2023年安庆市九校联盟九年级数学第二次月考试卷
一、单选题（40分）
1． -5的倒数是（ ）
A．-5 B．5 C． D．
2．我国天然林保护修复工程建设开展以来，截至2023年2月3日，天然林面积增加3.23亿亩、蓄积增加53亿立方米．数据“53亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝k（x﹣1）（k＞0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE的大小是（ ）
A．55° B．40° C．35° D．20°
7．关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
8．某校安排三辆车，组织九年级学生团员到“夕阳红”敬老院参加三月学雷锋活动，其中小王与小明都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小明同车的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点A、C为反比例函数图象上的点，过点A、C分别作轴，轴，垂足分别为B、D，连接、、，线段交于点E，点E恰好为的中点，当的面积为6时，k的值为（ ）
A． B．8 C． D．
10．如图，四边形为矩形，，.点P是线段上一动点，点M为线段上一点.，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（20分）
11．用“>”或“<”填空：若，则a b.
12．因式分解的结果是 ．
13．如图，中，，为的角平分线，以点O为圆心，为半径作与边交于点D.若，，则 .
14．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，BC＝4cm．点M在AB边上，以每秒1cm的速度从点A向终点B运动．连接MD，以M为顶点，MD为一边作∠DMN＝45°，另一边交CD边于点N，过点D作DP⊥MN于点P.
（1）经过2秒，点P的路径长是 ；
（2）在运动过程中，线段DN长度的最小值是 。
三、计算题
15（8分）．已知，，求代数式的值．
四、作图题
16（8分）．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是，.绕点O逆时针旋转后得到.
（1）画出旋转后的图形；
（2）求线段在旋转过程中所扫过的图形面积.
五、解答题
17（8分）．如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边长作第2个正方形ACEF，再以第2个正方形ACEF的对角线AE为边长作第3个正方形，如此进行下去，…
①记正方形ABCD的边长为a1＝1，依上述方法，所作的正方形的边长依次记为a2、a3、a4，则a2＝ ，a3＝ ，a4＝ ；
②据上述规律写出第n个正方形的边长an的表达式，an＝ ．
18（8分）．《九章算术》中“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛（古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，…”译文：“已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，…”问：1个大桶和1个小桶分别盛酒多少斛？
19（10分）．如图，长方形沿着对角线翻折，点C落在点处，与相交于点E，若，，求的长．
20（10分）．为了解某学校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校九年级部分同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题：
（I）该校抽查九年级学生的人数为 ，图①中的m值为 ．
（II）统计的这组数据的众数为 中位数为 平均数为 ．
（III）根据统计的样本数据，估计该校九年级400名学生中，每周平均课外阅读时间大于2h的学生人数．
21（12分）．已知，分别与相切于点，，，为上一点．
（Ⅰ）如图①，求的大小；
（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的大小．
22（12分）．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点.P是抛物线上一点，且在直线的上方.
（1）求抛物线的表达式；
（2）若面积是面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，交于点C，交于点D.记，的面积分别为，判断是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
23（14分）． （1）如图1，纸片中，，，过点A作，垂足为E，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，则四边形的形状为____．（从以下选项中选取）
A．正方形
B．菱形
C．矩形
（2）如图2，在（1）中的四边形纸片中，在上取一点F，使， 剪下，将它平移至的位置，拼成四边形．
①求证：四边形是菱形；
②连接，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：-5的倒数是，
故答案为：C.
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：53亿；
故答案为：D．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C符合题意；
，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据单项式乘单项式、积的乘方、单项式除以单项式、完全平方公式分别计算，再判断即可.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：从上往下看，得到三个长方形，
故答案为：A．
【分析】利用三视图的定义求解即可。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵y＝k（x﹣1）（k＞0），
∴一次函数图象过点（1，0），y随x的增大而增大，
B符合题意.
故答案为：B.
【分析】由于比例系数k＞0，故函数图象一定经过一、三象限，据此可排除C、D；又函数图象一定经过定点（1，0），从而可排除A.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOD=110°，
∴∠DOE=70°，∠ODC=∠OCD=（180°-70°）=55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=90°-∠DOE=20°，
∴∠CDE=∠ODC-∠ODE=55°-20°=35°；
故答案为：C.
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分得OC=OD，由邻补角得∠DOE=70°，由等边对等角得∠ODC=∠OCD，进而根据三角形的内角和定理可得∠ODC=55°，∠ODE=90°-∠DOE=20°，最后根据角的和差，由∠CDE=∠ODC-∠ODE即可算出答案.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：，
，
，即，
方程总有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.确定a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：设三辆车分别为A、B、C，画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小王与小明同车的结果有3种，
∴小王与小明同车的概率是，
故答案为：B.
【分析】设三辆车分别为A、B、C，画出树状图，找出总情况数以及小王与小明同车的结果数，然后根据概率公式进行计算.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：设点C的坐标为，则点，，，，
，
.
故答案为：A.
【分析】设C（m，），则E（m，），A（m，），根据三角形的面积公式可得S△AEC=BD·AE=k=6，求解可得k的值.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵，
∴
∴
∵
故答案为：D.
【分析】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆，根据矩形的性质可得∠BAD=∠BAP+∠MAD=90°，由已知条件可知∠ADM=∠BAP，则∠AMD=90°，点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，连接OB交圆O与点N，易得当直线BM过圆心O时，BM最短，由勾股定理可得BO的值，然后根据BN=BO-AO进行计算.
11．【答案】＞
【解析】【解答】解：∵-2a+1＜-2b+1，
∴-2a＜-2b，
∴a＞b.
故答案为：＞.
【分析】根据不等式的性质2，首先在不等式的两边同时减“1”不等号的方向不改变得-2a＜-2b，再根据不等式性质3，在不等式的两边同时除以“-2”不等号的方向改变得a＞b，据此即可得出答案.
12．【答案】（y+2x）（y-2x）
【解析】【解答】解：．
故答案为：（y+2x）（y-2x）．
【分析】利用平方差公式进行因式分解即可。
13．【答案】2
【解析】【解答】解：过O作于H，
∵，
∴，
∵为的角平分线，，
∴，
即为的半径，
∵，
∴为的切线；
设的半径为，则，
在中，
∵，
∴=，
∴=，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴.
故答案为：2.
【分析】过O作OH⊥AB于H，根据角平分线的性质可得OH=OC，推出AB为⊙O的切线，设半径为3x，则OH=OD=OC=3x，根据三角函数的概念可得AH=4x，由勾股定理可得AO=5x，则AO=OD+AD=3x=2，据此可得x的值，然后求出OA、OH、AC的值，再根据三角函数的概念进行计算.
14．【答案】（1）
（2）
【解析】【解答】解：（1）∵矩形ABCD，
∴∠DAB=∠ADC=90°，
以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，
当点A和点M重合时，过点P1作P1E⊥x轴于点E，
∵∠DAM=45°，
∴△DAN，△DAP1，△AEP1是等腰直角三角形，
∴AN=AD=，
，
∴2AE2=AP12，
∴2AE2=8
解之：AE=2，
∴点P1（2，2）；
当点A和点M不重合时，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，交DC于点H，
∴∠PFD=∠PEM=∠FAE=90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∵点M在AB边上，以每秒1cm的速度从点A向终点B运动，t=2时
∴AM=2，
∴，
∵DP⊥MN，
∴∠DPM=90°，
∵∠DMN=45°，
∴DP=PM，
∴2PM2=DM2，
∴2PM2=20
解之：；
∵∠DPM=90°，
∴∠DPF+∠FPM=90°，∠FPM+∠MPE=90°，
∴∠DPF=∠MPE，
在△DPF和△EPM中
∴△DPF≌△EPM（AAS）
∴PF=PE，ME=DF，
∴四边形AFPE是正方形，
∴PF=AF，
设ME=DF=x，则AF=PF=4-x
在Rt△PDF中，DF2+PF2=PD2
x2+（4-x）2=
解之：x1=1，x2=3
∵AM=2，
∴x=1，
∴PE=4-1=3，
∴点P（3，3），
∴经过2秒，点P的路径长是；
（2）设当点M运动t秒钟时，DN有最小值，
∴MA=t，
∵PE=PF=AE=AF，DF=ME
∴ME=PE-t=DA-AF=4-PE
∴PE=，ME=，
∴AE=，
∴点P
设PM的函数解析式为y=kx+b
∴
解之：
∴直线PM的函数解析式为，
当y=4时，，
∴点N
∴，
∴当且仅当时
∴，此时DN的最小值为
故答案为：
【分析】（1）利用矩形的性质可证得∠DAB=∠ADC=90°，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，当点A和点M重合时，过点P1作P1E⊥x轴于点E，可证得△DAN，△DAP1，△AEP1是等腰直角三角形，利用勾股定理分别求出AN，AE的长，可得到点P1的坐标；当点A和点M不重合时，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，交DC于点H，利用垂直的定义可证得∠PFD=∠PEM=∠FAE=90°，可推出四边形AFPE是矩形，利用点的运动控制AM=2，利用勾股定理求出DM的长，再利用勾股定理求出PM的长，利用AAS证明△DPF≌△EPM，利用全等三角形的性质可证得PF=PE，ME=DF，设ME=DF=x，可表示出AF的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到PE的长，即可得到点P的坐标，然后利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式，可求出点P的运动路径长.
（2）设当点M运动t秒钟时，DN有最小值，可得到MA=t，用含t的代数式表示出PE，ME，AE的长，可得到点P的坐标；利用待定系数法求出直线PM的函数解析式，再由DN∥x轴，可得到点D和点N的纵坐标相等，将y=4代入函数解析式，可求出对应的x的值，可得到点N的坐标，由此可表示出DN的长，可知，由此可得到DN的最小值.
15．【答案】解：∵，，
∴x+y=2++2-=4，
∴
=(x+y)2
=42
=16．
【解析】【分析】将代数式变形为(x+y)2，再将，代入计算即可。
16．【答案】（1）解：如下图，即为所求.
（2）解：，
.
由旋转的性质可知，
∴OB旋转扫过的面积为.
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点分别作出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1与B1，再顺次连接A1、B1、O即可；
（2）利用两点间的距离公式算出OB的长，进而根据扇形计算公式即可算出OB旋转扫过的面积.
17．【答案】；4；2；
【解析】【解答】解：①a2为边长为a1的正方形的对角线，
a3为边长为a2的正方形的对角线，…
又因为正方形中对角线长为边长的倍，
所以a2＝，
a3＝4，
a4＝2；
②根据a1、a2、a3、a4的大小可以推断an与n的关系，
an＝．
故答案为： ；4；2；
【分析】由图可知正方形中对角线长为边长的倍，根据a1可求得a2，根据a2可求得a3，推断an与n的关系即可。
18．【答案】解：设1个大桶和1个小桶分别盛酒x斛、y斛，
，
∴，
答：1个大桶和1个小桶分别盛酒斛、斛．
【解析】【分析】设1个大桶和1个小桶分别盛酒x斛、y斛，根据题意列出方程组，再求解即可。
19．【答案】解：由翻折的性质可知，在与中，
，
，
，
，
，
长方形，，
．
【解析】【分析】根据AAS证明△AEB≌△C'ED，可得AE=C'E=1，从而得出BE=DE，利用勾股定理求出BE的长，从而求出AD=AE+ED的长，根据长方形的性质即得BC的长.
20．【答案】解：（I）40，25.
（II）3，3，3.
（ III）根据题意得：
400×＝280（人），
答：根据统计的样本数据，估计该校九年级400名学生中，每周平均课外阅读时间大于2h的约有280人．
【解析】【解答】解：（Ⅰ）该校抽查九年级学生的人数为：4÷10%＝40（人），
∵m%＝×100%＝25%，
∴m＝25，
故答案为：40，25；
（Ⅱ）∵在这组数据中3小时出现次数最多，有15次，
∴众数为3小时；
在这50个数据中，中位数为第25、26个数据的平均数，即中位数为＝3小时；
平均数是：（1×4＋2×8＋3×15＋4×10＋5×3）＝3（小时）；
故答案为：3，3，3；
【分析】（Ⅰ）用平均每周课外阅读1小时的人数除以其占总人数的百分比可得抽查的总人数，用平均每周课外阅读4小时的人数除以抽查的总人数再乘以100％即可求出m；
（Ⅱ）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数，据此可得中位数及众数的值，进而根据加权平均数的定义可得平均数；
（Ⅲ）用总人数乘以样本中每周平均课外阅读时间大于2h的学生人数所占的百分比即可．
21．【答案】解：（Ⅰ）如图，连接．
∵是的切线，
∴，．
即．
∵，
∴在四边形中，．
∵在中，，
∴．
（Ⅱ）如图，连接．
∵为的直径，
∴．
由（Ⅰ）知，，
∴．
∴．
∵在中，，
∴．
又是的一个外角，有，
∴．
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，根据四边形内角和等于360度计算即可；
（2）连接，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可。
22．【答案】（1）解：将代入
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：设直线的解析式为：，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
即，
过点P作轴于点M，与交于点N，过点B作于点E，如图，
∴，
∴，
设点P的横坐标为m，
∴，
∴，
解得：或；
∴或；
（3）解：存在最大值.理由如下：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
设直线交y轴于点F，则 ，
过点P作轴，垂足为H，交于点G，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设
由（2）可知，，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为.
【解析】【分析】（1）将A（4，0）、B（1，3）代入y=ax2+bx中求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据三角形的面积公式可得S△OAB=6，结合题意可得S△PAB=3，过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，则S△PAB=S△PNB+S△PNA=3，结合三角形的面积公式可得PN的值，设点P的横坐标为m，则P（m，-m2+4m），表示出PN，根据PN的值可求出m的值，据此可得点P的坐标；
（3）由平行线的性质可得∠DPC=∠BOC，∠PDC=∠OBC，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△DPC∽△BOC，根据相似三角形的性质以及三角形的面积公式可得 ，设直线AB交y轴于点F，则F（0，4） ，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，证明△PDG∽△OBF，得到PD：OB=PG：OF，设P（n，-n2+4n），由（2）可知PG，然后表示出，接下来根据二次函数的性质进行解答.
23．【答案】（1）C
（2）解：①证明：∵平移得到，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【解答】（1）解：∵中，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵平移得到，
∴，
∴四边形的形状为矩形，
故答案为：C；
【分析】（1）由平行四边形的面积可求出AE=6，由平行线的性质及垂直的定义可推出，根据平移的性质可得，根据三个角是直角的四边形是矩形即证；
（2）①根据平移的性质可得四边形是平行四边形，由勾股定理求出AF=10，即得AF=AD，根据菱形的判定定理即证；②求出FE'=AD-EF=2，利用勾股定理求出DF=2，由AD∥EF可得， 从而得出，继而得解．
