九年级（上）期中试题
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 二次函数的图象的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
2. 下列图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 将一元二次方程化为一般形式，结果是( )
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
5. 把函数图象向右平移个单位长度，平移后图象的函数解析式为( )
A. B. C. D.
6. 关于二次函数，下列说法正确的是( )
A. 图象与轴的交点坐标为 B. 图象的对称轴在轴的右侧
C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为
7. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．年至年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国年至年快递业务收入的年平均增长率为，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
8. 一个等腰三角形的底边长是，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是 ( )
A. B. C. D. 或
9. 如图，正方形和正方形的边长都是，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是( )
A. B. C. D. 不能确定
10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：
；
；
；
当时，随的增大而减小．
其中正确的有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
11. 关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为( )
A. B. C. D. 或
12. 对于一元二次方程，下列说法：
若，则；
若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
若是方程的一个根，则一定有成立；
若是一元二次方程的根，则
其中正确的( )
A. 只有 B. 只有 C. D. 只有
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 若是方程的解，则代数式的值为 ．
14. 将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的抛物线解析式是______．
15. 如图，抛物线：经过平移得到抛物线：，抛物线的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是___ ___ ．
（第15题图） （第17题图） （第18题图）
16. 某公司月份的营业额为万，月份的营业额为万，已知、月的增长率相同，则增长率为 ．
17. 如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则的长为 ．
18. 如图，在中，，，点从点开始沿边以的速度向点移动，移动过程中始终保持四边形点，分别在，上为平行四边形，则出发 时，四边形的面积为．
三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）
19. 解方程：
； ．
20. 先化简，再求值，其中是方程的解．
四、解答题（本大题共5小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
若方程的两个实数根，满足，求的值．
本小题分
如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．
在图中作出关于轴对称的图形；
若与关于点成中心对称，则点的坐标是______；
在轴上找一点，使得最小．
23. 本小题分
如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，，
求抛物线的解析式和顶点坐标；
该抛物线有一点，使得，求点的坐标．
24. 本小题分
如图，在矩形中，点在上，平分
求证：为等腰三角形
在原图中画，使它与关于的中点成中心对称此时四边形时什么特殊的平行四边形？并说明理由
在的条件下，若，，求的长
25. 本小题分
某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．
求水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式；
王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物高度不变处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
第1页，共1页九年级（上）期中试题
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 二次函数的图象的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】
A
【解析】解：抛物线解析式为，
二次函数图象的顶点坐标是．
故选：．
根据顶点式可直接写出顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的顶点坐标。
2. 下列图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】
解：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
3. 将一元二次方程化为一般形式，结果是( )
A. B. C. D.
【答案】
B
【解析】
【分析】
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．一元二次方程的一般形式是：是常数且据此，对原方程通过去括号、移项合并即可将原方程转化为一般形式．
【解答】
解：由原方程去括号，得：
移项，合并得：．
故选B．
4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】
D
【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是：．
故选：．
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
5. 把函数图象向右平移个单位长度，平移后图象的函数解析式为( )
A. B. C. D.
【答案】
C
【解析】解：二次函数的图象的顶点坐标为，
向右平移个单位长度后的函数图象的顶点坐标为，
所得的图象解析式为．
故选：．
先求出的顶点坐标，再根据平移规律，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
本题主要考查的是二次函数图象的平移规律．
6. 关于二次函数，下列说法正确的是( )
A. 图象与轴的交点坐标为 B. 图象的对称轴在轴的右侧
C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】
解：，
当时，，故选项A错误；
该函数的对称轴是直线，故选项B错误；
当时，随的增大而减小，故选项C错误；
当时，取得最小值，此时，故选项D正确．
故选D．
7. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．年至年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国年至年快递业务收入的年平均增长率为，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】
C
【解析】解：设我国年至年快递业务收入的年平均增长率为，
由题意得：，
故选：．
根据题意可得等量关系：年的快递业务量增长率年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
8. 一个等腰三角形的底边长是，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是 ( )
A. B. C. D. 或
【答案】
A
【解析】解：，
解得或，
若腰长为，则三角形的三边为、、，显然不能构成三角形；
若腰长为，则三角形三边长为、、，此时三角形的周长为．
故选A．
本题考查因式分解法解一元二次方程和等腰三角形的性质，以及三角形的三边关系．
先利用因式分解法解方程求出的值，再根据三角形三边关系得出三角形的三边长度，继而相加即可得周长．
9. 如图，正方形和正方形的边长都是，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是( )
A. B. C. D. 不能确定
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，能推出四边形的面积等于三角形的面积是解此题的关键．
根据正方形的性质得出，，，推出，证出≌．
【解答】
解：
四边形和四边形都是正方形，
，，，
．
在与中，
，
≌，
，
．
故选：．
10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：
；
；
；
当时，随的增大而减小．
其中正确的有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
【答案】
B
【解析】解：抛物线开口向上，且与轴交于负半轴，
，，
，故结论正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
抛物线经过点，
，
，即，故结论正确；
抛物线与轴有两个交点，
，即，故结论正确；
抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，故结论错误；
故选B．
本题主要考查二次函数的性质，以及二次函数图象与系数的关系．
11. 关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为( )
A. B. C. D. 或
【答案】
B
【解析】
【分析】
设方程的两根为，，根据根与系数的关系得，解得或，然后利用判别式的意义确定的取值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，也考查了根的判别式．
【解答】
解：设方程的两根为，，
根据题意得，
所以，解得或，
当时，方程化为，
，故舍去，
当时，方程化为，
，故符合题意，
所以的值为．
故选B．
12. 对于一元二次方程，下列说法：
若，则；
若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
若是方程的一个根，则一定有成立；
若是一元二次方程的根，则
其中正确的( )
A. 只有 B. 只有 C. D. 只有
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键．
按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】
解：若，则是方程的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知，故正确；
方程有两个不相等的实根，
则方程的判别式
方程必有两个不相等的实根，故正确；
是方程的一个根，
则
若，等式仍然成立
但不一定成立，故不正确；
若是一元二次方程的根，
则由求根公式可得：
或
或
故正确．
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 若是方程的解，则代数式的值为 ．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先利用一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：是方程的解，
，即，
．
故答案为．
14. 将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的抛物线解析式是______．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】
解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移个单位长度所得抛物线的解析式为：；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移个单位所得抛物线的解析式为：，
故答案为．
15. 如图，抛物线：经过平移得到抛物线：，抛物线的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是___ ___ ．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．
确定出抛物线的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】
解：抛物线：的顶点坐标为，
，
平移后抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，，
平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积为：，
故答案为．
16. 某公司月份的营业额为万，月份的营业额为万，已知、月的增长率相同，则增长率为 ．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键．
设平均每月的增长率为，根据月份的营业额为万元，月份的营业额为万元，表示出月份的营业额，即可列出方程解答．
【解答】
解：设平均每月的增长率为，
由题意得，
解得，不合题意，舍去
所以平均每月的增长率为．
故答案为：．
17. 如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则的长为 ．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理熟练掌握旋转的性质是解决本题的关键．
根据旋转的性质推出，即为等腰直角三角形，再利用勾股定理求出的长，进而可得出答案．
【解答】
解：根据旋转的性质，得，，
又四边形为矩形，，
，，
即为等腰直角三角形，
根据勾股定理得，
所以．
故答案为：．
18. 如图，在中，，，点从点开始沿边以的速度向点移动，移动过程中始终保持四边形点，分别在，上为平行四边形，则出发 时，四边形的面积为．
【答案】
或
【解析】略
三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）
19. 解方程：
；
．
【答案】
解：原方程整理得，
则，，，
，
，
解得，；
原方程整理得，
分解因式得，即，
可得或，
解得，．
【解析】本题考查因式分解法以及公式法解一元二次方程．
利用公式法求解即可；
方程整理后，利用因式分解法求解即可．
20. 先化简，再求值，其中是方程的解．
【答案】
解：
，
由方程，得，
原式．
【解析】根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后方程，可以求得，然后代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
四、解答题（本大题共5小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
若方程的两个实数根，满足，求的值．
【答案】
解：
，
无论为何实数，，
，
无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
由根与系数的关系得出，，
，
，
，
，
化简得，
解得或．
【解析】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
根据根的判别式得出，据此可得答案；
先根据根与系数的关系得出，，由知，即，从而列出关于的方程，解之可得答案．
22. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．
在图中作出关于轴对称的图形；
若与关于点成中心对称，则点的坐标是______；
在轴上找一点，使得最小．
【答案】
解：如图，即为所求．
．
如图，点即为所求．
【解析】解：见答案；
，，
点的横坐标为，纵坐标为，
即点的坐标为．
故答案为：．
见答案．
由题意确定点，，的位置，再连线即可．
根据中心对称的性质求解即可．
作点关于轴的对称点，连接，交轴的交点即为所求的点．
本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、中心对称，熟练掌握轴对称与中心对称的性质是解答本题的关键．
23. 本小题分
如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，，
求抛物线的解析式和顶点坐标；
该抛物线有一点，使得，求点的坐标．
【答案】
解：由题意，设，
代入，得，
，
，
故顶点坐标为；
，
两个三角形在公共边上的高相等，
又点到的距离为，
点到的距离也为，
则，
解得，
则点或．
【解析】设，将点坐标代入求出的值，从而得出答案，配方成顶点式可得点坐标；
由，且为公共边知点到的距离也为，据此得，解之求出的值即可得．
本题主要考查待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的三种常见形式及二次函数的性质．
24. 本小题分
如图，在矩形中，点在上，平分
求证：为等腰三角形
在原图中画，使它与关于的中点成中心对称此时四边形时什么特殊的平行四边形？并说明理由
在的条件下，若，，求的长
【答案】
解：，
，
，
，
是等腰三角形；
与关于的中点成中心对称，
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形
，
设，则，
在中有 ，
，
，
．
【解析】本题考查了等腰三角形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行线的性质．
利用矩形的性质知，得到，又根据角平分线的定义，，等量代换，证明是等腰三角形；
利用中心对称的性质证明四边形是平行四边形，根据邻边相等判定平行四边形是菱形；
根据勾股定理列方程，解方程得到结果．
25. 本小题分
某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．
求水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式；
王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物高度不变处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
【答案】
解：设水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为，
将代入，得：，
解得：，
水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为．
当时，有，
解得：，，
为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心米以内．
当时，．
设改造后水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为，
该函数图象过点，
，解得：，
改造后水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为．
扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．
【解析】根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出的值，此题得解；
利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的值，由此即可得出结论；
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与轴的交点坐标，由抛物线的形状不变，可设改造后水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为，代入点可求出的值，再利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，即可得出结论．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；利用二次函数图象上点的坐标特征求出当时的值；根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式．
第1页，共1页答 题 卡 答 题 卡
九年级（上）期中试题
20.
姓名： 班级：
准考证号
考场/座位号：
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
注意事项
1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1]
2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2]
3．主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3]
4．必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4]
5．保持答卷清洁、完整。 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5]
[6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6]
正确填涂 缺考标记 [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] 解答题
[8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8]
[9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9]
21.
客观题
1 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D]
5 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]
填空题
13. 14. 15. 16.
17. 18.
计算题
22.
19.
答 题 卡 答 题 卡
23.
24.
25.
