二〇二三年初中学生学业水平第二次模拟考试
数学试题
亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明：
1.试题由选择题与非选择题两部分组成，共6页，选择题36分，非选择题84分，共120分，考试时间120分钟。
2.将姓名、考场号、考号、座号填写在试题和答题卡指定的位置。
3.试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题。考试结束，答题卡和试题一并交回。
4.不允许使用计算器。
愿你放松心情，认真审题缜密思考细心演算，交一份满意的答卷。
第I卷（选择题，共36分）
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.北京冬奥会和冬残奥会组委会收到来自全球的会徽设计方案共4506件，其中很多设计方案体现了对称之美.以下4幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.如图①.用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”.图②“堑堵”的俯视图是（ ）
图① 图②
A. B. C. D.
3.神舟十三号飞船在近地点高度200000m，远地点高度356000m的轨道上驻留了6个月后，于2022年4月16日顺利返回.将数字356000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4.某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路AB与AE的夹角，城市规划部门想新修一条道路CE，要求，则∠E的度数为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，，，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点.若，面积为10，则长度的最小值为（ ）
A. B. 3 C. 4 D. 5
8.我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. 1 D.
10.二次函数的复习课中，夏老师给出关于x的函数（k为实数）.夏老师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.
学生独立思考后，黑板上出现了一些结论，夏老师作为活动一员，又补充了一些结论，并从中选择了如下四条：
①存在函数，其图象经过点（1，0）；
②存在函数，该函数的函数值y始终随x的增大而减小；
③函数图象有可能经过两个象限；
④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数.
上述结论中正确的为 .
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
11.如图1，在四边形ABCD中，，，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿和方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），的面积为S（平方单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的个数（ ）
图1 图2
①当秒时， ②
③当时， ④当秒时，BP平分四边形ABCD的面积.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题，共84分）
二、填空题（本题共5小题，满分15分.只要求填写最后结果，每小题填对得3分.）
13.若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是 .
14.从，，1，2，7中任取一数作为a，使抛物线的开口向上的概率为 .
15.如图，、区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角，视线PE与地面BE的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，.若A点到B点的距离，则盲区中DE的长度是 米.
（参者数据：，，，）
16.如图，AB为半圆O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半圆O的切线交于点P，若AB的长是2a，则PA的长是 .
17.规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换.例如：如图，点O（0，0）按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转得到，再将绕原点顺时针旋转得到…依次类推.点（0，1）经过“011011011”变换后得到点的坐标为 .
三、解答题（本题共8小题，满分69分.解答时，要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
18.（本题满分6分）
先化简，再求值：，其中.
19.（本题满分8分）如图，线段DE与AF分别为的中位线与中线.
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由.
20.（本题满分8分）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来.某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表.
等级 时长：（单位：分钟） 人数 所占百分比
A 4 x
B 20
C 36%
D 16%
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 ，表中x的值为 ；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率.
21.（本题满分8分）如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，与双曲线在第二象限内的交点为C，轴于点D，且.
（1）求双曲线的表达式：
（2）设点Q是双曲线上的一点，且的面积是的面积的4倍，求点Q的坐标.
22.（本题满分8分）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨.
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元.请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少.
23.（本题满分9分）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情.如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度，在A点测得B点的俯角.若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m.
（1）求该滑雪场的高度h；
（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等.求甲、乙两种设备每小时的造雪量.
24.（本题满分10分）如图，在中，AB是直径，弦，垂足为H，E为上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若.
（1）求证：FE是的切线；
（2）若的半径为8，，求BG的长.
25.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点O，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为，.
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，是等腰三角形.
二〇二三年初中学生学业水平第二次模拟考试
数学参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C A B C B D A D B C D
二、填空题（本大题共5小题，满分15分.只要求填写最后结果，每小题填对得3分.）
13. 14. 15. 2.8 16. 17.
三、解答题（本大题共8小题，满分69分.解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
18.（6分）
解：原式
当时，
原式
19.（8分）
解：（1）证明：∵点D是AB的中点，，
点E是AC的中点，点F是BC的中点，
EF是的中位线，
，，，
四边形ADFE是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）当时，四边形ADFE为矩形，
理由：∵线段DE为的中位线，，
，，
由（1）得：四边形ADFE是平行四边形，
∴四边形ADFE为矩形.
20.（8分）
解：（1）本次调查的学生人数为（人），
（2）估计B等级的学生人数（人）
（3）
男1 男2 女1 女2
男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1）
由上表可知，一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种，
故所求概率为
21.（8分）
解：（1）∵ ∴点C的横坐标为，
当时，，
∴点在反比例函数的图象上，
∴.双曲线的表达式为：。
（2）直线中，令得，
得：，解得，
∴点，点，
，，
，
设Q坐标为，
的面积的的面积的4倍，
即
或
∴点Q的坐标是或
22.（8分）
解：（1）设一辆A货车一次可以运货x吨，一辆B货车一次可以运y吨，根据题意得：
解得：
答：一辆A货车一次可以运货20吨，一辆B货车一次可以运15吨.
（2）设安排m辆A货车，则安排辆B货车，所用费用w元，
又∵m，均为整数，
故符合题意的运输方案有三种：
①A货车2辆，B货车10辆；
②A货车5辆，B货车6辆；
③A货车8辆，B货车2辆；
∴费用w随着m的增大而减小；
费用越少，m的值越大；
运输方案③费用最少。
23.（9分）
解：（1）过点B作，过点A作，两直线交于点F，过点B作BE垂直地面病交地面于E点，根据题意的：，
∴在直角三角形ABF中，
BC的坡度是即
设，则
在中，
解之得：（负值舍去）
答：滑雪场的高度h为235m.
（2）设甲种设备每小时的造雪量是ym3，则乙种设备的造雪量是，根据题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备的造雪量是50m3。
24.（10分）
解：（1）如图，连接OE，，，
，，
，，
，
，
，
又∵OE是圆O半径，
是圆O的切线。
（2），
，
，
设 则，
，
即BG的长是2.
25.（12分）
解：（1）∵抛物线经过点，，
，解得，
∴抛物线解析式为，
，
抛物线对称轴为直线，
又∵抛物线与x轴交于点A、B两点，点A坐标，
点B坐标（8，0）
设直线l的解析式为，
经过点，
，
∴，
直线l的解析式为，
点E为直线l与抛物线的交点，
点E的横坐标为3，纵坐标为，
点E坐标.
（2）抛物线上存在点F使得，
此时点F纵坐标为，
，
，
，
点F坐标或.
（3）①如图1中，当时，是等腰三角形.
点E坐标，
，过点E作直线，交y轴于点M，交x轴于点H.则，
，
点M坐标.
设直线ME的解析式为，
，
，
∴直线ME解析式为，
令，得，解得，
点H坐标（15，0），
，
，即，
，
②如图2中，当时，是等腰三角形.
∵当时，，
点C坐标，
，
，
，
，
，
，
，
设直线CE交x轴于N，解析式为，
，
，
直线CE解析式为，
令，得，
，
点N坐标（6，0），
，
，
，
.
③时，显然不可能，理由，
，
，
，
，
，
综上所述，当或时，是等腰三角形.
