中未画出）。已知A、B两点间直线距离为25m，不计滑块所受的空气阻力，sin20°＝0.34，cos20°＝0.94，tan20°＝0.36。
（1）A点至B点过程中，求小滑块克服雪道阻力所做的功Wf；
（2）忽略雪道对滑块的阻力，若滑块从池底平面雪道离开，求滑块离开时速度v的大小；
（3）若保持vB大小不变，调整速度vB与竖直方向的夹角为α0时，滑块从冲出B点至重新落回U形池的时间最长，求tanα0。
【解答】解：（1）小滑块从A点至B点过程中，由动能定理得：，由几何关系：，解得：Wf＝1.35J；
（2）忽略雪道对滑块的阻力，滑块从A点运动到池底平面雪道离开的过程中，由动能定理得：，代入数据得：v＝35m/s；
（3）当滑块离开B点后设速度方向与U形池斜面的夹角为θ，沿U形池斜面方向分解速度及加速度vy＝vBsinθ，vx＝vBcosθ，ay＝gcos（20°），ax＝gsin（20°），vy＝ayt1，t＝2t1，由此可知，当vy最大时，滑块从冲出B点至重新落回U形池的时间最长，此时vB垂直于U形池斜面，即α0＝20°，。
答：（1）小滑块克服雪道阻力所做的功为1.35J；
（2）滑块离开时速度v的大小为35m/s；
（3）tanα0为滑块从冲出B点至重新落回U形池的时间最长。
2．（2022 宁波二模）如图所示，在竖直平面内，某一游戏轨道由直轨道AB、光滑圆弧细管道BCD和光滑圆弧轨道DE平滑连接组成，两段圆弧半径相等R＝0.5m，B、D等高，图中θ角均为37°，AB与圆弧相切，AM水平。直轨道AB上方有与AB相平行的匀强电场E＝108N/C，且电场只分布在AB之间。直轨道AB底端装有弹射系统（弹簧长度很短，长度和质量不计，可以认为滑块从A点射出），具有初始弹性势能EP＝2.5J，某次弹射系统将尺寸略小于管道内径的带正电的滑块弹出，冲上直轨道AB，直轨道AB上铺有特殊材料，使滑块与轨道AB间的动摩擦因数μ大小可调。滑块进入光滑圆轨道后，最后能在E点与弹性挡板相互作用后以等速率弹回。已知滑块的质量为m＝0.1kg，带电量为q＝+8.0×10﹣9C，B点的高度h＝1.8m，整个过程中滑块可视为质点，所带电量保持不变，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）若调节AB间的特殊材料，使其变为光滑，求滑块在最高点C点时对轨道的作用力；
（2）现调节AB间的动摩擦因数μ，求滑块首次到达E点时的速率vE与μ之间的关系式；
（3）若滑块与弹性挡板相碰后最终能静止在轨道AB的中点，求动摩擦因数μ。
【解答】解：（1）由几何关系可得AB的长度为：
由A点到C点的动能定理：
在C点根据牛顿运动定律：
解得：FN＝11N
牛顿第三定律：FN′＝FN＝11N，方向：竖直向上
（2）由A点到C点的动能定理：
解得：
考虑到滑块需先过C点：EP+Eql﹣mgh﹣mgR（1﹣cosθ）﹣μmgcosθ l≥0
所以：
所以：（且）
（3）滑块经多次碰撞，最终在轨道AB中点速度减为0，由动能定理可得：
，其中n＝0，1，2，3…
解得：，其中n＝0，1，2，3…
要让滑块在中点能停住：Eq﹣mgsinθ≤μmgcosθ
所以：
因此，只有n＝0，1，2，3时满足条件
所以动摩擦因数μ只能取，，，这4个值
答：（1）若调节AB间的特殊材料，使其变为光滑，滑块在最高点C点时对轨道的作用力为11N；
（2）现调节AB间的动摩擦因数μ，求滑块首次到达E点时的速率vE与μ之间的关系式为（且）；
（3）若滑块与弹性挡板相碰后最终能静止在轨道AB的中点，动摩擦因数μ只能取，，，这4个值。
3．（2023 镇海区校级模拟）如图所示，在水平直轨道上竖直放置一半径R＝1m的圆形光滑轨道和细管弯成两个半圆组成的反“S”形光滑轨道，其半径r＝0.05m。两轨道最低点B、D相距L1＝4m，B、D间铺设特殊材料，其动摩擦因数μ1＝0.2+0.2x（x表示DB上一点到B的距离）。一个质量为1kg可视为质点的小球P从倾角θ＝37°、动摩擦因数μ3＝0.8的斜面上以初动能Ek0滑下，经A点无能量损失进入长度L2＝3m、动摩擦因数为μ2＝0.2的AB直轨道，然后冲上圆形轨道。小球P释放点到水平轨道的高度h＝3m，圆形轨道最低点B处入、出口靠近且相互错开，不计空气阻力。提示：可以用F﹣x图像下的“面积”代表力F做的功。
（1）若小球P恰好通过圆形轨道最高点C，求小球在B点对轨道的压力大小；
（2）调整释放初动能Ek0，使小球P离开反“S”形轨道最高点E后第一次落到水平直轨道上离E点的水平位移大小s＝1m，求初动能Ek0的大小；
（3）调整释放初动能Ek0，要使小球P整个运动过程中不脱离轨道，且不停在水平轨道AB段上，求Ek0的取值范围。
【解答】解：（1）小球P恰好通过圆形轨道最高点C点，则有
解得
从C到B，根据动能定理有
解得
B点，则有
解得FN＝60N
根据牛顿第三定律，小球在B点对轨道的压力大小为60N；
（2）根据平抛运动规律有，s＝vEt
联立解得t＝0.2s，vE＝5m/s
BD上，有Ff＝μ1mg＝mg（0.2+0.2x）＝2+2x
则摩擦力做功为
从初始到E，则有
解得Ek0＝46.5J
（3）①恰好到A，则有
解得Ek0＝2J
所以0≤Ek0≤2J
②恰好到O点等高处，则有
解得Ek0＝18J
返回恰好到A，则有
解得Ek0＝14J
所以14J≤Ek0≤18J
③恰好过C，，则有
解得Ek0＝33J
恰好到E，则有
解得Ek0＝34J
所以33J≤Ek0≤34J
综上，0≤Ek0≤2J或者14J≤Ek0≤18J或者33J≤Ek0≤34J
答：（1）小球在B点对轨道的压力大小为60N；
（2）初动能Ek0的大小为46.5J；
（3）Ek0的取值范围为0≤Ek0≤2J或者14J≤Ek0≤18J或者33J≤Ek0≤34J。
4．（2023 温州模拟）2022年10月，某学校举办校运动会，在铅球比赛场地上放置了一个铅球回收架，以便于回收选手投出的铅球。图1所示是铅球回收架的最后一段轨道，可简化为如图2所示的ABCDE轨道，其中AB、BC、CD轨道均为直轨道且平滑连接，长度分别为LAB＝1.0m、LBC＝1.6m、LCD＝0.6m，与水平方向的夹角分别为θ1＝37°、θ2＝15°、θ3＝37°。一质量m＝4kg的铅球，从A点以某一速度冲上AB轨道，运动到B点时速度恰好为0，然后经过BC轨道冲上CD轨道。若铅球在AB、CD轨道运动时所受的轨道阻力恒为Ff1＝8N，在BC轨道运动时所受的轨道阻力恒为Ff2＝9.6N，不计其它阻力，铅球大小可忽略。（取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，sin15°＝0.26，cos15°＝0.96），求铅球
（1）冲上AB轨道时的初速度大小vA；
（2）运动到轨道C点时的速度大小vc；
（3）从轨道A点到在CD轨道上速度第一次减为零时所用的总时间t总。
【解答】解：（1）铅球在AB段的加速度大小为
由运动学公式
联立解得vA＝4m/s
（2）铅球在BC段的加速度大小为
由运动学公式
联立解得vC＝0.8m/s
（3）铅球在CD段的加速度大小为
铅球在CD轨道上速度第一次减为零时所用的时间为
铅球在BC轨道上的时间为
铅球在AB轨道上的时间为
联立解得t1＝0.1s，t2＝4s，t3＝0.5s
从轨道A点到在CD轨道上速度第一次减为零时所用的总时间t总＝t1+t2+t3
解得t总＝4.6s
答：（1）冲上AB轨道时的初速度大小4m/s；
（2）运动到轨道C点时的速度大小0.2m/s；
（3）从轨道A点到在CD轨道上速度第一次减为零时所用的总时间4.6s。
5．（2023 浙江模拟）某闯关项目的简化图如图所示，距离水平地面高为h＝1.8m的平台上，A点左侧为光滑平台，一根弹簧左端与固定挡板连接，自然长度时右端不超过A点，一个可以看作质点的滑块靠着弹簧右端（不拴连），滑块质量为m＝1kg。平台AB段长为L1＝2.0m，与滑块的动摩擦因数为μ1＝0.1。B点右侧设置长为L2＝1.5m的水平传送带，传送带与滑块的动摩擦因数为μ2，传送带的右端设置半径为R＝0.9m的半圆弧光滑轨道，CD为竖直直径的上下两端，C点与传送带末端的空隙很小，但是可以让滑块通过。传送带一且启动，顺转（即让传送带顺时针方向转动）和逆转的速度都为v＝4m/s，在B点的左侧附近设置传送带启动按钮，按钮有两个，一个为顺转，一个为逆转。闯关开始前传送带处于关闭状态。闯关时，选手首先向左推滑块压缩弹簧，使弹簧具有一定的初始弹性势能EP，然后释放滑块，在滑块进入传送带前，选手必须按照实时情况按下顺转按钮或逆转按钮。闯关规则为：如果滑块最终能始终沿着轨道到达水平地面，则闯关成功；如果滑块最终退回到A点左侧，则可以再次闯关（既不失败，也没有成功）；如果滑块最终停在AB段上，或者向右出传送带后摔落在CD段则游戏失败（来不及按下按钮也视为失败，本题假设选手都按了按钮）。g取10m/s2。
（1）设备调试时，关闭传送带，测得当弹簧的初始弹性势能为EP＝5.0J时，滑块恰好滑到传送带的右端停止，求传送带与滑块的动摩擦因数μ2的大小；
（2）某选手压缩弹簧使其具有EP＝4.5J的初始弹性势能，请通过计算说明本次闯关选手（按下任何一个按钮的可能性都会有）是否可能会失败；
（3）求选手按下任意一个按钮都能闯关成功的初始弹簧弹性势能EP取值范围。
【解答】解：（1）该过程中，根据能量守恒定律可得：
Ep＝μ1mgL1+μ2mgL2
代入数据解得：μ2＝0.2
（2）设滑块到达B点的速度为vB，根据能量守恒定律可得：
解得：vB＝3m/s
选择1：若选手按下顺转按钮，设滑块在传送带上能全程加速，到达C点的速度为vC，根据动能定理可得：
解得：
vC＜v，说明全程加速成立
vC＞v0，说明按下顺转按钮可以沿轨道到达水平地面，闯关成功
选择2：若选手按下逆转按钮，设滑块在传送带上减速到零的对地位移为x，则
解得：x＝1.25m
因为x＜L2，说明传送带上减速到零的假设成立
，说明滑块可以按原速率m/s回到B点
又
故滑块可以回到A点左侧，再闯关一次
综上分析，本次选手闯关不会失败
（3）设顺转按钮情景下的最小初始弹性势能为Ep1
有
解得：Ep1＝3.5J
且Ep1＝3.5J≥μ1mgL1＝2J，能够冲上传送带，成立
设逆转按钮情景下的最小初始弹性势能为Ep2
解得：Ep2＝9.5J
综上所述，选手按下任意一个按钮都能闯关成功的初始弹簧弹性势能EP取值范围为Ep≥9.5J
答：（1）传送带与滑块的动摩擦因数μ2的大小为0.2；
（2）通过分析可知，本次选手闯关不会失败；
（3）选手按下任意一个按钮都能闯关成功的初始弹簧弹性势能EP取值范围为Ep≥9.5J。
6．（2022 宁波模拟）如图所示，一游戏装置由安装在水平台面上的高度h可调的斜轨道AB、竖直圆轨道（在最低点E分别与水平轨道AE和EG相连）、细圆管道GHIJ（HI和IJ为两段四分之一圆弧）和与J相切的水平直轨道JK组成。可认为所有轨道均处在同一竖直平面内，连接处均平滑。已知，滑块质量为m＝30g且可视为质点，竖直圆轨道半径为r＝0.45m小圆弧管道HI和大圆弧管道IJ的半径之比为1：4，L1＝1.5m不变，L2＝0.5m，滑块与AB、EG及JK间摩擦因数均为μ＝0.5，其他轨道均光滑，不计空气阻力，忽略管道内外半径差异。现调节h＝2m，滑块从B点由静止释放后，贴着轨道恰好能滑上水平直轨道JK，求：
（1）大圆弧管道IJ的半径R；
（2）滑块经过竖直圆轨道与圆心O等高的P点时对轨道的压力F1与运动到圆弧管道最低点H时对轨道的压力F2大小之比；
（3）若在水平轨道JK上某一位置固定一弹性挡板，当滑块与之发生弹性碰撞后能以原速率返回，若第一次返回时滑块不脱轨就算游戏闯关成功。调节斜轨道的高度为h＝3m，仍让滑块从B点由静止滑下，问弹性挡板与J的间距L满足什么条件时游戏能闯关成功。
【解答】解：（1）物块从B点开始下滑，恰能达到水平直轨道JK，根据动能定理得：
解得：R＝0.8m
（2）运动到P点时，根据动能定理得：
在P点时，
解得：vP＝4m/s；
运动到H点时
解得：F2＝3.3N
因此
（3）要想让物块无挡板碰后不脱离圆轨道，当L最大时对应于物块恰能达到与圆轨道圆心O等高的位置，则由动能定理得：
mgh﹣μmg（L1+2L2+2Lmax）﹣mgr＝0
解得：Lmax＝1.3m
当L最小时对应于物块恰能达到与圆轨道最高点的位置，此时
则由动能定理得：
解得：Lmin＝0.625m
则弹性挡板与J的间距L满足L≤0.625m或者L≥1.3m才能闯关成功。
答：（1）大圆弧管道IJ的半径为0.8m；
（2）滑块经过竖直圆轨道与圆心O等高的P点时对轨道的压力F1与运动到圆弧管道最低点H时对轨道的压力F2大小之比为32：99；
（3）弹性挡板与J的间距L满足满足L≤0.625m或者L≥1.3m才能闯关成功。
7．（2021 瓯海区校级模拟）如图所示，在高h1＝30m的水平平台上有一质量m＝1kg的小物块（可视为质点），它在F＝20N的水平外力作用下从离平台右端l＝5m处由静止开始向右做直线运动，物块与平台间的动摩擦因数μ0＝0.2，作用一段距离x后撤去力F，物块又滑行一段距离后从平台右端水平抛出，物块抛出后，恰好能从光滑圆弧形轨道BC的B点沿切线方向进入圆弧形轨道。B点的高度h2＝15m，圆弧轨道的圆心O与平台等高，轨道最低点C的切线水平，并与地面上长度L＝70m的水平粗糙轨道CD平滑连接；小物块沿轨道BCD运动并与右边墙壁发生碰撞，取g＝10m/s2。
（1）求水平外力F的作用的距离x；
（2）若小物块与墙壁只发生一次碰撞，碰后物块的速度等大反向、反向运动过程中物块没有冲出B点，最后停在轨道CD上的P点（P点没画出），设小物块与轨道CD之间的动摩擦因数为μ，求μ的取值范围。
【解答】解：（1）设OB与OC的夹角为θ，由平抛运动规律得
2g（h1﹣h2）
tan
由几何关系得
cos
联立代入数据解得
vy＝10m/s，vx＝10m/s
由开始到A点，由动能定理得
Fx﹣μ0mgl
联立代入数据解得：x＝3m
（2）物块第一次到达B点的速度为：v
当物块刚好第二次能到达D点时，摩擦因数最小，全程动能定理得
mgh2﹣μ′mg 3L＝0
联立代入数据解得：μ′
当物块刚好第一次能到达D点时，摩擦因数最大，全程动能定理得
mgh2﹣μ′'mgL＝0
代入数据解得：μ′'
则μ的取值范围为：μ
答：（1）求水平外力F的作用的距离为3m；
（2）μ的取值范围为μ。
8．（2023 嘉兴一模）如图所示，某游乐场游乐装置由竖直面内轨道BCDE组成，左侧为半径R＝0.8m的光滑圆弧轨道BC，轨道上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角α，下端点C与粗糙水平轨道CD相切，DE为倾角θ＝37°的粗糙倾斜轨道，一轻质弹簧上端固定在E点处的挡板上。现有质量为m＝0.1kg的小滑块P（视为质点）从空中的A点以v0＝2m/s的初速度水平向左抛出，经过s后恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道运动到C点之后继续沿水平轨道CD滑动，经过D点后沿倾斜轨道向上运动至F点（图中未标出），弹簧恰好压缩至最短，已知CD＝DF＝1m，滑块与轨道CD、DE间的动摩擦因数为μ＝0.1，各轨道均平滑连接，不计其余阻力，sin37°＝0.6。求：
（1）BO连线与水平方向的夹角α的大小；
（2）小滑块P到达与O点等高的O'点时对轨道的压力；
（3）弹簧的弹性势能的最大值；
（4）试判断滑块返回时能否从B点离开，若能，求出飞出时对B点的压力大小；若不能，判断滑块最后位于何处。
【解答】解：（1）滑块从A到B做平抛运动，滑块经过B点时的竖直分速度为vy＝gt＝10m/s＝2m/s
滑块恰好从B点进入轨道，如图所示，由平抛运动的规律有
v0＝vBsinα＝vytanα
解得：α＝30°，vB＝4m/s
（2）由B→O'，由动能定理可知
mgRsin30°
解得
滑块经过O'点时受轨道的支持力大小FN，由牛顿第二定律有
解得FN＝5N
由牛顿第三定律可得滑块在O'点时对轨道的压力大小F压＝5N，方向向左。
（3）设CD＝DF＝L，从B到F，由动能定理及功能关系有
mg（R+Rsinα﹣Lsinθ）﹣μmgL﹣μmgLcosθ﹣Ep＝0
代入数据可解得弹簧的弹性势能的最大值：Ep＝2.02J
（4）设滑块返回时能上升的高度为h，由功能关系有
mgLsinθ+Ep＝mgLcosθ+μmgL+mgh
解得h＝2.44m＞1.2m
则滑块返回时能从B点离开。
运动到B点时，有：，
在B点，对滑块，由牛顿第二定律得
解得：FN＝2.6N
由牛顿第三定律可知对B点的压力为F'N＝2.6N
答：（1）BO连线与水平方向的夹角α的大小为30°；
（2）小滑块P到达与O点等高的O'点时对轨道的压力为5N，方向向左；
（3）弹簧的弹性势能的最大值为2.02J；
（4）能，飞出时对B点的压力大小为2.6N。
9．（2023 浙江模拟）如图所示，半径R＝2.45m的竖直光滑圆弧轨道AB，其底端右侧是一个凹槽，凹槽右端连接一个半径r＝0.40m的光滑圆轨道，轨道固定在竖直平面内，D与圆心连线与竖直方向成θ＝37°角。一质量为m＝1kg的滑板Q放置在凹槽内水平面上，其上表面刚好与B点和C点水平等高。开始时滑板静置在紧靠凹槽左端处，此时滑板右端与凹槽右端的距离d＝0.60m。一质量也为m的小物块P（可视为质点）从A点由静止滑下，当物块滑至滑板右端时滑板恰好到达凹槽右端，撞击后滑板立即停止运动。已知物块与滑板间的动摩擦因数μ＝0.75，其余接触面的摩擦均可忽略不计，取重力加速度g＝10m/s2。
（1）求滑块滑至B点时对B点的压力；
（2）求滑板的长度l；
（3）请通过计算说明滑块滑上CD轨道后能否从D点飞出？
【解答】解：（1）滑块由A→B过程，由动能定理可得
解得：v0＝7m/s
滑块滑至B点，由牛顿第二定律得
解得：FN＝30N
由牛顿第三定律可得滑块对B点的压力大小F压＝FN＝30N，方向竖直向下。
（2）滑块在滑板上运动时，根据牛顿第二定律可得小物块P的加速度大小为
a1μg＝0.75×10m/s2＝7.5m/s2
滑板Q的加速度大小为a2μg＝0.75×10m/s2＝7.5m/s2
根据题意可知，从滑块滑上滑板Q到滑板右端到达凹槽右端过程，滑块P一直做匀减速运动，滑板Q一直做匀加速运动，设运动时间为t.
对于滑板Q，有
解得：t＝0.4s
对于滑块P，有
解得：x＝2.2m
故滑板的长度为l＝x﹣d＝2.2m﹣0.60m＝1.6m
（3）滑块P到达半圆轨道最低点C时的速度为v1＝v0﹣a1t＝（7﹣7.5×0.4）m/s＝4m/s
设滑块P可以到达D点，根据机械能守恒定律可得
mgr（1+cos37°）
解得滑块P在D点速度为
假设P刚好到达D点，则由牛顿第二定律得
解得P在D点的最小速度为
说明小物块P到不了D点。
答：（1）滑块滑至B点时对B点的压力为30N，方向竖直向下；
（2）滑板的长度l为1.6m；
（3）滑块滑上CD轨道后不能从D点飞出。
10．（2022 杭州二模）公交站点1与站点2之间的道路由水平路面AB段、CD段及倾角为15°的斜坡BC段组成，斜坡足够长。一辆公交车额定功率为210kW，载人后总质量为8000kg。该车在AB段以54km/h的速率匀速行驶，此过程该车的实际功率为额定功率的一半。该车到达C点时的速率为21.6km/h，此后在大小恒为1.4×104N的牵引力作用下运动，直到速度达到54km/h时关闭发动机自由滑行，结果该车正好停在了D点（站点2）。若在整个行驶过程中，公交车的实际功率不超过额定功率，它在每一个路段的运动都可看成直线运动，它受到的由地面、空气等产生的阻力F1大小不变。已知sin15°＝0.26，求：
（1）F1的大小；
（2）公交车上坡过程中能够保持匀速行驶的最大速率；
（3）C点与D点之间的距离。
【解答】解：（1）AB段，已知v＝54km/h＝15m/s，
由于AB匀速行驶，根据P＝Fv，
可知F1N＝7000N，
（2）BC段，根据P＝Fv可知，当达到最大速度时F＝F1+mgsin15°
即P额＝（F1+mgsin15°）vmax，得vmaxm/s≈7.55m/s≈27.2km/h，
即公交车上坡过程中能够保持匀速行驶的最大速率约为27.2km/h；
（3）CD段，已知21.6km/h＝6m/s
速度达到54km/h之前，应用动量定理（F﹣F1）t1＝mv﹣mvC，得t1s≈10.3s
关闭发动机自由滑行过程，应用动量定理﹣F1t2＝0﹣mv，得t2s＝17.1s
速度达到54km/h之前，m/s＝10.5m/s，
关闭发动机自由滑行过程，平均速度为m/s＝7.5m/s，
C点与D点之间的距离xt110.5×10.3m+7.5×17.1m＝236.4m
答：（1）F1的大小为7000N；
（2）公交车上坡过程中能够保持匀速行驶的最大速率约为27.2km/h；
（3）C点与D点之间的距离为236.4m。
11．（2021 浙江模拟）有一弹射打板游戏装置，其结构如图所示，半径R＝0.4m的竖直光滑圆弧轨道BC固定在水平底座CD上，轨道的上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角θ＝30°，C、D两点间的距离L＝1.2m；D点与弹射装置相连，弹射装置的弹性势能Ep＝2.0J。装置的上方有一高h＝0.4m可水平移动的竖直挡板，挡板的下端点A与BC轨道有一定间距。在某次游戏中，一质量m0＝0.1kg的弹射物（可视为质点）从弹射器弹出，经DC沿圆弧轨道从B点抛出，恰好从A点贴近挡板水平飞出，已知弹射物与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，不计空气阻力，g取10m/s2求：
（1）弹射物经过圆弧轨道上C点时对轨道的压力；
（2）弹射物经过圆弧轨道上B点时的速度vB的大小：
（3）挡板的下端点A与轨道最高点B的高度差：，
（4）现减小弹射物的质量，并且要求弹射物与挡板垂直相碰，试写出挡板水平距离×（A与B点的水平间距）与弹射物的质量m的函数关系。
【解答】解：（1）从D到C，由动能定理：Ep﹣μm0gL0，得：v28m2/s2，在C点，由牛顿第二定律：F，解得：F＝8N，由牛顿第三定律可得，弹射物对轨道压力大小为8N，方向竖直向下。
（2）从C到B，由动能定理：﹣mgR（1+sinθ），联立得：vB＝4m/s
（3）B点速度如图所示：v1＝vBcosθ＝2m/s，竖直方向是竖直上抛运动，h0.6m
（4）从D到B，由动能定理：EP﹣μmgL﹣mgR（1+sinθ）0，解得：vB＝2，垂直打到板上时间：t，A点到B点的水平间距：
x＝vBsinθ t，当m＝0.1kg时，x最小，xmin，当与挡板最高点碰时，x最大，0.6+h，解得：vBm/s，所以
xmaxm，即A点到B点的水平间距：x（）
答：（1）弹射物经过圆弧轨道上C点时对轨道的压力为8N，方向竖直向下；
（2）弹射物经过圆弧轨道上B点时的速度vB的大小为4m/s：
（3）挡板的下端点A与轨道最高点B的高度差为0.6m：，
（4）现减小弹射物的质量，并且要求弹射物与挡板垂直相碰，挡板水平距离×（A与B点的水平间距）与弹射物的质量m的函数关系为x（）
12．（2022 浙江模拟）如图所示，质量均为m＝4kg的两个小物块A、B（均可视为质点）放置在水平地面上，竖直平面内半径R＝0.4m的光滑半圆形轨道与水平地面相切于C，弹簧左端固定。移动物块A压缩弹簧到某一位置（弹簧在弹性限度内），由静止释放物块A，物块A离开弹簧后与物块B碰撞并粘在一起以共同速度v＝5m/s向右运动，运动过程中经过一段长为s，动摩擦因数μ＝0.2的水平面后，冲上圆轨道，除s段外的其他水平面摩擦力不计。求：（g取10m/s2）
（1）若s＝1m，两物块刚过C点时对轨道的压力大小；
（2）若两物块能冲上圆形轨道，且不脱离圆形轨道，s应满足什么条件。
【解答】解：（1）设两物块经过C点时速度为vC，两物块受到轨道支持力为FNC。
A与B从粘合后到运动到C点的过程，由动能定理得：
﹣2μmgs2mv2
在C点，对AB整体，由牛顿第二定律得：
FNC﹣2mg＝2m
代入数据解得：FNC＝500N
由牛顿第三定律知，两物块对轨道压力大小也为500N。
（2）两物块不脱离轨道有两种情况：①能过轨道最高点，设两物块经过半圆形轨道最高点最小速度为v1，则
2mg＝2m，得：v1m/s＝2m/s
两物块从碰撞后到经过最高点过程中，由功能关系有：
2mv2﹣2μmgs﹣4mgR2mv12
代入解得s满足条件：s≤1.25m
②两物块上滑最大高度不超过圆弧，设两物块刚好到达圆弧处速度为v2＝0，两物块从碰撞后到最高点，由功能关系有：
2mv2﹣2μmgs≤2mgR
同时依题意，两物块能滑出粗糙水平面，由功能关系：2mv2＞2μmgs
代入解得s满足条件：4.25m≤s＜6.25m。
答：（1）两物块刚过C点时对轨道的压力大小为500N。
（2）s应满足的条件是：s≤1.25m或4.25m≤s＜6.25m。
13．（2021 岱山县校级模拟）如图所示，水平放置的轻质弹簧原长为2L，一端与质量m1＝2kg的物块P接触但不连接，另一端固定在A点，光滑水平轨道AB长度为5L.长度为L0＝2.5m的水平传送带分别与B端和水平光滑轨道CD平滑连接，物块P与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.2，传送带始终以v＝2m/s的速率顺时针匀速转动.质量为m2＝6kg小车放在光滑水平轨道上，位于CD右侧，小车左端与CD段平滑连接，小车的水平面长度L1＝0.5m，右侧是一段半径R＝0.5m的四分之一光滑圆弧，物块P与小车水平上表面的动摩擦因数μ1＝0.1.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度L，然后放开，P开始沿轨道运动，冲上传送带后开始做减速运动，到达传送带右端时速度恰好与传送带速度大小相等.重力加速度大小g＝10m/s2.求：
（1）弹簧压缩至长度L时储存的弹性势能Ep；
（2）物块P在小车圆弧上上升的最大高度H；
（3）要使物块P既可以冲上圆弧又不会从小车上掉下来，小车水平面长度的取值范围。
【解答】解：（1）设物块P离开弹簧时的速度为v0，在物块与弹簧相互作用过程中，由机械能守恒定律：①
物块在传送带上运动过程中，由动能定理有：②
联立①②代入数据可得：Ep＝14J；
（2）当物块运动到小车的最高点时，对于P与小车构成的系统水平方向动量守恒，设物块与小车有共同速度v1，
取向右为正方向，根据动量守恒定律可得：m1v＝（m1+m2）v1③
由能量守恒定律有：④
联立③④代入数据可得：H＝0.1m；
（3）设当小车水平面长度为L2时，物块到达小车水平右端时与小车的共同速度仍然为v1，
根据能量关系可得：⑤
联立③⑤代入数据可得：L2＝1.5m
设当小车水平长度为L3时，物块到达小车水平左端时与小车有共同速度，
根据能量关系可得：⑥
联立③⑥代入数据可得：L3＝0.75m
要使物块P既可以冲上圆弧又不会从小车上掉下宋，小车水平长度的取值范围：0.75m≤L≤1.5m。
答：（1）弹簧压缩至长度L时储存的弹性势能为14J；
（2）物块P在小车圆弧上上升的最大高度为0.1m；
（3）要使物块P既可以冲上圆弧又不会从小车上掉下来，小车水平面长度的取值范围为0.75m≤L≤1.5m。
14．（2021 金华模拟）如图所示，竖直放置的半径为R＝0.2m的螺旋圆形轨道BGEF与水平直轨道MB和BC平滑连接，倾角为θ＝30°的斜面CD在C处与直轨道BC平滑连接。水平传送带MN以v0＝4m/s的速度顺时针方向运动，传送带与水平地面的高度差为h＝0.8m，MN间的距离为LMN＝3.0m，小滑块P与传送带和BC段轨道间的摩擦因数μ＝0.2，轨道其他部分均光滑。直轨道BC长LBC＝1m，小滑块P质量为m＝1kg。
（1）若滑块P第一次到达圆轨道圆心O等高的F点时，对轨道的压力刚好为零，求滑块P从斜面静止下滑处与BC轨道高度差H；
（2）若滑块P从斜面高度差H＝1.0m处静止下滑，求滑块从N点平抛后到落地过程的水平位移；
（3）滑块P在运动过程中能二次经过圆轨道最高点E点，求滑块P从斜面静止下滑的高度差H范围。
【解答】（1）滑块P在圆轨道F点的压力刚好为零，则vF＝0，
由动能定理得：mg（H﹣R）﹣μmgLBC＝0
解得：H＝μLBC+R＝0.2×1m+0.2m＝0.4m
（2）H＝1.0m，滑块运动到N点时的速度为vN
从开始到N点应用动能定理
解得vN＝2m/s
从N点滑块做平抛运动，水平位移为x＝vN2m＝0.8m
（3）滑块P在运动过程中恰好能第一次经过E点必须具有的高度为H1
从开始到E点应用动能定理
在E点时有
解得H1＝0.7m
滑块滑上传送带时的速度为vM，，
滑块做减速运动的位移为
因此滑块返回M点时的速度也为，因此第二次过E点．
设高度为H2时，滑块从传送带返回M点时的最大速度为vm/sm/s
从开始到M点应用动能定理
解得H2＝0.8m
二次经过E点后，当滑块再次返回圆轨道B点时速度为vB，，，所以不会第三次过E点
能二次经过E点的高度H范围是0.7m≤H≤0.8m
答：（1）若滑块P第一次到达圆轨道圆心O等高的F点时，对轨道的压力刚好为零，则滑块P从斜面静止下滑处与BC轨道高度差H为0.4m；
（2）若滑块P从斜面高度差H＝1.0m处静止下滑，滑块从N点平抛后到落地过程的水平位移为0.8m；
（3）滑块P在运动过程中能二次经过圆轨道最高点E点，滑块P从斜面静止下滑的高度差H范围是0.7m≤H≤0.8m。
15．（2022 浙江模拟）某游乐场的滑梯可以简化为如图所示竖直面内的ABCD轨道，AB为长L＝6m、倾角α＝37°的斜轨，BC为水平轨道，CD为半径R＝15m、圆心角β＝37°的圆弧，轨道AB段粗糙其余各段均光滑。一小孩（可视为质点）从A点以初速度v0＝2m/s下滑，沿轨道运动到D点时的速度恰好为零（不计经过B点时的能量损失）。已知该小孩的质量m＝30kg，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：
（1）该小孩第一次经过圆弧C点时，对圆弧轨道的压力FN；
（2）该小孩在轨道AB上第一次从A下滑到B的时间t；
（3）若将AB段轨道改为圆弧形状（图中虚线部分，轨道材质不变），试定性说明题设条件下小孩在轨道上游玩时是否会冲出D点而发生危险？
【解答】解：（1）由C到D速度减为0，由动能定理可得
代入数据解得
在C点，对小孩受力分析，由牛顿第二定律得
FN﹣mg＝m
代入数据解得 FN＝420N
根据牛顿第三定律，知小孩对轨道的压力为420N，方向向下
（2）在A→C过程有：mgLsinα﹣μmgsLcosαmm
代入数据解得：μ＝0.25
从A→B，沿斜面下滑的过程中，由牛顿第二定律可得
mgsin37°﹣μmgcos37°＝ma
代入数据解得
a＝4m/s2
由运动学公式L
代入数据解得
ts
（3）AB段粗糙，若改为圆弧形状，长度变长，则摩擦力做功增加，速度减小更快，故到达不了D点。
答：（1）该小孩第一次经过圆弧C点时，对圆弧轨道的压力FN是420N，方向向下。
（2）小孩在轨道AB上第一次从A下滑到B的时间为s；
（3）将AB段轨道改为圆弧形状不会有危险。
16．（2022 绍兴二模）如图甲所示为北京首钢滑雪大跳台，模型简化如图乙所示，AB 和EF是长为L1＝50m的倾斜滑到，倾角为θ＝37°，CD是长为L2＝30m 的水平滑道，倾斜滑道AB、EF和水平滑道CD之间分别用一圆弧轨道连接，圆弧轨道半径为R＝10m，圆心角为θ＝37°，FG为结束区。一质量为m＝90kg的运动员从A点静止滑下沿滑道ABCD运动，从D点沿水平方向滑离轨道后，完成空翻、回转等技术动作，落到倾斜轨道，最后停在结束区。为简化运动，运动员可视为质点，不计空气阻力。
（1）运动员刚好从D点沿水平方向滑离轨道，求运动员在D点的速度；
（2）在（1）情形下，求从开始运动到完成表演落到倾斜轨道过程中摩擦阻力做的功；
（3）运动员可以在滑道ABCD滑行过程中利用滑雪杖支撑前进，获取一定的能量ΔE，要使运动员安全停留在结束区，落到倾斜轨道上的动能不能超过15250J，求ΔE大小应满足的条件。
【解答】解：（1）运动员在D点能刚好离开轨道，即运动员受到的支持力为0.
在D点，有：mg＝m
代入数据解得：vD＝10m/s；
（2）从A点到D点的过程中，由动能定理得：mgh1+Wf
AD的高度差：h1＝L1sin37°+R（1﹣cos37°）
联立解得：Wf＝﹣24300J；
（3）设水平位移x，竖直下落距离为h，D点速度为v0，落到倾斜滑道上时，由平抛运动的规律可得：
x＝v0t，h
解得：h
由几何关系可得：h﹣R（1﹣cos37°）＝（x﹣Rsin37°）tan37°
动能Ek＝mgh
代入各量，用h表示，得Ek＝mg[h]
当Ek＝15250J，解得：h＝10m
在整个运动过程中，根据能量守恒定律可得：mg（h1+h）+Wf+ΔE﹣Ek＝0
代入数据解得：ΔE＝1750J，即ΔE≤1750J。
答：（1）运动员刚好从D点沿水平方向滑离轨道，运动员在D点的速度为10m/s；
（2）在（1）情形下，从开始运动到完成表演落到倾斜轨道过程中摩擦阻力做的功为﹣24300J；
（3）要使运动员安全停留在结束区，落到倾斜轨道上的动能不能超过15250J，ΔE大小应满足ΔE≤1750J。
17．（2021 浙江模拟）简谐运动是一种常见且重要的运动形式。它是质量为m的物体在受到形如F＝﹣kx的回复力作用下，物体的位移x与时间t遵循x＝Asinωt变化规律的运动，其中角频率ω（k为常数，A为振幅，T为周期）。弹簧振子的运动就是其典型代表。
如图所示，一竖直光滑的管内有一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定于地面，上端与一质量为m的小球A相连，小球A静止时所在位置为O，另一质量也为m的小球B从距A为H的P点由静止开始下落，与A发生瞬间碰撞后一起开始向下做简谐运动。两球均可视为质点，在运动过程中，弹簧的形变在弹性限度内，当其形变量为x时，弹性势能为Epkx2，已知H，重力加速度为g。求：
（1）B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度；
（2）小球A被碰后向下运动离O点的最大距离。
（3）小球A从O点开始向下运动到第一次返回O点所用的时间。
【解答】解：（1）小球B自由下落H的速度为vB
根据动能定理可得：
解得：
小球B与小球A碰撞过程动量守恒，取向下为正，则有：
mvB+0＝（m+m）v1
解得：；
（2）小球A在O位置，弹簧被压缩x0，则
小球A与小球B共同体继续向下运动离O点的最大距离为xm，根据机械能守恒定律可得：
由mg＝kx0
整理得：
解得：xm＝3x0，xm＝﹣x0（舍去）
即：；
（3）由题意振动周期：，又振幅
所以平衡位置在弹簧压缩2x0处，从碰撞后开始到再次回到O点的振动图象如图：
从O点开始到平衡位置经过的时间t1T
所求时间t＝2t1
解得：t。
答：（1）小球B与小球A碰撞后瞬间一起向下运动的速度为；
（2）小球A被碰后向下运动离O点的最大距离；
（3）小球A从O点开始向下运动到第一次返回O点所用的时间。
18．（2021 宁波二模）如图所示是一弹射游戏装置，由安装在水平台面上的固定弹射器、竖直圆轨道（在最低点A、C分别与水平轨道OA和CD相连）、倾斜长轨道DE组成。游戏时滑块从O点弹出后，经过圆轨道并滑上倾斜长轨道DE，若滑块从长轨道DE滑下则反向进入圆轨道，从圆轨道滑出，进入AO轨道并压缩弹射器的弹簧，随后能再次弹出（无能量损失）算游戏成功。已知圆轨道半径为R，轨道DE的倾角θ＝37°，滑块质量为m，滑块与轨道DE之间的动摩擦因数μ＝0.5，其余都光滑，各轨道之间平滑连接；滑块可视为质点，弹射时从静止释放且弹簧的弹性势能完全转化为滑块动能，忽略空气阻力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度为g。
（1）若滑块第一次进入圆轨道，恰好能过最高点B，求滑块能滑上斜轨道的最大距离；
（2）若某次游戏弹射释放的弹性势能为Ep＝5mgR，求滑块在斜轨道上通过的总路程；
（3）要使游戏成功（即滑块能返回弹射器、且只能返回一次），并要求滑块始终不脱离轨道，求弹射时弹性势能可能的范围。
【解答】解：（1）若滑块第一次进入圆轨道，恰好能过最高点B，则有：mg＝m
解得：vB
滑块从B点第一次运动到斜轨道最高点过程中，根据动能定理可得：﹣mg（2R﹣Lsinθ）﹣μmgLcosθ＝0
解得：L；
（2）若滑块恰好过B点，则弹簧弹性势能E1＝2mgR
解得：E1＝2.5mgR，因EP＞E1，故滑块能过B点
设滑块第一次到斜轨道最高点时到D的距离为L1
由能量守恒定律可得：E1′＝mgL1sinθ+μmgL1cosθ
得L1＝5R
返回到C处时滑块的动能E1'＝EP﹣2μmgL1cosθ＝mgR
因此，此后滑块恰好不脱离轨道，在圆轨道与斜轨道间做往复运动，最终停在D点
全过程应用能量守恒定律可得：Ep＝μmgscosθ
得s＝12.5R；
（3）由题意可知，满足题意的弹性势能最小的条件为：滑块恰好第2次顺时针通过B
设第一次到斜轨道最高点时到D的距离为L2，根据动能定理可得：
mg（L2sinθ﹣2R）﹣μmgL2cosθ0
得L2＝12.5R
设第二次到斜轨道最高点时到D的距离为L2'，根据动能定理可得：
mg（2R﹣L2'sinθ）﹣μmgL2'cosθ＝0
得L2′＝2.5R
两次在斜轨道往返后，滑块在C处具有的动能E2′mgR＜mgR，满足题目要求
根据功能关系可得：EpminmgR+2μmgcosθ（L2+L2'）
解得：Epmin＝12.5mgR
由题意可知，满足题意的弹性势能最大的条件为：滑块在斜轨道上往返两次后，恰能到达圆轨道上与圆心等高点处
分析计算可知第二次到斜轨道最高点到D的距离为L3'＝5R
第一次到斜轨道最高点时离D距离为L3＝25R
Epmx＝mgR+2μmgcosθ（L3+L3'）＝25mgR
综上可得：12.5mgR≤EP≤25mgR。
答：（1）若滑块第一次进入圆轨道，恰好能过最高点B，滑块能滑上斜轨道的最大距离为；
（2）若某次游戏弹射释放的弹性势能为Ep＝5mgR，滑块在斜轨道上通过的总路程为12.5R；
（3）要使游戏成功（即滑块能返回弹射器、且只能返回一次），并要求滑块始终不脱离轨道，弹射时弹性势能可能的范围为12.5mgR≤EP≤25mgR。
19．（2023 杭州二模）如图所示，某游戏装置由光滑平台、轨道AB、竖直圆管道BCDEC（管道口径远小于管道半径）、水平轨道CF、光滑直轨道FG平滑连接组成，B、C、C′为切点，A、F连接处小圆弧长度不计，A点上方挡片可使小滑块无能量损失地进入轨道AB。圆管道半径R＝0.2m，管道中，内侧粗糙，外侧光滑。小滑块与轨道AB、CF的动摩擦因数均为μ＝0.5，AB轨道长度l＝0.4m，倾角θ＝37°，CF长度L＝2m，FG高度差h＝0.8m，平台左侧固定一轻质弹簧，第一次压缩弹簧后释放小滑块，恰好可以运动到与管道圆心等高的D点，第二次压缩弹簧使弹性势能为0.36J时释放小滑块，小滑块运动到圆管道最高处E的速度为vE＝1m/s，已知小滑块质量m＝0.1kg可视为质点，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力。求；
（1）第一次释放小滑块，小滑块首次到圆管上的C点时受到弹力大小；
（2）第二次释放小滑块，小滑块从C点运动到E点的过程，圆管道对滑块的摩擦力做的功；
（3）若第三次压缩弹簧使弹性势能为Ep时释放小滑块，要求小滑块在圆管道内运动时不受到摩擦力且全程不脱轨，最终停在C′F上。写出小滑块C′F上运动的总路程s与Ep之间的关系式，并指出Ep的取值范围。
【解答】解：（1）从C到D，对小滑块由动能定理可得
解得
vC＝2m/s
在C点由牛顿第二定律可得
联立解得
FN＝3N
（2）从开始到E点由动能定理可得
解得
Wf＝﹣0.03J
（3）从开始到C，根据功能关系可得
EkC﹣Ep＝mglsinθ﹣μmglcosθ+mgR（1﹣cosθ）
解得
EkC＝Ep+0.12J
要能最终停在C′F上，必过E点，圆轨道运动无摩擦，所以
又有C到E，根据功能关系可得
﹣2mgR＝EkE﹣EkC
解得
Ep≥0.38J
EkC≥0.5J
不从右侧斜面飞出需满足
EkC﹣μmgL﹣mgh≤0
解得
Ep≤1.68J
EkC≤1.8J
返回，若不过圆心等高处，可得
EkC﹣2μmgL﹣mgh≤0
解得
EkC≤2.2J
Ep≤2.08J
故
0.38J≤Ep≤1.68J
从开始到静止有
EkC﹣μmgs＝0
则
s＝（2Ep+0.24）m
其中
0.38J≤Ep≤1.68J
答：（1）第一次释放小滑块，小滑块首次到圆管上的C点时受到弹力大小3N；
（2）第二次释放小滑块，小滑块从C点运动到E点的过程，圆管道对滑块的摩擦力做的功﹣0.03J；
（3）小滑块C′F上运动的总路程s与Ep之间的关系式s＝（2Ep+0.24）m；Ep的取值范围0.38J≤Ep≤1.68J。
20．（2021 浙江二模）如图1是组合玩具实物图，该玩具主要配件有小车、弹射器、三连环、滑跃板及部分直线轨道等。如图2为该玩具的轨道结构示意图，其中三连环是三个半径不同圆轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ组成，且轨道连接但不重叠。其圆心分别为O1、O2、O3，半径分别为R1＝20cm、R2＝15cm、R3＝10cm，OA、AC为光滑水平轨道，滑跃板CD为足够长的粗糙倾斜轨道，轨道与水平面夹角θ可调（0≤θ＜90o）。某次游戏中弹射器将小车自O点以一定初速度弹出，小车先后通过圆轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ后冲上滑跃板。小车可视为质点，其质量m＝0.1kg，与滑跃板CD间动摩擦因数μ，其它阻力均不计，轨道各部分平滑连接，g取10m/s2。
（1）求小车通过圆轨道Ⅰ最高点B的最小速度vB；
（2）改变弹射器对小车的冲量，小车均能通过三连环，求小车通过圆轨道Ⅲ最低点A时受到轨道的支持力与弹射器对小车冲量的关系；
（3）若小车恰好能够通过三连环，为确保小车整个运动过程均不脱离轨道，分析滑跃板CD与水平面间夹角θ的取值范围。（可用三角函数表示）
【解答】解：（1）若能通过圆轨道O1最高点，
需满足：
解得：
（2）若能通过圆轨道O1最高点，则必能通过三连环。
根据机械能守恒可知小车运动至A点与被弹出时初速度相同，故有：
小车运动至圆轨道O3最低点A时，根据牛顿第二定律有：
解得：
由（1）可得为确保小车通过三连环不脱离轨道，需满足：
根据动能定理有：
解得：，
故：轨道对小车作用力与弹射器对小车冲量的关系为：
（3）由（1）可得小车恰好通过三连环则有：
①当0≤θ≤30°时，满足mgsinθ≤μmgcosθ，小车冲上滑越板轨道CD后不再下滑，符合题目要求；
②假设小车自B点冲上滑越板轨道CD最大距离为L，根据动能定理有：
解得：
在滑越板轨道CD上往返克服摩擦力做功：
可知θ增大，Wf减小
若要不脱离轨道，返回三连环时不能超过圆轨道O3圆心等高位置，根据动能定理有：
解得：
故当时，小车往返运动最终静止于C点
综上所述当时小车不脱离轨道。
答：（1）小车通过圆轨道Ⅰ最高点B的最小速度为
（2）小车通过圆轨道Ⅲ最低点A时受到轨道的支持力与弹射器对小车冲量的关系为：
（3）当时小车不脱离轨道。
21．（2023 浙江模拟）如图为某游戏装置的示意图。AB、CD均为四分之一圆弧，E为圆弧DEG的最高点，各圆弧轨道与直轨道相接处均相切。GH与水平夹角为θ＝37°，底端H有一弹簧，A、O1、O2、D、O3、H在同一水平直线上。一质量为0.01kg的小钢球（其直径稍小于圆管内径，可视作质点）从距A点高为h处的O点静止释放，从A点沿切线进入轨道，B处有一装置，小钢球向右能无能量损失的通过，向左则不能通过且小钢球被吸在B点。若小钢球能够运动到H点，则被等速反弹。各圆轨道半径均为R＝0.6m，BC长L＝2m，水平直轨道BC和GH的动摩擦因数μ＝0.5，其余轨道均光滑，小钢球通过各圆弧轨道与直轨道相接处均无能量损失。某次游戏时，小钢球从O点出发恰能第一次通过圆弧的最高点E。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2）求：
（1）小钢球第一次经过C点时的速度大小vC；
（2）小钢球第一次经过圆弧轨道最低点B时对轨道的压力大小FB（保留两位小数）；
（3）若改变小钢球的释放高度h，求出小钢球在斜面轨道上运动的总路程s与h的函数关系。
【解答】解：（1）小钢球从O点出发恰能第一次通过圆弧的最高点E，则小球到E点的速度为0，小球从C点到E点，根据动能定理得：
﹣mg 2R＝0
代入数据解得：vC＝2m/s
（2）从B点到C点，由动能定理得：﹣μmgL
小钢球经过B点，由牛顿第二定律得：N﹣mg＝m
代入数据联立解得：NN≈0.83N
根据牛顿第三定律得，小钢球对轨道的压力大小FB＝N＝0.83N
（3）若小钢球恰能第一次通过E点，设小钢球释放点距A点为h1，从释放到E点，由动能定理得：
mg（h1﹣R）﹣μmgL＝0
代入数据解得：h1＝1.6m
若小钢球恰能第二次通过E点，设小球钢释放点距A点为h2，从释放到E点，由动能定理得：
mg（h1﹣R）﹣μmgL﹣2μmgcosθ 0
代入数据解得：h2＝2.24m
①若小球释放高度h＜1.6m，无法到达E点，s＝0
②若小球释放高度1.6m≤h＜2.24m，小球能经过E点一次，μ＜tanθ，则小钢球最终停在H点，从释放点到停在H点，根据动能定理得：
mgh﹣μmgL﹣μmgcosθ s＝0
代入数据解得：s＝2.5（h﹣1）
③若小球释放高度2.24m≤h，小球经过E点两次，s＝22m＝1.6m
答：（1）小钢球第一次经过C点时的速度大小vC为2m/s；
（2）小钢球第一次经过圆弧轨道最低点B时对轨道的压力大小FB为0.83N；
（3）①若小球释放高度h＜1.6m，s＝0
②若小球释放高度1.6m≤h＜2.24m，s＝2.5（h﹣1）
③若小球释放高度2.24m≤h，s＝1.6m。
22．（2022 浙江模拟）如图所示，倾斜轨道AB与水平直轨道BCDOMN在B处平滑连接，C、D间安装着水平传送带，C、D为两轮切点，间距L＝6m，皮带轮半径r＝0.1m；Q处安装着半径R＝1m的竖直光滑圆轨道，在底部O处微微错开；N处安装着竖直弹性挡板。质量m＝0.1kg的小滑块由A点以初速度v0＝6m/s滑下，经传送带和圆轨道后与挡板相撞，撞后原速率弹回。滑块与传送带间的动摩擦因数μ1＝0.2，与MN间的动摩擦因数为μ2＝0.4，其余轨道均光滑。已知A点离地面高度h＝1.5m，MN段的长度s＝4.5m，g＝10m/s2，滑块视为质点，空气阻力不计。
（1）若传送带静止，求滑块经过与圆心O等高的P点时对轨道的压力；
（2）若皮带轮以角速度ω1＝20rad/s逆时针匀速转动，在滑块经过传送带的过程中，求滑块损失的机械能；
（3）若皮带轮以角速度ω2＝90rad/s顺时针匀速转动，求滑块最后静止时离M点的距离；
（4）在皮带轮顺时针匀速转动的情况下，求滑块在MN段内滑行的总路程x与角速度ω的关系式
【解答】解：（1）物体从A到P，根据动能定理：
解得vP
在P点根据牛顿第二定律：N＝2.2N
由牛顿第三定律可知：FN＝F′N，F′N＝2.2N
（2）若皮带轮以角速度ω1＝20rad/s逆时针匀速转动时，摩擦力一直对滑块做负功，则损失的机械能
ΔE机＝μ1mgL＝0.2×0.1×10×6J＝1.2J
（3）A到C机械能守恒：
得：m/s
皮带的线速度v＝ωr2＝9m/s＞vC
设滑块加速至9m/s时，通过位移为x1
由，
得x1＝1m＜L＝6m
所以，滑块先匀加速，后以v＝9m/s匀速。即vD＝vQ＝9m/s
判断滑块能否过圆轨道最高点：
4.05J2.5J，所以能过最高点。
滑块第1次返回到M点时，剩余动能为Ek1，由
可得：Ek1＝0.45J＜mgR＝1J；所以滑块只能在QN之间来回滑动，不会越过或脱离圆轨道。最终停在MN之间的某一位置。设滑块停止前在MN通过的总路程为x；
滑块由Q点至停下位置，动能定理：
可得：xm；MN段长s＝4.5m
所以滑块停在离M点1.125m处。
（4）若滑块一直被传送带减速后，到达D点的速度为mgh，解得m/s
若滑块一直被传送带加速后，到达D点的速度为mgh，解得m/s
滑块要过圆轨道最高点时，需满足：，所以，滑块到达D点的速度
综上所述，
当v带/s时，即ωrad/s时，滑块将脱离轨道，无法计算；
当m/s≤v带m/s时，即rad/s≤ω≤10rad/s时
由，得x
当v带m/s时，即ω≥10rad/s时
由，得xm
答：（1）若传送带静止，滑块经过与圆心O等高的P点时对轨道的压力为2.2N；
（2）若皮带轮以角速度ω1＝20rad/s逆时针匀速转动，在滑块经过传送带的过程中，滑块损失的机械能为1.2J；
（3）若皮带轮以角速度ω2＝90rad/s顺时针匀速转动，滑块最后静止时离M点的距离为1.125m；
（4）在皮带轮顺时针匀速转动的情况下，
当v带/s时，即ωrad/s时，滑块将脱离轨道，无法计算；
当m/s≤v带m/s时，即rad/s≤ω≤10rad/s时
由，得x
当v带m/s时，即ω≥10rad/s时
由，得xm
