2023年北京市石景山区中考数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是( )
A. 正方体
B. 圆柱
C. 正四棱锥
D. 直三棱柱
2. 年月日，起飞重量约千克的梦天实验舱搭乘长征五号遥四运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射将用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
3. 如图，在中，，过点作，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
5. 不透明的袋子中装有两个红球和一个绿球，除颜色外三个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在中，是的中点，点是上一点若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7. 党的二十大报告提出“深化全民阅读活动”某校开展了“书香浸润心灵阅读点亮人生”读书系列活动为了解学生的课外阅读情况，随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间单位：小时进行统计，数据如下：
甲组
乙组
两组数据的众数分别为，，方差分别为，，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8. 下面的三个问题中都有两个变量：
圆的面积与它的半径；
将游泳池中的水匀速放出，直至放完，游泳池中的剩余水量与放水时间；
某工程队匀速铺设一条地下管道，铺设剩余任务与施工时间．
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______ ．
10. 分解因式： ．
11. 如果命题“若，则”为真命题，那么可以是______ 写出一个即可．
12. 方程组的解为______ ．
13. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为______ ．
14. 如图，在菱形中，点，分别在，上，只需添加一个条件即可证明四边形是矩形，这个条件可以是______ 写出一个即可．
15. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______ ．
16. 为落实生态文明建设，推动绿色发展，促进人与自然和谐共生，某公司装修采用同质地的型、型环保板材，具体要求如下：
板材要求
板材型号 板材规格 需用量
型板材 块
型板材 块
现只能购得规格为的符合质地要求的标准板材，一张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，裁法如下损耗忽略不计：
裁出数量块
裁法
板材型号 裁法一 裁法二 裁法三
型板材
型板材
如表中的值为______ ；公司需购入标准板材至少______ 张
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
解不等式组：．
19. 本小题分
已知，求代数式的值．
20. 本小题分
下面是证明等腰三角形性质定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
等腰三角形性质定理的文字表述：等腰三角形的两个底角相等已知：如图，在中，，求证：．
方法一证明：如图，作的平分线交于．
方法二证明：如图，取中点，连接．
21. 本小题分
如图，在中，，，分别为，的中点，过点作交的延长线于点．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
求这个一次函数的解析式；
当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围．
23. 本小题分
年月日，“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校甲、乙两个校区的八年级所有学生两个校区八年级各有名学生参加了“格物致知叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛为了解八年级学生的科普知识掌握情况，调查小组进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据
调查小组计划从两个校区的八年级共选取名学生的竞赛成绩百分制作为样本，下面的抽样方法中，合理的是______ 填字母．
A.从每个校区八年级的科技小组中分别选取名学生的竞赛成绩组成样本；
B.从每个校区八年级分别选取名男生的竞赛成绩组成样本；
C.从每个校区八年级分别随机选取名男生、名女生的竞赛成绩组成样本．
抽样方法确定后，调查小组抽取得到两个校区的样本数据，其中乙校区的样本数据如下：
整理、描述数据
按如下分数段整理、描述两个校区的样本数据，其中乙校区的情况如下：
人数
成绩
校区
乙校区
分析数据
两个校区样本数据的平均数、中位数、方差如表所示：
校区 平均数 中位数 方差
甲校区
乙校区
得出结论
对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是______ 校区，成绩更稳定的是______ 校区填“甲”或“乙”；
抽样调查中，两个校区共有的学生竞赛成绩不低于分该校计划从两个校区选派成绩不低于分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中，甲校区有______ 人
24. 本小题分
如图，是的直径，点是弦延长线上一点，过点作于点，过点作的切线，交于点．
求证：；
若是的中点，，，求的长．
25. 本小题分
篮球是学生非常喜爱的运动项目之一、篮圈中心距离地面的竖直高度是，小石站在距篮圈中心水平距离处的点练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分，当篮球运行的水平距离是单位：时，球心距离地面的竖直高度是单位：在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练：
第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离
竖直高度
在平面直角坐标系中，描出以如表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求与满足的函数解析式；
小石第一次投篮练习没能投进，请说明理由；
第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小石的出手高度是______
26. 本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，点，在抛物线上．
若，求的值；
若，求的取值范围．
27. 本小题分
在中，，，点为射线上一点，过点作且点在点的右侧，射线交射线于点，点是的中点，连接，．
如图，当点在线段上时，判断线段与的数量关系及位置关系；
当点在线段的延长线上时，依题意补全图用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
28. 本小题分
对于平面直角坐标系中的点和图形、给出如下定义：若图形上存在点，使得点绕着点旋转得到的对应点在图形上，则称点为图形的“关联点”．
图形是线段，其中点的坐标为，点的坐标为，
如图，在点，，，中，线段的“关联点”是______ ；
如图，若直线上存在点，使点为线段的“关联点”，求的取值范围；
图形是以为圆心，为半径的已知点，若线段上存在点，使点为的“关联点”，直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：四个连成一排的小正方形可以围成前后左右四面，剩下的两面必须分在上下两面才能围成正方体，
所以该几何体是正方体．
故选：．
根据正方体的展开图可得答案．
本题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图的特征是解决此类问题的关键．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
由，得到，由直角三角形的性质得到．
本题考查平行线的性质，直角三角形的性质，关键是掌握平行线的性质．
4.【答案】
【解析】解：该图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形的定义是解决本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有种，
两次都摸到红球的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】
【解析】解：是的中点，
，
，
，
故选：．
根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半计算即可．
本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由题意得，甲组的众数，乙组的众数，
，
甲组的平均数为，
；
乙组的平均数为，
，
．
故选：．
分别根据众数的定义以及方差的计算方法解答即可．
此题主要考查了方差，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
8.【答案】
【解析】解：圆的面积随半径的增大而增大，面积是半径的二次函数，
故不符合题意；
将游泳池中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量随放水时间的增大而减小，
故符合题意；
工程队匀速铺设一条地下管道，根据铺设剩余任务时间的增大而减小，
故符合题意；
所以变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是．
故选：．
根据圆的面积公式判断即可；根据游泳池中的剩余水量随放水时间的增大而减小判断即可；根据铺设剩余任务时间的增大而减小判断即可．
本题考查了函数的图象，掌握函数图象表示的意义是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：要使有意义，必须，
解得：．
故答案为：．
根据分式有意义的条件得出，再求出答案即可．
本题考查了分式有意义的条件，注意：当分母时，分式有意义．
10.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先提取公因式，然后再利用平方差公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键．
11.【答案】答案不唯一
【解析】解：如果命题“若，则”为真命题，则，
所以，
故答案为：答案不唯一．
根据不等式的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
12.【答案】
【解析】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
原方程组的解为：，
故答案为：．
利用加减消元法，进行计算即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象经过点，
．
点在反比例函数的图象上，
，
解得：．
故答案为：．
由点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出值，再结合点在反比例函数图象上，由此即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出与点的坐标有关的方程是关键．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：这个条件可以是，理由如下：
四边形是菱形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是矩形，
故答案为：答案不唯一．
证四边形是平行四边形，再证，然后由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、菱形的性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由已知得：
，
解得：．
故答案为：．
由方程有两个不相等的实数根可知，，代入数据可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式或不等式组是关键．
16.【答案】
【解析】解：块，
的值为．
，，，，
选择裁法一和裁法二，所需标准板材最少．
块，块，块，
公司需购入标准板材至少块．
故答案为：；．
利用裁出型板材的数量一张标准板材的长度一张型板材的长度一张型板材的长度，可求出的值，求出一张标准板材按三种裁法损耗的板材长度，由裁法二损耗最小及所需型板材多于型板材，可得出选择裁法一和裁法二所需标准板材最少，利用按裁法二裁剪的板材数量所需型板材的数量，可求出按裁法二裁剪的板材数量，利用按裁法一裁剪的板材数量所需型板材的数量按裁法二裁剪的板材数量，可求出按裁法一裁剪的板材数量，再将两数相加即可求出结论．
本题考查了有理数的混合运算，根据各裁法损耗的多少，找出所需标准板材最少的搭配方案是解题的关键．
17.【答案】解：
．
【解析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：原式
．
，
．
原式．
【解析】先利用分式的运算法则化简分式，再变形已知整体代入求值．
本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
20.【答案】证明：方法一：如图：作的平分线交于点，
在和中，，
≌，
；
方法二：如图，取中点，连接，
在和中，，
≌，
．
【解析】方法一：根据“”证明≌即可得出结论；
方法二：根据“”证明≌即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
21.【答案】证明：点、分别是边、的中点，
是的中位线，，
，，
又，
四边形是平行四边形，
，，
．
平行四边形是菱形；
解：如图，连接，
由可知，，
，
是等边三角形，
，
，是直角三角形，，
，
是的中点，
，
即的长为．
【解析】由三角形中位线定理可得，，可证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
连接，证是等边三角形，得，再证是直角三角形，，然后由勾股定理得，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：一次函数的图象由函数的图象平移得到，
，
又一次函数的图象过点，
，
，
这个一次函数的表达式为；
当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，
．
【解析】先根据直线平移时的值不变得出，再将点代入，求出的值，即可得到一次函数的解析式；
根据图象即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
23.【答案】 乙 甲
【解析】解：收集数据：查小组计划从两个校区的八年级共选取名学生的竞赛成绩百分制作为样本，下面的抽样方法中，合理的是从每个校区八年级分别随机选取名男生、名女生的竞赛成绩组成样本．
故答案为：；
把乙校区的样本数据从小到大排列，得，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
则排在中间的两个数为，
因为甲校区的中位数小于平均数，乙校区的中位数大于平均数，
所以对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是乙校区；
因为甲校区学生竞赛成绩小于乙校区，所以甲校区成绩更稳定．
故答案为：乙校区；甲校区；
人，
即估计参赛的八年级学生中，甲校区约人．
故答案为：．
收集数据：根据题意，可以选出最合理的抽查方式；
根据中位数和方差的意义解答即可；
用乘样本中竞赛成绩不低于分所占比例即可．
本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】证明：连接，如图，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接，过点作于，如图，
是的中点，，
，
，
在中，
，
，
为直径，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，，
，
在中，
，
设，，
，
即，
解得，
．
【解析】连接，如图，先根据切线的性质得到，再证明，从而得到；
连接，过点作于，如图，先在中利用正弦的定义求出，再根据圆周角定理得到，则，接着在中利用正弦的定义求出，则，由于，，根据等腰三角形的性质得到，然后在中利用解直角三角形可求出的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
25.【答案】
【解析】解：描点，连线，作出函数图象，
结合表中数据或所画图象可知，篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为米，
由表格数据和函数图象可知，抛物线的顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入解析式得：，
解得，
与满足的函数解析式为；
当时，，
小石第一次投篮练习没能投进；
根据题意可知，第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移个单位，
则第二次篮球运行的抛物线解析式为，
第二次篮球运行的抛物线经过，
，
解得，
答：小石第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高米．
故答案为：．
根据表中数据，描点，连线，作出函数图象；
根据表格数据和函数图象设抛物线解析式为，然后由待定系数法求出函数解析式；
当时求出的值与比较即可；
根据题意第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移个单位，然后把代入解析式求出即可．
本题考查二次函数的应用；关键是根据图象求出抛物线解析式．
26.【答案】解：，
点与关于对称轴对称，
，
．
如图，当时，当时，，不符合题意．
当时，是最小值，不符合题意．
如图，当时，
，
，
，
，
点到对称轴的距离要大于点到对称轴的距离，
，
当时，，
，
当时，，
，
综上得，的取值范围为：或．
【解析】由得，点与关于对称轴对称，由中点坐标公式求出的值即可．
分，，结合图形进行讨论，只有时符合题意，当时，根据点到对称轴的距离要大于点到对称轴的距离，得到，由，得到，从而得到的范围．
本题考查了二次函数的性质以及点的坐标特征，掌握数形结合思想是解题关键．
27.【答案】解：数量关系：；位置关系：．
理由：如图，连接，
，，
，
且，
，，
点是的中点，
，
，
，
≌，
，，
又，
，
，
，且；
依题意补全图形，如图：
数量关系：．
理由：连接，，
，，
，
，且，
，，
是的中点，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
．
【解析】连接，根据，，，且，是的中点，证明≌，得出，再根据，得出，从而得出结论；
连接，，用和相同的方法证明≌，再根据在中，，得出，在中，，得出，从而得出结论．
本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等，关键是利用等三角形的判定证明≌．
28.【答案】
【解析】解：如图，点的坐标为，点的坐标为，
绕着点逆时针旋转得到的对应点在线段上，
点为图形线段的“关联点”，
故答案为：．
如图，当直线经过点时，可得的最小值，
当直线经过点时，可得的最大值，
把代入，得，
解得：；
把代入，得；
解得：；
的取值范围为；
如图，过点作于，作直径，过点作于，
过点作轴，过点作轴交于，过点作轴，交于，
则四边形和四边形是矩形，
，，，
，，，
，，，，
，
，
，
根据“关联点”的定义可得：，
，
解得：；
根据“关联点”的定义可得：，
半径弦，
，
，，
在中，，即，
解得：，或舍去；
的取值范围为．
根据“关联点”的定义可知是线段的“关联点”；
当直线经过点时，可得的最小值，当直线经过点时，可得的最大值，可得的取值范围为；
过点作于，作直径，过点作于，过点作轴，过点作轴交于，过点作轴，交于，分别求得的最小值和最大值即可．
本题是圆的综合题，考查了旋转变换，圆的性质，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
