2023年山东省潍坊市临朐县等五地中考数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若实数的相反数是，则等于( )
A. B. C. D.
2. 如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数是( )
A. B. C. D.
3. 牡丹自古以来就是中国的国花，被誉为“百花之王”据估计，我国牡丹栽种数量约为株，用科学记数法表示为精确到百万位( )
A. B. C. D.
4. 如图，在一个正方体的上底面中间位置挖去一个长和宽均为厘米、深为厘米的长方体形状的洞，得到的几何体的三视图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 主视图
B. 左视图
C. 俯视图
D. 不存在
5. 关于的不等式组的解集，在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 如图，为等边三角形，边长为，矩形的长和宽分别为和，点和点重合，点，，在同一条直线上，令矩形不动，以每秒的速度向右移动，当点与点重合时停止移动，设移动秒后，与矩形重叠部分的面积为，则关于的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题有多项符合题目要求）
7. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，正五边形内接于，作直径；以为圆心，为半径作圆弧，与交于点，；连接，，下列四个结论正确的是( )
A.
B. 是正三角形
C. 连接，则
D. 从点开始，以长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到的多边形是正十五边形
9. 小亮用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格，由于粗心，他算错了其中一个值，下列四个结论正确的是( )
A.
B. 对于任意实数，总成立
C. 抛物线与轴的交点为和
D. 点，在抛物线图象上，若，则
10. 如图，点，，，分别是正方形的边，，，的中点，连接，，，，它们分别相交于点，，，，连接若，则下列结论正确的是( )
A. ≌
B. 四边形为正方形
C.
D. ：：
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
11. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．
12. 如图，在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接已知，，则的度数为______ ．
13. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，点，，都在格点上，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为______ ．
14. 如图，正方形的中心与坐标原点重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点依此类推，则点的坐标是 ．
四、解答题（本大题共8小题，共94.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
计算：；
化简：，请选择一个恰当的数代入求值．
16. 本小题分
某种商品的利润元与销售单价元之间满足关系：，图象如图所示，图象上有两点，．
求关于的表达式；
销售单价定在多少时，该种商品的销售利润为元？请结合图象，直接写出销售单价在什么范围时，该种商品的销售利润不低于元？
17. 本小题分
某商场为了掌握节假日顾客购买商品时刻的分布情况，将顾客购买商品的时刻分四个时间段：：：，：：，：：和：：分别记为段，段，段和段进行了统计，并绘制出顾客购买商品时刻的扇形统计图和频数分布直方图如下，其中扇形统计图中，，，，四段各部分圆心角的度数比为：：：．
请根据上述信息解答下列问题：
这次共调查了______ 人，其中顾客购买商品时刻的中位数落在______ 段填写表示时间段的字母即可；
补全频数分布直方图；
为活跃节日气氛，该商场设置购物后抽奖活动，设立了特等奖一个，一等奖两个，二等奖若干，并随机分配到，，，四个时间段中．
请直接写出特等奖出现在时间段的概率：______ ；
请利用画树状图或列表的方法，求两个一等奖出现在不同时间段的概率．
18. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点与点．
求一次函数和反比例函数的表达式；
求的面积；
在轴上是否存在一点，使得最小，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
19. 本小题分
随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长结果精确到参考数据：，，，．
20. 本小题分
如图，是的直径，点、在上，且平分，过点作的垂线，与的延长线相交于，与的延长线相交于点，为的下半圆弧的中点，交于，连接、．
证明：是的切线；
若圆的半径，，求的长；
求证：．
21. 本小题分
九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
操作探究：
如图，为等腰三角形，，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接，则 ______ ，与的数量关系是______ ；
迁移探究：
如图，中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转，点正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系；
拓展应用：
如图，在等腰三角形中，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接当时，请直接写出的长．
22. 本小题分
如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，二次函数的表达式为．
已知二次函数的图象经过点，．
求二次函数的表达式．
请根据上述信息添加一个适当的条件补全题目，添加的条件为______ ；
如图，将函数的图象向右平移个单位长度，与的图象组成一个新的函数图象，记为若点在上，求的值；
如图，在的条件下，点，在上是否存在点，使得若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：实数的相反数是，
，
．
故选：．
根据相反数的定义求出的值，代入代数式求值即可．
本题考查相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选D．
本题从，可以得到同位角相等，，然后相减可得到的度数．
本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
首先利用科学记数法表示为，然后再精确，百万位上是，后面四舍五入即可．
此题主要考查了科学记数法以及取近似数，关键是掌握注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，首先要对这个数用科学记数法表示．
4.【答案】
【解析】解：如图所示：
故既是轴对称图形又是中心对称图形的是俯视图．
故选：．
由已知条件可知，主视图是一个正方形，上面是带虚线的长方形；左视图是一个正方形，上面是带虚线的长方形；俯视图是一个正方形，中间是一个小正方形；据此可画出图形．
本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念以及几何体的三视图画法．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．
5.【答案】
【解析】解：解第一个不等式得：，
解第二个不等式得：，
所以不等式组的解集为：，
故选：．
先解每一个不等式，再求公共部分，写出解集．
本题考查了解一元一次不等式组，掌握解不等式的方法是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：当经过点时，如图所示：
为等边三角形，
，
，，
；
当经过点时，如图所示：
，，
，
；
当时，如图所示：
此时，，
，
；
当时，如图所示：
过作于，
此时，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
；
当时，如图所示：
此时，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
先根据经过点和经过点时计算出和，再分，和三种情况讨论，画出图形，利用面积公式解答即可．
本题考查了动点问题的函数图象，等边三角形的性质，矩形的性质等知识，关键是画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行运算．
7.【答案】
【解析】解：、，正确，符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、是最简二次根式，不能化简，原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：．
分别根据单项式乘单项式的法则、同底数幂的乘法法则及二次根式的性质、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数具有非负性是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：五边形是正五边形，
，
即；故选项A不符合题意；
连接，，如图，
由题意可得：，
是等边三角形，
，
，
同理可得：，
，
是正三角形；故选项B符合题意；
连接，，
是等边三角形，
，
，
，
故选项C不符合题意；如图，
，
，
，
，
，
的值是故选项D符合题意；
故选：．
根据正五边形的性质得到，连接，，如图，由题意可得：，推出是等边三角形，得到，求得，同理可得：，得到是正三角形；连接，，根据等边三角形的性质得到，推出根据圆周角定理得到，求得，于是得到的值是．
本题考查正多边形和圆、等边三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】
【解析】解：由函数图象关于对称轴对称，得，在函数图象上，
，
，故A正确，符合题意；
B.顶点为，函数有最小值，
对于任意实数，则，即总成立，故B错误，不合题意；
C.抛物线过，，，
，
代入得，
解得，
，
当时，，
抛物线与轴的一个交点为，
抛物线与轴的一个交点为，
抛物线与轴的交点为和，故C正确，符合题意；
D.二次函数图象以为对称轴，抛物线开口向上；
点，在抛物线图象上，，
，
故D正确，符合题意．
故选：．
根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等可判断；根据二次函数的最值可判断；根据二次的对称性可判断；根据二次函数的性质可判断．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与轴的交点；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，．
点，，，分别是正方形的边，，，的中点，
．
在和中，
，
≌，
选项的结论正确，符合题意；
≌，
．
，
，
．
，，
四边形为平行四边形，
．
同理：，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形．
．
在和中，
，
≌，
．
同理：．
，为的中点，
为的中位线，
，
同理：，，，
，
四边形为正方形，
选项的结论正确，符合题意；
四边形为正方形，，，，，
，
设的边长为，
，
，
，
，
．
，
选项的结论不正确，不符合题意；
为的中位线，
．
，
，
：：，
选项的结论正确，符合题意．
故选：．
利用全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式对每个选项进行逐一判定即可得出结论．
本题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，梯形的面积，熟练掌握正方形的性质准确找出图中的全等三角形是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：有两个不相等的实数根，
，
，
，
的取值范围为，
故答案为：．
根据一元二次方程，有两个不相等的实数根，则，解出即可．
本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个不相等的实数根时，．
12.【答案】
【解析】解：四边形为菱形，，
，，
根据折叠的性质可得，，，
，，
，，
．
故答案为：．
由菱形的性质得到，，由折叠的性质可得，，进而得到，，则，最后利用三角形内角和定理即可求解．
本题主要考查菱形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据折叠的性质和菱形的性质推出，是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：，，，
，
为等腰直角三角形，，
设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
该圆锥的高．
故答案为：．
先利用勾股定理的逆定理证明为等腰直角三角形，，设圆锥的底面圆的半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据弧长公式得到，解方程求出，然后利用勾股定理计算该圆锥的高．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了勾股定理的逆定理．
14.【答案】
【解析】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，
正方形的中心与坐标原点重合，，
，，，
，，，
将顶点绕点逆时针旋转得点，
，，，
，，
，，
，
再将绕点逆时针旋转得点，
，，，
，，
，
，
再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点
同理可得：，，，，，
观察发现：每四个点一个循环，，，，，
，
；
故答案为：．
如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，可得，，，，，，，观察发现：每四个点一个循环，，，，，由，推出．
本题考查坐标与图形的变化旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
15.【答案】解：；
；
．
当时，
原式．
【解析】先根据绝对值，零指数幂，立方根和负整数指数幂进行计算，再算加减即可；
先根据分式的减法法则算括号里面的，根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后选择一个的值代入进行计算即可．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，分式的化简求值等知识点，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
16.【答案】解：图象过点，，
，
解得，
关于的表达式为；
当时，，
解得，，
当销售定价为元或元时，该种商品的销售利润为元；
结合图象当时，该种商品的销售利润不低于元．
【解析】利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；
根据题意令，解方程可得的值，结合图象可知的范围．
此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式等知识，正确利用二次函数图象是解题关键．
17.【答案】
【解析】解：扇形统计图中，，，，四段各部分圆心角的度数比为：：：，
扇形统计图中，段所占的百分比为，
这次共调查的人数为人．
段的顾客人数为人，
段的顾客人数为人，
按照时间段从早到晚排序，根据各时间段的人数可知，排在第和名所在的时间段为段，
顾客购买商品时刻的中位数落在段．
故答案为：；．
补全频数分布直方图如下．
有，，，四个时间段，
特等奖出现在时间段的概率为．
故答案为：．
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中两个一等奖出现在不同时间段的结果有：，，，，，，，，，，，，共种，
两个一等奖出现在不同时间段的概率为．
根据已知条件可求出扇形统计图中段所占的百分比，再用段的人数除以其所占百分比可得这次共调查的人数；分别求出段和段的顾客人数，根据中位数的定义可得答案．
根据段和段的顾客人数补全频数分布直方图即可．
直接利用概率公式可得答案．
画树状图得出所有等可能的结果数以及两个一等奖出现在不同时间段的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、频数率分布直方图、扇形统计图、中位数、概率公式，能够理解频数率分布直方图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法、中位数的定义以及概率公式是解答本题的关键．
18.【答案】解：反比例函数的图象经过，
，
反比例函数的表达式为，
点在上，
，
点坐标为；
把，两点的坐标代入，得，
解得，
一次函数的表达式为：；
当时，，
点坐标为，
，
即的面积为；
在轴上存在点，使得最小．
作点关于轴的对称点，如图，连接．
设直线的解析式为：，
，
解得，
直线的解析式为：，
令，解得，
可使最小．
【解析】把点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出的坐标，把、的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
的面积的面积的面积；
首先求得点关于轴的对称点的坐标，然后求得直线的解析式后求得其与轴的交点即可求得点的坐标．
本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，轴对称最短路线问题．正确运用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式是解题的关键．
19.【答案】解：延长，分别与直线交于点和点，
则，，，
在中，，
，
是的一个外角，
，
，
，
在中，，
，
，
楼与之间的距离的长约为．
【解析】延长，分别与直线交于点和点，则，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用三角形的外角求出，从而可得米，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】证明：连接，
，
又平分，
，
，
又，
，
为半径，
是的切线；
解：连接，
是半圆弧中点，
在中，，．
．
证明：由知是的切线，
，
，
∽，
，即．
【解析】由题意可证，且，可得，即是的切线；
由题意可得，根据勾股定理可求的长；
根据相似三角形的判定与性质可得答案．
本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练运用切线的判定和性质解决问题是本题的关键．
21.【答案】
【解析】解：为等腰三角形，，，
为等边三角形，
将绕点旋转，得到，
≌，
为等边三角形，，，
，
，
，
，是的中点，
，
，
故答案为：，；
由旋转的性质，可知≌，
为等边三角形，平分，为等边三角形，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
是的中点，
，
是等腰直角三角形，
；
分以下两种情况进行讨论：
如图当点在右边时，
，，
为等腰直角三角形，
．
，
，
由旋转的性质，得，
为等边三角形，
是的中点，
，平分，
，
，
；
如图，当点在左边时，
同理，可得，，
．
综上所述，的长为或．
证明为等边三角形，根据旋转的性质得≌，求出，根据等腰三角形的性质可得，，即可得，；
根据旋转的性质得≌，由平分得，可得，，即可得，根据等腰直角三角形的性质可得；
分以下两种情况进行讨论：当点在右边时，当点在左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题．
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想是解本题的关键．
22.【答案】顶点
【解析】解：，
故可以添加的条件为：顶点，
故答案为：顶点；
，
则平移后的表达式为：，
当时，，
则；
存在点，理由：
当点在抛物线的部分上时，设，
，
解得，
，
则，
；
当点在抛物线的部分上时，设，
，
解得，
，
，
；
综上所述：点坐标为：或．
由，即可求解；
由平移的性质即可求解；
当点在抛物线的部分上时，设，由，即可求解；当点在抛物线的部分上时，同理可解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．
